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1[2025湖北武汉质检,中]若$a-3(x+5)=b(x+2)$是关于$x$的一元一次方程,则(
A.$b=2$
B.$b=-3$
C.$b≠2$
D.$b≠-3$
D
)A.$b=2$
B.$b=-3$
C.$b≠2$
D.$b≠-3$
答案
【解析】$a-3(x+5)=b(x+2)$，去括号，得$a-3x-15=bx+2b$. 移项，得$-3x-bx=2b+15-a$. 合并同类项，得$(-3-b)x=2b+15-a$. 因为此方程是关于$x$的一元一次方程，所以$-3-b≠0$，所以$b≠-3$. 故选D.
2[2025 湖南永州期末, 中]已知方程$2(x+1)=3(x-1)$的解为$x=a+2$,那么方程$2[2(x+3)-3(x-a)]=3a$的解为
$x=\frac{21}{2}$
.答案
【解析】解方程$2(x+1)=3(x-1)$，得$x=5$，所以$a+2=5$，所以$a=3$. 将$a=3$代入$2[2(x+3)-3(x-a)]=3a$，得$2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3$，$4x+12-6x+18=9$，所以$x=\frac{21}{2}$. 故答案为$x=\frac{21}{2}$.
3[2025江苏南京质检,较难]在数轴上,若N点与原点的距离是N点与30所对应的点的距离的4倍,则N点表示的数是
40 或 24
.答案
【解析】设$N$点表示的数是$x$. 由题意得$|x|=4|x-30|$，所以$x=4(x-30)$，解得$x=40$，或$x=-4(x-30)$，解得$x=24$，故答案为40 或 24.
4[2025 陕西西安调研,中]解方程:
(1) $\frac{3}{2}[4(x-\frac{1}{3})-\frac{2}{3}]=2x$;
(2) $\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})-8]=\frac{3}{2}x+1$.
(1) $\frac{3}{2}[4(x-\frac{1}{3})-\frac{2}{3}]=2x$;
(2) $\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})-8]=\frac{3}{2}x+1$.
答案
【解】(1)$\frac{3}{2}[4(x-\frac{1}{3})-\frac{2}{3}]=2x$，$\frac{3}{2}(4x-\frac{4}{3}-\frac{2}{3})=2x$，$6x-2-1=2x$，$6x-2x=2+1$，$4x=3$，所以$x=\frac{3}{4}$.
(2)去中括号，得$(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})-6=\frac{3}{2}x+1$. 去小括号，得$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-6=\frac{3}{2}x+1$. 移项，得$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}x=1+6+\frac{1}{4}$. 合并同类项，得$-x=\frac{29}{4}$. 两边同时除以$-1$，得$x=-\frac{29}{4}$.
(2)去中括号，得$(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})-6=\frac{3}{2}x+1$. 去小括号，得$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-6=\frac{3}{2}x+1$. 移项，得$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}x=1+6+\frac{1}{4}$. 合并同类项，得$-x=\frac{29}{4}$. 两边同时除以$-1$，得$x=-\frac{29}{4}$.
5 含1个绝对值 [2026湖北武汉质检]满足$|m - 6| + m - 6 = 0$的$m$的值有（
A.5个
B.6个
C.无数个
D.0个
C
）A.5个
B.6个
C.无数个
D.0个
答案
【解析】$|m-6|+m-6=0$，当$m≥6$时，可得$m-6+m-6=0$，解得$m=6$；当$m＜6$时，可得$6-m+m-6=0$，可得$6-6=0$，所以$m$可以取任意值，所以此方程有无数个解. 综上所述，满足$|m-6|+m-6=0$的$m$的值有无数个. 故选C.
6 含2个绝对值 [2025北京西城区期末,中]解方程:
(1)$|x+6|-|3x-9|=1$;
(2)$2|x+1|+3|x-4|=60$.
(1)$|x+6|-|3x-9|=1$;
(2)$2|x+1|+3|x-4|=60$.
答案
【解】(1)当$x＜-6$时，去绝对值，得$-x-6+3x-9=1$，解得$x=8$，不符合，舍去；当$-6≤ x＜3$时，去绝对值，得$x+6+3x-9=1$，解得$x=1$，符合；当$x≥3$时，去绝对值，得$x+6-(3x-9)=1$，去括号，得$x+6-3x+9=1$，解得$x=7$，符合，所以原方程的解为$x=1$或$x=7$.
(2)当$x＜-1$时，去绝对值，得$2(-x-1)+3(4-x)=60$，解得$x=-10$，符合；当$-1≤ x＜4$时，去绝对值，得$2(x+1)+3(4-x)=60$，解得$x=-46$，不符合，舍去；当$x≥4$时，去绝对值，得$2(x+1)+3(x-4)=60$，解得$x=14$，符合，所以原方程的解为$x=-10$或$x=14$.
(2)当$x＜-1$时，去绝对值，得$2(-x-1)+3(4-x)=60$，解得$x=-10$，符合；当$-1≤ x＜4$时，去绝对值，得$2(x+1)+3(4-x)=60$，解得$x=-46$，不符合，舍去；当$x≥4$时，去绝对值，得$2(x+1)+3(x-4)=60$，解得$x=14$，符合，所以原方程的解为$x=-10$或$x=14$.
7[2026江苏镇江质检,中]如果两个一元一次方程的解之和为2,我们就说这两个方程为“和美方程”.例如,$4x=12$和$x+1=0$是“和美方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x+7=3x$与$x+3m=0$是“和美方程”,求$m$的值.
(2)若两个“和美方程”的解的差为4,且有一个方程为$x+3m=0$,求$m$的值.
(1)若关于$x$的方程$2x+7=3x$与$x+3m=0$是“和美方程”,求$m$的值.
(2)若两个“和美方程”的解的差为4,且有一个方程为$x+3m=0$,求$m$的值.
答案
【解】(1)由方程$2x+7=3x$，解得$x=7$，由方程$x+3m=0$，解得$x=-3m$. 根据“和美方程”的定义得$7+(-3m)=2$，解得$m=\frac{5}{3}$，所以$m$的值为$\frac{5}{3}$.
(2)由方程$x+3m=0$，解得$x=-3m$. 设另一个“和美方程”的解为$t$，根据“和美方程”的定义得$t+(-3m)=2$，所以$t=2+3m$. 又因为这两个“和美方程”的解的差为4，所以有以下两种情况：①当$t-(-3m)=4$时，将$t=2+3m$代入$t-(-3m)=4$，得$2+3m-(-3m)=4$，解得$m=\frac{1}{3}$；②当$(-3m)-t=4$时，将$t=2+3m$代入$(-3m)-t=4$，得$(-3m)-(2+3m)=4$，解得$m=-1$. 综上所述，$m$的值为$\frac{1}{3}$或$-1$.
(2)由方程$x+3m=0$，解得$x=-3m$. 设另一个“和美方程”的解为$t$，根据“和美方程”的定义得$t+(-3m)=2$，所以$t=2+3m$. 又因为这两个“和美方程”的解的差为4，所以有以下两种情况：①当$t-(-3m)=4$时，将$t=2+3m$代入$t-(-3m)=4$，得$2+3m-(-3m)=4$，解得$m=\frac{1}{3}$；②当$(-3m)-t=4$时，将$t=2+3m$代入$(-3m)-t=4$，得$(-3m)-(2+3m)=4$，解得$m=-1$. 综上所述，$m$的值为$\frac{1}{3}$或$-1$.
8 思想方法 分类讨论 [2025 河南郑州期末,中]如图,在数轴上点 O 是原点,点 A,B,C 表示的数分别是-12,8,14.若点 P 从点 A 出发以 2 个单位/秒的速度向右运动,其中由点 O 运动到点 B 的期间速度变为原来的 2 倍,之后立刻恢复原速,点 Q 从点 C 出发以 1 个单位/秒的速度向左运动.若点 P,Q 同时出发,则经过多少秒后,P,Q 两点到点 B 的距离相等?
答案
【解】设经过$t$秒后，$P,Q$两点到点$B$的距离相等. 由题意得，$AO=12$，$OB=8$，$BC=14-8=6$，所以点$P$到达点$O$所用的时间为$12÷2=6$(秒)，此时点$Q$到达点$B$，故$t＜6$，即$Q$在$B$的右边时，不存在符合题意的情况. 当$P$在$B$的左边，且$P,Q$重合时，$PB=BQ$，此时$P$表示的数为$4(t-6)$，$Q$表示的数为$14-t$，所以$4(t-6)=14-t$，解得$t=7.6$；当$P$在$B$的右边时，由$PB=BQ$得$2(t-6-8÷4)=t-6$，解得$t=10$. 综上，经过7.6秒或10秒后，$P,Q$两点到点$B$的距离相等.
