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1. 如图，PA，PB与$\odot O$分别相切于点A，B，PA=2，$∠ P=60°$，则AB的长是（
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3
B
）A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
看到PA、PB是圆O的两条切线，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠P=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△PAB是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可求出AB的长度等于PA的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B，
由切线长定理可得：$PA=PB=2$，
又
∵$∠ APB=60°$，
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB=PA=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先利用切线长定理得到三角形两边相等，再结合特殊角判定等边三角形，最终利用等边三角形的性质求出边长，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.9
看到PA、PB是圆O的两条切线，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠P=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△PAB是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可求出AB的长度等于PA的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B，
由切线长定理可得：$PA=PB=2$，
又
∵$∠ APB=60°$，
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB=PA=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先利用切线长定理得到三角形两边相等，再结合特殊角判定等边三角形，最终利用等边三角形的性质求出边长，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.9
2.如图，四边形ABCD的各边都与$\odot O$相切，且$AB=10$，$CD=15$，则四边形ABCD的周长为 （
A.60
B.55
C.45
D.50
D
）A.60
B.55
C.45
D.50
答案
2.D
解析
【分析】
首先由题可知四边形ABCD的各边都与⊙O相切，可判断该四边形是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边之和相等。我们已知AB和CD的长度，先计算AB与CD的和，再根据对边和相等得到另外一组对边的和，最后将四条边相加即可求出周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边都与⊙O相切
∴ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$\boldsymbol{AB+CD=AD+BC}$
已知$AB=10$，$CD=15$，则$AB+CD=10+15=25$
∴ $AD+BC=25$
∴ 四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=25+25=50$
故选D
【答案】D
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是基础性质应用题，解题的关键是熟练掌握圆外切四边形对边之和相等的性质，直接代入数值计算即可得到结果，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
首先由题可知四边形ABCD的各边都与⊙O相切，可判断该四边形是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边之和相等。我们已知AB和CD的长度，先计算AB与CD的和，再根据对边和相等得到另外一组对边的和，最后将四条边相加即可求出周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的各边都与⊙O相切
∴ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$\boldsymbol{AB+CD=AD+BC}$
已知$AB=10$，$CD=15$，则$AB+CD=10+15=25$
∴ $AD+BC=25$
∴ 四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=25+25=50$
故选D
【答案】D
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是基础性质应用题，解题的关键是熟练掌握圆外切四边形对边之和相等的性质，直接代入数值计算即可得到结果，无需复杂推导。
【难度系数】
0.8
3.如图,过点A作$\odot O$的切线AB,AC,切点分别是B,C,连接BC.过$\overset{\frown}{BC}$上一点D作$\odot O$的切线,分别交AB,AC于点E,F.若$∠ A=90°$,$△ AEF$的周长为4,则BC的长为
$2\sqrt{2}$
.答案
3.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到圆的多条切线问题，优先运用切线长定理分析线段等量关系。首先利用切线长定理可得AB=AC、ED=EB、FD=FC，再将△AEF的周长通过等量代换转化为AB与AC的和，即可求出AB的长度，最后结合∠A=90°的条件，用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵AB、AC是⊙O的切线，切点分别为B、C，
∴AB=AC。
∵EF是⊙O的切线，切点为D，
∴ED=EB，FD=FC。
△AEF的周长为：
$C_{△ AEF}=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF$
将$ED=EB$、$DF=FC$代入上式得：
$C_{△ AEF}=AE+EB+AF+FC=AB+AC$
∵AB=AC，$C_{△ AEF}=4$，
∴$2AB=4$，解得$AB=AC=2$。
又
∵∠A=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题核心是利用切线长定理实现周长的等量转化，将未知线段关系转化为已知的切线长，再结合特殊直角三角形的性质求解，是切线相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的多条切线问题，优先运用切线长定理分析线段等量关系。首先利用切线长定理可得AB=AC、ED=EB、FD=FC，再将△AEF的周长通过等量代换转化为AB与AC的和，即可求出AB的长度，最后结合∠A=90°的条件，用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵AB、AC是⊙O的切线，切点分别为B、C，
∴AB=AC。
∵EF是⊙O的切线，切点为D，
∴ED=EB，FD=FC。
△AEF的周长为：
$C_{△ AEF}=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF$
将$ED=EB$、$DF=FC$代入上式得：
$C_{△ AEF}=AE+EB+AF+FC=AB+AC$
∵AB=AC，$C_{△ AEF}=4$，
∴$2AB=4$，解得$AB=AC=2$。
又
∵∠A=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题核心是利用切线长定理实现周长的等量转化，将未知线段关系转化为已知的切线长，再结合特殊直角三角形的性质求解，是切线相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，PA，PB，DE分别切$\odot O$于点A，B，C，DE分别交PA，PB于点D，E.已知PA的长为8 cm，那么$△ PDE$的周长为
16 cm
.答案
4.16 cm
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；其次梳理图中的切线长相等关系：点P引的两条切线PA、PB长度相等，点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等；最后将△PDE的周长拆分，通过等量代换把周长转化为PA与PB的和，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB、DE分别切$\odot O$于点A、B、C，
根据切线长定理可得：
$PA=PB=8\ \mathrm{cm}$，$DA=DC$，$EB=EC$，
∴$△ PDE$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD+DE+PE\\&=PD+DC+CE+PE\\&=PD+DA+EB+PE\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA+PB\\&=8+8=16(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
16 cm
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用切线长定理做等量代换，将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，解题时注意找准对应的切线长相等关系即可。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路推导：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；其次梳理图中的切线长相等关系：点P引的两条切线PA、PB长度相等，点D引的两条切线DA、DC长度相等，点E引的两条切线EB、EC长度相等；最后将△PDE的周长拆分，通过等量代换把周长转化为PA与PB的和，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB、DE分别切$\odot O$于点A、B、C，
根据切线长定理可得：
$PA=PB=8\ \mathrm{cm}$，$DA=DC$，$EB=EC$，
∴$△ PDE$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD+DE+PE\\&=PD+DC+CE+PE\\&=PD+DA+EB+PE\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA+PB\\&=8+8=16(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
16 cm
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用切线长定理做等量代换，将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，解题时注意找准对应的切线长相等关系即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上。若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E$的度数是 （
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
C
）A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD与∠BCD的和为180°，结合已知的∠BAE+∠BCD=236°，可求出∠DAE的度数；再根据切线的相关性质可得△AED为等腰三角形，∠DAE=∠ADE，最后利用三角形内角和即可求出∠E的度数。
第一步：回忆圆内接四边形性质，对角互补，因此可推出∠BAD和∠BCD的数量关系；第二步：拆分∠BAE为∠BAD+∠DAE，代入已知条件即可求出∠DAE的大小；第三步：根据切线的性质可得EA=ED，△AED为等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和计算∠E即可。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
2. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，且$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE$，将$∠ BAD = 180° - ∠ BCD$代入得：
$180° - ∠ BCD + ∠ DAE + ∠ BCD = 236°$
化简得$∠ DAE = 236° - 180° = 56°$
3. 因为EA、ED都是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$EA=ED$，因此$△ AED$是等腰三角形，$∠ DAE = ∠ ADE = 56°$
4. 在$△ AED$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ E = 180° - ∠ DAE - ∠ ADE = 180° - 56° - 56° = 68°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的性质和三角形相关知识的应用，解题的关键是利用圆内接四边形的对角互补关系建立已知角和未知角的联系，是圆的性质应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD与∠BCD的和为180°，结合已知的∠BAE+∠BCD=236°，可求出∠DAE的度数；再根据切线的相关性质可得△AED为等腰三角形，∠DAE=∠ADE，最后利用三角形内角和即可求出∠E的度数。
第一步：回忆圆内接四边形性质，对角互补，因此可推出∠BAD和∠BCD的数量关系；第二步：拆分∠BAE为∠BAD+∠DAE，代入已知条件即可求出∠DAE的大小；第三步：根据切线的性质可得EA=ED，△AED为等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和计算∠E即可。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
2. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，且$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE$，将$∠ BAD = 180° - ∠ BCD$代入得：
$180° - ∠ BCD + ∠ DAE + ∠ BCD = 236°$
化简得$∠ DAE = 236° - 180° = 56°$
3. 因为EA、ED都是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$EA=ED$，因此$△ AED$是等腰三角形，$∠ DAE = ∠ ADE = 56°$
4. 在$△ AED$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ E = 180° - ∠ DAE - ∠ ADE = 180° - 56° - 56° = 68°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的性质和三角形相关知识的应用，解题的关键是利用圆内接四边形的对角互补关系建立已知角和未知角的联系，是圆的性质应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与$\odot O$相切于点E,F,G,过点D作$\odot O$的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 (
A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先结合矩形与圆的相切关系确定圆的半径，再利用切线长定理得到各段相等的切线长度，最后设未知数，在直角三角形中借助勾股定理列方程求解DM的长度即可。具体思考步骤：1. 根据AB边的长度确定圆的半径，得到AD、BC边上切点分边所得的线段长；2. 利用切线长定理得到DN=DE、MN=MG，将DM的长度转化为含未知数的表达式；3. 在Rt△DCM中用勾股定理建立方程求解未知数，进而得到DM的长。
【解析】
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G
∴⊙O的直径等于AB的长度，即半径$r=AB÷2=4÷2=2$
且四边形AEOF、BFOG均为正方形，因此$AE=AF=BF=BG=2$
∴$DE=AD - AE=5-2=3$，$GC=BC - BG=5-2=3$，$CD=AB=4$
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
∴过D点的两条切线$DE=DN=3$，过M点的两条切线$MG=MN$
设$MG=MN=x$，则$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC - MG=3 - x$
在Rt△DCM中，由勾股定理得：$DC^2 + MC^2 = DM^2$
代入数值：$4^2 + (3-x)^2 = (3+x)^2$
展开计算：
$16 + 9 -6x +x^2 = 9 +6x +x^2$
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何图形结合的典型题型，解题的关键是利用切线长定理将未知线段进行转化，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考察学生对切线性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合矩形与圆的相切关系确定圆的半径，再利用切线长定理得到各段相等的切线长度，最后设未知数，在直角三角形中借助勾股定理列方程求解DM的长度即可。具体思考步骤：1. 根据AB边的长度确定圆的半径，得到AD、BC边上切点分边所得的线段长；2. 利用切线长定理得到DN=DE、MN=MG，将DM的长度转化为含未知数的表达式；3. 在Rt△DCM中用勾股定理建立方程求解未知数，进而得到DM的长。
【解析】
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G
∴⊙O的直径等于AB的长度，即半径$r=AB÷2=4÷2=2$
且四边形AEOF、BFOG均为正方形，因此$AE=AF=BF=BG=2$
∴$DE=AD - AE=5-2=3$，$GC=BC - BG=5-2=3$，$CD=AB=4$
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
∴过D点的两条切线$DE=DN=3$，过M点的两条切线$MG=MN$
设$MG=MN=x$，则$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC - MG=3 - x$
在Rt△DCM中，由勾股定理得：$DC^2 + MC^2 = DM^2$
代入数值：$4^2 + (3-x)^2 = (3+x)^2$
展开计算：
$16 + 9 -6x +x^2 = 9 +6x +x^2$
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何图形结合的典型题型，解题的关键是利用切线长定理将未知线段进行转化，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考察学生对切线性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，以边$AB$的中点$O$为圆心，作半圆与$AC$相切，$P$，$Q$分别是边$BC$和半圆上的动点，连接$PQ$，则$PQ$长的最大值与最小值的和是
9
。答案
7.9
解析
【分析】
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合切线的性质和三角形中位线定理求出半圆的半径；最后分析动点P、Q的位置：PQ的最小值为O到BC的距离减去半径，最大值为B点到圆心O的距离加半径，将两个值相加即可得到结果。
【解析】
1. 判断三角形形状：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，则$AC^2+BC^2=8^2+6^2=100=AB^2$，根据勾股定理逆定理得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
2. 求半圆半径：
过$O$作$OD⊥ AC$于$D$，$OE⊥ BC$于$E$。
因为半圆与$AC$相切，所以$OD$是半圆的半径。
又$O$是$AB$中点，$OD// BC$，$OE// AC$，则$OD$、$OE$都是$△ ABC$的中位线，
所以$OD=\frac{1}{2}BC=3$，$OE=\frac{1}{2}AC=4$，即半圆半径$r=3$，且$OB=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 求PQ的最值：
最小值：当$P$与$E$重合，$Q$为线段$OP$与半圆的交点时，$PQ$最小，最小值为$OP-OQ=4-3=1$。
最大值：当$P$与$B$重合，$Q$为$BO$的延长线与半圆的交点时，$PQ$最大，最大值为$OB+OQ=5+3=8$。
4. 求和：$1+8=9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合最值问题，解题的核心是准确定位动点取最值时的位置，结合直角三角形、切线、中位线的性质计算对应长度，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合切线的性质和三角形中位线定理求出半圆的半径；最后分析动点P、Q的位置：PQ的最小值为O到BC的距离减去半径，最大值为B点到圆心O的距离加半径，将两个值相加即可得到结果。
【解析】
1. 判断三角形形状：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，则$AC^2+BC^2=8^2+6^2=100=AB^2$，根据勾股定理逆定理得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
2. 求半圆半径：
过$O$作$OD⊥ AC$于$D$，$OE⊥ BC$于$E$。
因为半圆与$AC$相切，所以$OD$是半圆的半径。
又$O$是$AB$中点，$OD// BC$，$OE// AC$，则$OD$、$OE$都是$△ ABC$的中位线，
所以$OD=\frac{1}{2}BC=3$，$OE=\frac{1}{2}AC=4$，即半圆半径$r=3$，且$OB=\frac{1}{2}AB=5$。
3. 求PQ的最值：
最小值：当$P$与$E$重合，$Q$为线段$OP$与半圆的交点时，$PQ$最小，最小值为$OP-OQ=4-3=1$。
最大值：当$P$与$B$重合，$Q$为$BO$的延长线与半圆的交点时，$PQ$最大，最大值为$OB+OQ=5+3=8$。
4. 求和：$1+8=9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合最值问题，解题的核心是准确定位动点取最值时的位置，结合直角三角形、切线、中位线的性质计算对应长度，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
