8.如图，已知$\odot O$，设过点$P$所画的$\odot O$的两条切线分别为$PA$，$PB$，切点为$A$，$B$.尺规作图：用两种不同的方法作一点$P$，使$∠ APB=45°$.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

8.解:如答图,点P即为所求.
方法①:作直径EB,CD,且$CD⊥EB$;作半径OA平分$∠EOD$;过点A,B分别作OA,OB的垂线,两条垂线的交点即为点P.
方法②:作半径OA,过点A作直线$l⊥OA$,以点A为圆心,OA为半径画弧交直线l于点C,连接OC;再以点C为圆心,OC长为半径画弧交直线l于点P,连接OP;再以点P为圆心,AP长为半径画弧交$\odot O$于点B,连接OB,BP,即$∠APB=45°$,点P即为所求.

9.(2025·南京秦淮区二模)如图,四边形ABCD的各边都与$\odot O$相切,切点分别为$E,F,G,H$.连接$OA,OB,OC,OD$.
(1)若$AB=5,BC=6,CD=4$,则$DA$的长为________;
(2)求证:$∠ AOD+∠ BOC=180°$.

9.(1)3
(2)证明:如答图,连接OE,OF,OG,OH.
$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形,切点分别为E,F,G,H,$\therefore OE⊥AB,OF⊥BC,∠OBE=∠OBF$,
$\therefore ∠BOE=∠BOF$.
同理可得$∠COF=∠COG,∠DOG=∠DOH,∠AOE=∠AOH$,$\therefore ∠AOD+∠BOC=\frac{1}{2}×360°=180°$.

10.如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径,CF是⊙O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是⊙O的弦,求△CDF的面积.

10.解:设$AF=x.∵$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠DAB=90°,∴DA⊥AB,∴AD$是$\odot O$的切线.
$\because CF$是$\odot O$的切线,E为切点,
$\therefore EF=AF=x,∴FD=1-x$.
$\because CB⊥AB,∴CB$为$\odot O$的切线,$\therefore CB=CE$,
$\therefore CF=CE+EF=CB+EF=1+x$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,由勾股定理,得$CF^2=CD^2+DF^2$,
即$(1+x)^2=1+(1-x)^2$,解得$x=\frac{1}{4}$,
$\therefore DF=1-x=\frac{3}{4},∴S_{△CDF}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$.