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1.三角形的内心是三角形中（
A.三条高的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
D
）A.三条高的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查三角形不同特殊交点的概念辨析，解题时只需逐一回忆每个选项对应的交点名称和定义，再结合“内心”的定义匹配正确选项即可，通过排除不符合要求的选项就能快速得到答案。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条高的交点是垂心，不符合内心的定义，排除；
B. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），到三个顶点的距离相等，不符合题意，排除；
C. 三角形三条中线的交点是重心，不符合题意，排除；
D. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），到三角形三边的距离相等，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
1.D
【知识点】
三角形内心的定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是准确记忆三角形各类特殊交点对应的线段性质，只要区分清楚垂心、外心、重心、内心的定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形不同特殊交点的概念辨析，解题时只需逐一回忆每个选项对应的交点名称和定义，再结合“内心”的定义匹配正确选项即可，通过排除不符合要求的选项就能快速得到答案。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条高的交点是垂心，不符合内心的定义，排除；
B. 三角形三边垂直平分线的交点是外心（外接圆圆心），到三个顶点的距离相等，不符合题意，排除；
C. 三角形三条中线的交点是重心，不符合题意，排除；
D. 三角形三条角平分线的交点是内心（内切圆圆心），到三角形三边的距离相等，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
1.D
【知识点】
三角形内心的定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是准确记忆三角形各类特殊交点对应的线段性质，只要区分清楚垂心、外心、重心、内心的定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，点I为△ABC的内心，BC=12 cm，过点I作ID//AB，IE//AC，ID，IE与BC分别交于点D，E，则△IDE的周长为
12
cm.答案
2.12
解析
【分析】
解题首先明确三角形内心是三角形内角平分线的交点，可得IB平分∠ABC、IC平分∠ACB；再结合ID//AB、IE//AC的平行关系，利用平行线的内错角相等推导角的等量关系，可证得△BID和△CIE均为等腰三角形，得到ID=BD、IE=EC；最后将△IDE的周长通过等量代换转化为BC的长度，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即∠ABI=∠DBI，∠ACI=∠ECI。
∵ID//AB，
∴∠ABI=∠BID，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD。
∵IE//AC，
∴∠ACI=∠CIE，
∴∠ECI=∠CIE，
∴IE=EC。
∴△IDE的周长为：
$C_{△ IDE}=ID+DE+IE=BD+DE+EC=BC$
已知BC=12cm，故$C_{△ IDE}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型基础题，解题核心是通过角的等量关系完成线段的等量代换，将未知周长转化为已知线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先明确三角形内心是三角形内角平分线的交点，可得IB平分∠ABC、IC平分∠ACB；再结合ID//AB、IE//AC的平行关系，利用平行线的内错角相等推导角的等量关系，可证得△BID和△CIE均为等腰三角形，得到ID=BD、IE=EC；最后将△IDE的周长通过等量代换转化为BC的长度，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即∠ABI=∠DBI，∠ACI=∠ECI。
∵ID//AB，
∴∠ABI=∠BID，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD。
∵IE//AC，
∴∠ACI=∠CIE，
∴∠ECI=∠CIE，
∴IE=EC。
∴△IDE的周长为：
$C_{△ IDE}=ID+DE+IE=BD+DE+EC=BC$
已知BC=12cm，故$C_{△ IDE}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型基础题，解题核心是通过角的等量关系完成线段的等量代换，将未知周长转化为已知线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 已知$△ ABC$的周长为14，面积为7，则$△ ABC$的内切圆半径为
1
。答案
3.1
解析
【分析】
要计算三角形的内切圆半径，可利用三角形面积与内切圆半径、周长的关系求解。推导逻辑：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于半径r，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、r为高的小三角形，3个小三角形的面积和等于原三角形面积，整理可得公式$S=\frac{1}{2}Cr$（其中$S$为三角形面积，$C$为三角形周长，$r$为内切圆半径）。已知$S$和$C$的数值，代入变形后的公式即可求出$r$。
【解析】
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a$、$b$、$c$。
由题意得：周长$a+b+c=14$，面积$S=7$。
根据三角形内切圆相关的面积公式：
$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
将$S=7$，$a+b+c=14$代入上式：
$7=\frac{1}{2}×14× r$
化简得：$7=7r$，解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形内切圆相关面积公式的应用，只要掌握对应公式，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算三角形的内切圆半径，可利用三角形面积与内切圆半径、周长的关系求解。推导逻辑：三角形内切圆的圆心到三边的距离都等于半径r，可将原三角形分割为3个分别以原三角形三边为底、r为高的小三角形，3个小三角形的面积和等于原三角形面积，整理可得公式$S=\frac{1}{2}Cr$（其中$S$为三角形面积，$C$为三角形周长，$r$为内切圆半径）。已知$S$和$C$的数值，代入变形后的公式即可求出$r$。
【解析】
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a$、$b$、$c$。
由题意得：周长$a+b+c=14$，面积$S=7$。
根据三角形内切圆相关的面积公式：
$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
将$S=7$，$a+b+c=14$代入上式：
$7=\frac{1}{2}×14× r$
化简得：$7=7r$，解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形内切圆相关面积公式的应用，只要掌握对应公式，代入数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.如图,在正方形ABCD中,点O是△BCD的内心,连接BO并延长交CD于点F,则∠BFC的度数是
67.5°
.答案
4.67.5°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据正方形的性质可得△BCD是等腰直角三角形，得到∠DBC=45°；再结合三角形内心的定义，可知BF是∠DBC的角平分线，求出∠FBC的度数；最后在Rt△BCF中利用三角形内角和定理即可求出∠BFC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，∠DBC=45°，
∵ 点O是△BCD的内心，
∴ BF平分∠DBC，即$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ DBC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
在△BCF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BFC=180°-∠ BCF-∠ FBC=180°-90°-22.5°=67.5°$
【答案】
67.5°
【知识点】
正方形的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类综合题，解题的核心是准确掌握三角形内心是三角形内角平分线交点的性质，结合正方形的角度特征和内角和定理即可求解，是三角形内切圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据正方形的性质可得△BCD是等腰直角三角形，得到∠DBC=45°；再结合三角形内心的定义，可知BF是∠DBC的角平分线，求出∠FBC的度数；最后在Rt△BCF中利用三角形内角和定理即可求出∠BFC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，∠DBC=45°，
∵ 点O是△BCD的内心，
∴ BF平分∠DBC，即$∠ FBC=\frac{1}{2}∠ DBC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
在△BCF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BFC=180°-∠ BCF-∠ FBC=180°-90°-22.5°=67.5°$
【答案】
67.5°
【知识点】
正方形的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类综合题，解题的核心是准确掌握三角形内心是三角形内角平分线交点的性质，结合正方形的角度特征和内角和定理即可求解，是三角形内切圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，$∠ B=42°$，P是$\overset{\frown}{EF}$上一点，则$∠ DPE$的度数是
69°
。答案
5.69°
解析
【分析】要求∠DPE的度数，我们可以先联系圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此先找到∠DPE所对弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE。接着利用三角形内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥AB、OE⊥BC，得到两个直角，再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠B的度数即可求出∠DOE，最后除以2就能得到∠DPE的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°。
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
69°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，核心是通过连接圆心和切点构造直角，将已知角和所求角通过圆心角、圆周角的关系建立联系，解题思路清晰，是内切圆相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：连接OD、OE。
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°。
∵∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ DPE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×138°=69°$。
【答案】
69°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，核心是通过连接圆心和切点构造直角，将已知角和所求角通过圆心角、圆周角的关系建立联系，解题思路清晰，是内切圆相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
6.如图，在一块三角形的地块中间建一个圆形花坛，要使花坛与地块三边都相切.用尺规作图法作出这个圆.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
6.解:如答图,⊙O就是所求作的圆.
解析
【分析】
要作与三角形三边都相切的圆，本质是作三角形的内切圆。我们可以从圆与直线相切的性质推导：圆心到三边的距离都相等，而到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此到三角形三边距离都相等的点是三角形任意两个内角角平分线的交点，也就是三角形的内心。确定圆心位置后，取圆心到任意一边的垂线段长度为半径画圆，就得到符合要求的圆。
【解析】
作图原理如下：
1. 作△ABC任意两个内角（如∠B和∠C）的角平分线，两条角平分线交于点O，点O即为内切圆的圆心；
2. 过点O作任意一边（如BC）的垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径；
3. 以O为圆心，上述垂线段长度为半径作圆，该圆就与△ABC三边都相切，作图时保留角平分线、垂线的痕迹即可。
【答案】
如答图,⊙O就是所求作的圆.
【知识点】
三角形内切圆；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心是掌握三角形内心的性质，即内心是三角形内角平分线的交点，到三边的距离相等，熟练掌握作角平分线、作垂线的基本尺规作图方法就能顺利完成，注意作图时要保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作与三角形三边都相切的圆，本质是作三角形的内切圆。我们可以从圆与直线相切的性质推导：圆心到三边的距离都相等，而到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此到三角形三边距离都相等的点是三角形任意两个内角角平分线的交点，也就是三角形的内心。确定圆心位置后，取圆心到任意一边的垂线段长度为半径画圆，就得到符合要求的圆。
【解析】
作图原理如下：
1. 作△ABC任意两个内角（如∠B和∠C）的角平分线，两条角平分线交于点O，点O即为内切圆的圆心；
2. 过点O作任意一边（如BC）的垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径；
3. 以O为圆心，上述垂线段长度为半径作圆，该圆就与△ABC三边都相切，作图时保留角平分线、垂线的痕迹即可。
【答案】
如答图,⊙O就是所求作的圆.
【知识点】
三角形内切圆；角平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心是掌握三角形内心的性质，即内心是三角形内角平分线的交点，到三边的距离相等，熟练掌握作角平分线、作垂线的基本尺规作图方法就能顺利完成，注意作图时要保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
7.如图,点O是$△ ABC$外接圆的圆心,点I是$△ ABC$的内心,连接OB,IA.若$∠ CAI=35°$,则$∠ OBC$的度数为 （
A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
C
）A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内心、外心的相关性质：第一步，I是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，结合已知∠CAI的度数可求出∠BAC的度数；第二步，O是△ABC的外心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第三步，OB、OC都是外接圆半径，长度相等，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°，
又
∵OB=OC（均为外接圆半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题，解题核心是准确区分内心、外心的性质，结合圆周角定理和等腰三角形的性质逐步推导即可，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内心、外心的相关性质：第一步，I是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，结合已知∠CAI的度数可求出∠BAC的度数；第二步，O是△ABC的外心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第三步，OB、OC都是外接圆半径，长度相等，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°，
又
∵OB=OC（均为外接圆半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题，解题核心是准确区分内心、外心的性质，结合圆周角定理和等腰三角形的性质逐步推导即可，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
