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8.(2025·南京模拟)如图,有一块三角形铁皮余料,$AB=14$,$BC=13$,$CA=12$.若从中剪一个面积最大的半圆,则半圆的圆心在
（
A.AB边上
B.BC边上
C.CA边上
D.$△ ABC$内
（
A
）A.AB边上
B.BC边上
C.CA边上
D.$△ ABC$内
答案
8.A
解析
【分析】
要得到三角形内面积最大的半圆，需保证半圆直径在三角形的某条边上，且半圆与另外两条边相切，此时半圆半径越大，面积越大。我们可以通过面积法分别计算圆心在三条边上时对应的最大半圆半径，比较半径大小即可确定圆心位置：圆心在哪条边上时对应的半径最大，该边就是所求的圆心位置。
【解析】
设$△ ABC$的面积为$S$，分三种情况讨论：
1. 若圆心在$AB$边上：此时半圆与$AC$、$BC$边相切，根据切线的性质，圆心到$AC$、$BC$的距离都等于半圆半径$r_1$。
将$△ ABC$分成$△ AOC$和$△ BOC$（$O$为圆心），则总面积$S = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × AC × r_1 + \frac{1}{2} × BC × r_1$，代入$AC=12$，$BC=13$得：
$S = \frac{1}{2} × (12+13) × r_1$，整理得$r_1 = \frac{2S}{25}$。
2. 若圆心在$BC$边上：此时半圆与$AB$、$AC$边相切，同理可得总面积$S = \frac{1}{2} × (AB+AC) × r_2 = \frac{1}{2} × (14+12) × r_2$，整理得$r_2 = \frac{2S}{26}$。
3. 若圆心在$AC$边上：此时半圆与$AB$、$BC$边相切，同理可得总面积$S = \frac{1}{2} × (AB+BC) × r_3 = \frac{1}{2} × (14+13) × r_3$，整理得$r_3 = \frac{2S}{27}$。
因为$S$是定值，分母越小，$r$值越大，$\frac{2S}{25} ＞ \frac{2S}{26} ＞ \frac{2S}{27}$，即$r_1$最大，对应半圆面积最大，故圆心在$AB$边上。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，三角形面积计算，最值问题
【点评】
本题解题的核心是明确最大半圆的特征：直径在三角形边上，且与另外两边相切，灵活运用面积法计算不同情况下的半圆半径，无需算出具体面积，通过比较分母大小即可快速判断半径的大小关系，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
要得到三角形内面积最大的半圆，需保证半圆直径在三角形的某条边上，且半圆与另外两条边相切，此时半圆半径越大，面积越大。我们可以通过面积法分别计算圆心在三条边上时对应的最大半圆半径，比较半径大小即可确定圆心位置：圆心在哪条边上时对应的半径最大，该边就是所求的圆心位置。
【解析】
设$△ ABC$的面积为$S$，分三种情况讨论：
1. 若圆心在$AB$边上：此时半圆与$AC$、$BC$边相切，根据切线的性质，圆心到$AC$、$BC$的距离都等于半圆半径$r_1$。
将$△ ABC$分成$△ AOC$和$△ BOC$（$O$为圆心），则总面积$S = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × AC × r_1 + \frac{1}{2} × BC × r_1$，代入$AC=12$，$BC=13$得：
$S = \frac{1}{2} × (12+13) × r_1$，整理得$r_1 = \frac{2S}{25}$。
2. 若圆心在$BC$边上：此时半圆与$AB$、$AC$边相切，同理可得总面积$S = \frac{1}{2} × (AB+AC) × r_2 = \frac{1}{2} × (14+12) × r_2$，整理得$r_2 = \frac{2S}{26}$。
3. 若圆心在$AC$边上：此时半圆与$AB$、$BC$边相切，同理可得总面积$S = \frac{1}{2} × (AB+BC) × r_3 = \frac{1}{2} × (14+13) × r_3$，整理得$r_3 = \frac{2S}{27}$。
因为$S$是定值，分母越小，$r$值越大，$\frac{2S}{25} ＞ \frac{2S}{26} ＞ \frac{2S}{27}$，即$r_1$最大，对应半圆面积最大，故圆心在$AB$边上。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，三角形面积计算，最值问题
【点评】
本题解题的核心是明确最大半圆的特征：直径在三角形边上，且与另外两边相切，灵活运用面积法计算不同情况下的半圆半径，无需算出具体面积，通过比较分母大小即可快速判断半径的大小关系，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
9.如图,在△ABC中,∠ACB=58°,△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于点D,E,连接DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD的度数是
29°
.答案
9.29°
解析
【分析】
解题时先从已知的内切圆性质入手：1. 内切圆与两边的切点对应切线长相等，可得△ADE为等腰三角形；2. 内切圆圆心是三角形角平分线的交点，可得BO平分∠ABC。要计算∠BFD，可将其放在△BDF中，结合三角形内角和定理，把角的关系和△ABC的内角和关联推导即可。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点D、E
∴AE=AD，BO平分∠ABC
在△ABC中，∠A + ∠ABC = 180° - ∠ACB = 180° - 58° = 122°
∵AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形
∠ADE = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = 90° - $\frac{1}{2}$∠A
∴∠BDF = 180° - ∠ADE = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBF = $\frac{1}{2}$∠ABC
在△BDF中，由三角形内角和为180°得：
∠BFD = 180° - ∠BDF - ∠DBF
= 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) - $\frac{1}{2}$∠ABC
= 90° - $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)
将∠A + ∠ABC = 122°代入得：
∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}$×122° = 29°
【答案】
29°
【知识点】
三角形内切圆性质、切线长定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的角度计算常考题，解题的核心是熟练运用内切圆的性质、切线长定理得到角度关系，结合三角形内角和公式推导求解，掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的内切圆性质入手：1. 内切圆与两边的切点对应切线长相等，可得△ADE为等腰三角形；2. 内切圆圆心是三角形角平分线的交点，可得BO平分∠ABC。要计算∠BFD，可将其放在△BDF中，结合三角形内角和定理，把角的关系和△ABC的内角和关联推导即可。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点D、E
∴AE=AD，BO平分∠ABC
在△ABC中，∠A + ∠ABC = 180° - ∠ACB = 180° - 58° = 122°
∵AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形
∠ADE = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = 90° - $\frac{1}{2}$∠A
∴∠BDF = 180° - ∠ADE = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBF = $\frac{1}{2}$∠ABC
在△BDF中，由三角形内角和为180°得：
∠BFD = 180° - ∠BDF - ∠DBF
= 180° - (90° + $\frac{1}{2}$∠A) - $\frac{1}{2}$∠ABC
= 90° - $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)
将∠A + ∠ABC = 122°代入得：
∠BFD = 90° - $\frac{1}{2}$×122° = 29°
【答案】
29°
【知识点】
三角形内切圆性质、切线长定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的角度计算常考题，解题的核心是熟练运用内切圆的性质、切线长定理得到角度关系，结合三角形内角和公式推导求解，掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=5$,$BC=12$,$AM=1$,点$I$为$△ ABC$的内心,则$IM=$
$2\sqrt{2}$
.答案
10.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到内切圆半径；接着通过建立平面直角坐标系，结合内心到直角边的距离等于内切圆半径确定内心I的坐标，再根据AM的长度得到点M的坐标；最后用两点间距离公式计算IM的长度即可。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 求内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数值：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
3. 建系确定各点坐标：
以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$C(0,0)$，$A(0,5)$，$B(12,0)$。
∵点I是△ABC的内心，内心到两直角边的距离等于内切圆半径，
∴$I(2,2)$。
∵$AM=1$，M在AC上，
∴M点坐标为$(0,5-1)=(0,4)$。
4. 计算IM的长度：
由两点间距离公式得：
$IM=\sqrt{(2-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形的内心，两点间距离公式
【点评】
本题是三角形内切圆的典型题型，将几何性质和平面直角坐标系的代数运算结合，解题关键是熟练掌握内心的特点，把线段长度计算转化为坐标运算，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：首先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到内切圆半径；接着通过建立平面直角坐标系，结合内心到直角边的距离等于内切圆半径确定内心I的坐标，再根据AM的长度得到点M的坐标；最后用两点间距离公式计算IM的长度即可。
【解析】
1. 求斜边AB的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 求内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数值：
$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
3. 建系确定各点坐标：
以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$C(0,0)$，$A(0,5)$，$B(12,0)$。
∵点I是△ABC的内心，内心到两直角边的距离等于内切圆半径，
∴$I(2,2)$。
∵$AM=1$，M在AC上，
∴M点坐标为$(0,5-1)=(0,4)$。
4. 计算IM的长度：
由两点间距离公式得：
$IM=\sqrt{(2-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形的内心，两点间距离公式
【点评】
本题是三角形内切圆的典型题型，将几何性质和平面直角坐标系的代数运算结合，解题关键是熟练掌握内心的特点，把线段长度计算转化为坐标运算，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.6
11.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为$(3,6)$，$(-3,3)$，$(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为
(2,3)
。答案
11.(2,3)
解析
【分析】
三角形的内心是三角形三条内角角平分线的交点，因此我们可以通过求两条角平分线的交点得到内心坐标：1. 首先观察点B坐标$(-3,3)$，AB边和BC边的斜率分别为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，可知两边关于水平线$y=3$对称，因此$∠ B$的角平分线为直线$y=3$，即内心的纵坐标为3；2. 再计算出三角形的边长，判断出$△ ABC$为直角三角形，求出内切圆半径，结合内心到AB边的距离等于半径，即可求出内心的横坐标。
【解析】
解：步骤1：计算$△ ABC$三边长度，判断三角形形状
已知$A(3,6)$，$B(-3,3)$，$C(7,-2)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$：
$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(7-3)^2+(-2-6)^2}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(7+3)^2+(-2-3)^2}=5\sqrt{5}$，
$\because AB^2+AC^2=(3\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=125=(5\sqrt{5})^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$。
步骤2：求直角三角形内切圆半径$r$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{AB+AC-BC}{2}$，代入得：
$r=\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
步骤3：确定$∠ B$的角平分线
点B坐标为$(-3,3)$，AB边斜率$k_{AB}=\frac{6-3}{3+3}=\frac{1}{2}$，BC边斜率$k_{BC}=\frac{-2-3}{7+3}=-\frac{1}{2}$，可知AB、BC关于直线$y=3$对称，因此$∠ B$的角平分线为直线$y=3$，即内心纵坐标为3，设内心坐标为$(m,3)$。
步骤4：利用点到直线距离求横坐标$m$
先求AB边所在直线方程，代入A、B两点坐标得直线$AB:x-2y+9=0$。
内心到AB边的距离等于半径$r=\sqrt{5}$，根据点到直线距离公式：
$\frac{|m-2×3+9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\sqrt{5}$，
化简得$|m+3|=5$，
因为内心在三角形内部，$m＞-3$，所以$m+3=5$，解得$m=2$。
因此$△ ABC$内心的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
三角形内心的性质，直角三角形内切圆半径公式，点到直线的距离公式
【点评】
本题考查三角形内心坐标的求解，既可以通过角平分线的性质找交点，也可以结合直角三角形的特点简化计算，解题时结合网格的对称性可以快速找到角平分线，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
三角形的内心是三角形三条内角角平分线的交点，因此我们可以通过求两条角平分线的交点得到内心坐标：1. 首先观察点B坐标$(-3,3)$，AB边和BC边的斜率分别为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$，可知两边关于水平线$y=3$对称，因此$∠ B$的角平分线为直线$y=3$，即内心的纵坐标为3；2. 再计算出三角形的边长，判断出$△ ABC$为直角三角形，求出内切圆半径，结合内心到AB边的距离等于半径，即可求出内心的横坐标。
【解析】
解：步骤1：计算$△ ABC$三边长度，判断三角形形状
已知$A(3,6)$，$B(-3,3)$，$C(7,-2)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$：
$AB=\sqrt{(3+3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(7-3)^2+(-2-6)^2}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(7+3)^2+(-2-3)^2}=5\sqrt{5}$，
$\because AB^2+AC^2=(3\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=125=(5\sqrt{5})^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$。
步骤2：求直角三角形内切圆半径$r$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{AB+AC-BC}{2}$，代入得：
$r=\frac{3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。
步骤3：确定$∠ B$的角平分线
点B坐标为$(-3,3)$，AB边斜率$k_{AB}=\frac{6-3}{3+3}=\frac{1}{2}$，BC边斜率$k_{BC}=\frac{-2-3}{7+3}=-\frac{1}{2}$，可知AB、BC关于直线$y=3$对称，因此$∠ B$的角平分线为直线$y=3$，即内心纵坐标为3，设内心坐标为$(m,3)$。
步骤4：利用点到直线距离求横坐标$m$
先求AB边所在直线方程，代入A、B两点坐标得直线$AB:x-2y+9=0$。
内心到AB边的距离等于半径$r=\sqrt{5}$，根据点到直线距离公式：
$\frac{|m-2×3+9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\sqrt{5}$，
化简得$|m+3|=5$，
因为内心在三角形内部，$m＞-3$，所以$m+3=5$，解得$m=2$。
因此$△ ABC$内心的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
三角形内心的性质，直角三角形内切圆半径公式，点到直线的距离公式
【点评】
本题考查三角形内心坐标的求解，既可以通过角平分线的性质找交点，也可以结合直角三角形的特点简化计算，解题时结合网格的对称性可以快速找到角平分线，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
12.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为$D,E,F$.
(1)求证:四边形$OECF$是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:四边形$OECF$是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.
答案
12.(1)证明:
∵E,F是圆的切点,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2)解:如答图,连接OA,OB,OC,OD.
∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.设OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
∵$S_{△ACB}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r+\frac{1}{2}AB×r$,
即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$,解得r=2,
即⊙O的半径是2.
解析
【分析】
(1) 证明四边形为正方形可按“先证矩形，再证邻边相等”的思路推导：首先根据圆的切线垂直于过切点的半径，可得OE⊥BC、OF⊥AC，结合∠C=90°可推出四边形OECF是矩形，再根据内切圆半径相等，即OE=OF，即可得证矩形OECF是正方形。
(2) 求内切圆半径时，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再运用面积法：△ABC的面积等于△OAC、△OBC、△OAB三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为内切圆半径，底分别为△ABC的三边，据此列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 证明：
∵E、F是⊙O的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形。
又
∵OE、OF均为⊙O的半径，即OE=OF，
∴四边形OECF是正方形。
(2) 解：连接OA、OB、OC、OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，设⊙O的半径为r，则OD=OE=OF=r。
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
根据三角形面积关系$S_{△ABC}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$，代入面积公式可得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AB×r$
代入数值化简可解得r=2。
【答案】
(1) 证明：
∵E,F是圆的切点,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2) 如答图,连接OA,OB,OC,OD.
∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.设OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
∵$S_{△ACB}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r+\frac{1}{2}AB×r$,
即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$,解得r=2,
即⊙O的半径是2.
【知识点】
切线的性质、正方形的判定、内切圆半径计算
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础题型，第一问考查正方形的判定与切线性质的结合应用，逻辑链条简单易掌握；第二问的面积法是求解三角形内切圆半径的常用方法，熟练运用该方法可快速解决同类计算问题。
【难度系数】
0.75
(1) 证明四边形为正方形可按“先证矩形，再证邻边相等”的思路推导：首先根据圆的切线垂直于过切点的半径，可得OE⊥BC、OF⊥AC，结合∠C=90°可推出四边形OECF是矩形，再根据内切圆半径相等，即OE=OF，即可得证矩形OECF是正方形。
(2) 求内切圆半径时，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长度，再运用面积法：△ABC的面积等于△OAC、△OBC、△OAB三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为内切圆半径，底分别为△ABC的三边，据此列方程即可求解半径。
【解析】
(1) 证明：
∵E、F是⊙O的切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形。
又
∵OE、OF均为⊙O的半径，即OE=OF，
∴四边形OECF是正方形。
(2) 解：连接OA、OB、OC、OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，设⊙O的半径为r，则OD=OE=OF=r。
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
根据三角形面积关系$S_{△ABC}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$，代入面积公式可得：
$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AB×r$
代入数值化简可解得r=2。
【答案】
(1) 证明：
∵E,F是圆的切点,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2) 如答图,连接OA,OB,OC,OD.
∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.设OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
∵$S_{△ACB}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r+\frac{1}{2}AB×r$,
即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$,解得r=2,
即⊙O的半径是2.
【知识点】
切线的性质、正方形的判定、内切圆半径计算
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础题型，第一问考查正方形的判定与切线性质的结合应用，逻辑链条简单易掌握；第二问的面积法是求解三角形内切圆半径的常用方法，熟练运用该方法可快速解决同类计算问题。
【难度系数】
0.75
13.(2025·东台开学考试)点I为△ABC的内心,连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D,AI=2CD,E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,求IE的长.
答案
13.解:如答图,延长ID到点M,使得DM=ID,连接CM.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,
∠BCD=∠IAB,
∴∠DIC=∠DCI,
∴DI=DC=DM=5,
∴IM是△ICM外接圆的直径,
∴∠ICM=90°.
∵IM=2ID=10,
∴$MC=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∵AI=2CD=10,
∴AI=IM.
∵E为弦AC的中点,
∴AE=EC,
∴IE//MC且$IE=\frac{1}{2}MC=4$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“点I为△ABC的内心”入手，回忆内心是三角形角平分线的交点，可得角相等的关系，先推导得到DI=DC这一关键结论，得到DC的长度后即可求出AI的长度。接下来要求IE的长，已知E是AC中点，可考虑构造三角形中位线，因此延长ID到M使DM=ID，此时先证明△ICM是直角三角形，利用勾股定理求出CM的长度，再证明IE是△ACM的中位线，即可通过中位线的性质得到IE的长度。
【解析】
解：如答图，延长ID到点M，使得DM=ID，连接CM。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，即∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB。
∵∠DIC是△AIC的外角，
∴∠DIC=∠IAC+∠ICA，
又
∵∠DCI=∠BCD+∠ICB，且同弧所对的圆周角相等，∠BCD=∠IAB=∠IAC，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM=5，
∴D为IM中点，且$DC=\frac{1}{2}IM$，
∴△ICM是直角三角形，∠ICM=90°。
∵IM=ID+DM=2ID=10，IC=6，
∴在Rt△ICM中，由勾股定理得：$MC=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵AI=2CD=2×5=10，
∴AI=IM=10，即I是AM的中点，
又
∵E为弦AC的中点，即AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴$IE=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
IE的长为4。
【知识点】
三角形内心的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将三角形内心、圆周角性质、直角三角形判定与性质、中位线定理相结合，解题的关键是掌握内心的性质推导得到DI=DC，再通过构造辅助线得到中位线与直角三角形，将所求线段转化为直角三角形边长的一半，较好地考察了几何知识的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“点I为△ABC的内心”入手，回忆内心是三角形角平分线的交点，可得角相等的关系，先推导得到DI=DC这一关键结论，得到DC的长度后即可求出AI的长度。接下来要求IE的长，已知E是AC中点，可考虑构造三角形中位线，因此延长ID到M使DM=ID，此时先证明△ICM是直角三角形，利用勾股定理求出CM的长度，再证明IE是△ACM的中位线，即可通过中位线的性质得到IE的长度。
【解析】
解：如答图，延长ID到点M，使得DM=ID，连接CM。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，即∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB。
∵∠DIC是△AIC的外角，
∴∠DIC=∠IAC+∠ICA，
又
∵∠DCI=∠BCD+∠ICB，且同弧所对的圆周角相等，∠BCD=∠IAB=∠IAC，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM=5，
∴D为IM中点，且$DC=\frac{1}{2}IM$，
∴△ICM是直角三角形，∠ICM=90°。
∵IM=ID+DM=2ID=10，IC=6，
∴在Rt△ICM中，由勾股定理得：$MC=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵AI=2CD=2×5=10，
∴AI=IM=10，即I是AM的中点，
又
∵E为弦AC的中点，即AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴$IE=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
IE的长为4。
【知识点】
三角形内心的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将三角形内心、圆周角性质、直角三角形判定与性质、中位线定理相结合，解题的关键是掌握内心的性质推导得到DI=DC，再通过构造辅助线得到中位线与直角三角形，将所求线段转化为直角三角形边长的一半，较好地考察了几何知识的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
