8.(2025·南京模拟)如图,有一块三角形铁皮余料,$AB=14$,$BC=13$,$CA=12$.若从中剪一个面积最大的半圆,则半圆的圆心在
（）

A.AB边上
B.BC边上
C.CA边上
D.$△ ABC$内

8.A

9.如图,在△ABC中,∠ACB=58°,△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于点D,E,连接DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD的度数是.

9.29°

10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=5$,$BC=12$,$AM=1$,点$I$为$△ ABC$的内心,则$IM=$.

10.$2\sqrt{2}$

11.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为$(3,6)$，$(-3,3)$，$(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为。

11.(2,3)

12.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为$D,E,F$.
(1)求证:四边形$OECF$是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$\odot O$的半径.

12.(1)证明:
∵E,F是圆的切点,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,
∴四边形OECF是矩形.
∵OE=OF,
∴四边形OECF是正方形.
(2)解:如答图,连接OA,OB,OC,OD.

∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.设OD=OE=OF=r.
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
∵$S_{△ACB}=S_{△OAC}+S_{△OBC}+S_{△OAB}$,
∴$\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r+\frac{1}{2}AB×r$,
即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6r+\frac{1}{2}×8r+\frac{1}{2}×10r$,解得r=2,
即⊙O的半径是2.

13.(2025·东台开学考试)点I为△ABC的内心,连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D,AI=2CD,E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,求IE的长.

13.解:如答图,延长ID到点M,使得DM=ID,连接CM.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,
∠BCD=∠IAB,
∴∠DIC=∠DCI,
∴DI=DC=DM=5,
∴IM是△ICM外接圆的直径,
∴∠ICM=90°.
∵IM=2ID=10,
∴$MC=\sqrt{IM^2-IC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∵AI=2CD=10,
∴AI=IM.
∵E为弦AC的中点,
∴AE=EC,
∴IE//MC且$IE=\frac{1}{2}MC=4$.