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23. [2026合肥期末]假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍.
(1)小华同学列的方程是$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a+5}$，你知道a代表什么吗？
(2)请你用不同于(1)中小华的方法，求用320元购买A种花卉的数量.
(3)插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成$m$盆小盆栽的插花任务或完成$(9-m)$盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求$m$的值.
(1)小华同学列的方程是$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a+5}$，你知道a代表什么吗？
(2)请你用不同于(1)中小华的方法，求用320元购买A种花卉的数量.
(3)插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成$m$盆小盆栽的插花任务或完成$(9-m)$盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽所用的时间相同，求$m$的值.
答案
23.解：(1)$a$代表每枝A种花卉的单价；(2)用320元购买A种花卉的数量为16枝；(3)$m=7$.
解析
【分析】
(1) 观察小华列的方程，$\frac{320}{a}$中320是购买A种花卉的总费用，总费用除以单价等于购买数量，因此a应为A种花卉的单价，$a+5$对应B种花卉的单价，$\frac{800}{a+5}$是B种花卉的购买数量，方程符合“B种花卉数量是A种花卉数量的2倍”的等量关系，即可确定a的意义。
(2) 不同于(1)设单价的方法，我们直接设所求的“320元购买A种花卉的数量”为未知量，分别表示出A、B两种花卉的单价，再根据“每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验根是否符合实际意义。
(3) 依据“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，根据“完成35盆小盆栽的时间=完成10盆大盆栽的时间”列分式方程，求解后检验即可得到m的值。
【解析】
(1) 方程中$\frac{320}{a}$表示用320元购买A种花卉的数量，因此除数a代表每枝A种花卉的单价。
(2) 设用320元购买A种花卉的数量为$x$枝，则用800元购买B种花卉的数量为$2x$枝。
根据“每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元”列方程：
$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$
化简得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{400}{x}$
移项计算得：$\frac{80}{x} = 5$
解得：$x = 16$
检验：当$x=16$时，分母$x≠0$，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
(3) 根据工作时间相等列方程：
$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$
交叉相乘得：$35(9 - m) = 10m$
展开计算得：$315 - 35m = 10m$
移项合并得：$45m = 315$
解得：$m = 7$
检验：当$m=7$时，$m≠0$，$9 - m=2≠0$，$m=7$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)$a$代表每枝A种花卉的单价；(2)用320元购买A种花卉的数量为16枝；(3)$m=7$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价数量单价关系
3. 工作量效率时间关系
【点评】
本题结合生活采购、劳动实践场景考查分式方程的实际应用，解题核心是找准不同场景下的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足分母不为0、符合实际意义的要求，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.75
(1) 观察小华列的方程，$\frac{320}{a}$中320是购买A种花卉的总费用，总费用除以单价等于购买数量，因此a应为A种花卉的单价，$a+5$对应B种花卉的单价，$\frac{800}{a+5}$是B种花卉的购买数量，方程符合“B种花卉数量是A种花卉数量的2倍”的等量关系，即可确定a的意义。
(2) 不同于(1)设单价的方法，我们直接设所求的“320元购买A种花卉的数量”为未知量，分别表示出A、B两种花卉的单价，再根据“每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验根是否符合实际意义。
(3) 依据“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，根据“完成35盆小盆栽的时间=完成10盆大盆栽的时间”列分式方程，求解后检验即可得到m的值。
【解析】
(1) 方程中$\frac{320}{a}$表示用320元购买A种花卉的数量，因此除数a代表每枝A种花卉的单价。
(2) 设用320元购买A种花卉的数量为$x$枝，则用800元购买B种花卉的数量为$2x$枝。
根据“每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元”列方程：
$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$
化简得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{400}{x}$
移项计算得：$\frac{80}{x} = 5$
解得：$x = 16$
检验：当$x=16$时，分母$x≠0$，$x=16$是原方程的解，且符合实际意义。
(3) 根据工作时间相等列方程：
$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$
交叉相乘得：$35(9 - m) = 10m$
展开计算得：$315 - 35m = 10m$
移项合并得：$45m = 315$
解得：$m = 7$
检验：当$m=7$时，$m≠0$，$9 - m=2≠0$，$m=7$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)$a$代表每枝A种花卉的单价；(2)用320元购买A种花卉的数量为16枝；(3)$m=7$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价数量单价关系
3. 工作量效率时间关系
【点评】
本题结合生活采购、劳动实践场景考查分式方程的实际应用，解题核心是找准不同场景下的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足分母不为0、符合实际意义的要求，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.75
24. 消元思想 已知$2x - 3y + z = 0$，$3x - 2y - 6z = 0$，且$z ≠ 0$，则$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}$的值为
$\frac{13}{20}$
。答案
24.$\frac{13}{20}$
解析
【分析】
题目给出两个含三个未知数x、y、z的方程，未知数的数量比方程多1，且已知z≠0，因此可以将z看作常数，把两个方程当作关于x、y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子表示出x和y，再将x、y代入所求分式，约去z后即可求出分式的值。
【解析】
首先将已知方程整理为：
$\begin{cases}2x - 3y = -z&①\\3x - 2y = 6z&②\end{cases}$
消去x：①×3得$6x - 9y = -3z$ ③，②×2得$6x - 4y = 12z$ ④
用④-③得：$(6x - 4y) - (6x - 9y) = 12z - (-3z)$
化简得$5y = 15z$，解得$y = 3z$
把$y=3z$代入①得：$2x - 3×3z = -z$，即$2x -9z = -z$
解得$2x=8z$，即$x=4z$
将$x=4z$、$y=3z$代入$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}$得：
分子：$(4z)^2 + (3z)^2 + z^2 = 16z^2 +9z^2 +z^2 = 26z^2$
分母：$2×(4z)^2 + (3z)^2 - z^2 = 2×16z^2 +9z^2 -z^2 =32z^2 +9z^2 -z^2=40z^2$
因为$z≠0$，所以分式可约去$z^2$，得$\frac{26z^2}{40z^2}=\frac{13}{20}$
【答案】
$\frac{13}{20}$
【知识点】
消元思想、二元一次方程组的解法、分式化简求值
【点评】
本题考查消元思想的灵活应用，当遇到未知数个数多于方程个数的求值问题时，可将其中一个非零未知数当作常数，用其表示其余未知数后代入所求式子化简即可，解题时要注意利用给定的非零条件保证分式有意义。
【难度系数】
0.6
题目给出两个含三个未知数x、y、z的方程，未知数的数量比方程多1，且已知z≠0，因此可以将z看作常数，把两个方程当作关于x、y的二元一次方程组，通过消元法用含z的式子表示出x和y，再将x、y代入所求分式，约去z后即可求出分式的值。
【解析】
首先将已知方程整理为：
$\begin{cases}2x - 3y = -z&①\\3x - 2y = 6z&②\end{cases}$
消去x：①×3得$6x - 9y = -3z$ ③，②×2得$6x - 4y = 12z$ ④
用④-③得：$(6x - 4y) - (6x - 9y) = 12z - (-3z)$
化简得$5y = 15z$，解得$y = 3z$
把$y=3z$代入①得：$2x - 3×3z = -z$，即$2x -9z = -z$
解得$2x=8z$，即$x=4z$
将$x=4z$、$y=3z$代入$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}$得：
分子：$(4z)^2 + (3z)^2 + z^2 = 16z^2 +9z^2 +z^2 = 26z^2$
分母：$2×(4z)^2 + (3z)^2 - z^2 = 2×16z^2 +9z^2 -z^2 =32z^2 +9z^2 -z^2=40z^2$
因为$z≠0$，所以分式可约去$z^2$，得$\frac{26z^2}{40z^2}=\frac{13}{20}$
【答案】
$\frac{13}{20}$
【知识点】
消元思想、二元一次方程组的解法、分式化简求值
【点评】
本题考查消元思想的灵活应用，当遇到未知数个数多于方程个数的求值问题时，可将其中一个非零未知数当作常数，用其表示其余未知数后代入所求式子化简即可，解题时要注意利用给定的非零条件保证分式有意义。
【难度系数】
0.6
25. 整体思想 先化简，再求值：$(2a - \frac{12a}{a+2}) ÷ \frac{a-4}{a^2 + 4a + 4}$，其中$a$满足$a^2 + 2a - 3 = 0$。
答案
25.解：原式=$2a^2+4a$.因为$a^2+2a-3=0$,所以$a^2+2a=3$.所以原式=$2(a^2+2a)=6$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先按照分式混合运算规则化简原式，先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简结果；第二步观察已知条件和化简结果的联系，无需求解a的具体值，利用整体代入思想，将$a^2+2a$看作整体代入计算即可得到最终值。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2a(a+2)}{a+2}-\frac{12a}{a+2}) ÷ \frac{a-4}{(a+2)^2}\\&=\frac{2a^2 + 4a - 12a}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=\frac{2a^2 - 8a}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=\frac{2a(a - 4)}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=2a(a+2)\\&=2a^2 + 4a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 3 = 0$，移项可得$a^2 + 2a = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=2(a^2 + 2a) = 2×3 = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题将分式运算和代数式求值结合，重点考查整体思想的应用，化简过程中要注意通分、约分的规则，以及因式分解的正确运用，通过整体代入可大幅简化计算，避免求解方程的多余步骤。
【难度系数】
0.65
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先按照分式混合运算规则化简原式，先计算括号内的分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分得到最简结果；第二步观察已知条件和化简结果的联系，无需求解a的具体值，利用整体代入思想，将$a^2+2a$看作整体代入计算即可得到最终值。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{2a(a+2)}{a+2}-\frac{12a}{a+2}) ÷ \frac{a-4}{(a+2)^2}\\&=\frac{2a^2 + 4a - 12a}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=\frac{2a^2 - 8a}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=\frac{2a(a - 4)}{a+2} × \frac{(a+2)^2}{a-4}\\&=2a(a+2)\\&=2a^2 + 4a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 3 = 0$，移项可得$a^2 + 2a = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=2(a^2 + 2a) = 2×3 = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题将分式运算和代数式求值结合，重点考查整体思想的应用，化简过程中要注意通分、约分的规则，以及因式分解的正确运用，通过整体代入可大幅简化计算，避免求解方程的多余步骤。
【难度系数】
0.65
26. 转化与化归思想 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：$\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”。如果$x$为整数，分式$\frac{2x^2 +5}{x+1}$的值为整数，求所有符合条件的$x$的值。
答案
26.解：所有符合条件的$x$的值为6,0,-8,-2.
解析
【分析】
本题属于分式值为整数的求解题，解题时可类比假分数化带分数的思路，先将给定的假分式拆分为整式与真分式的和的形式。因为x为整数时，整式部分的值必然是整数，因此只需保证真分式部分的值为整数即可，再根据约数的性质列出分母所有可能的取值，进而求出对应的x值。
【解析】
首先对分式$\frac{2x^2 +5}{x+1}$进行拆分变形：
将分子配凑为含分母$x+1$的形式：
$2x^2+5=2(x^2-1)+7=2(x+1)(x-1)+7$
代入原分式可得：
$\frac{2x^2 +5}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+7}{x+1}=2(x-1)+\frac{7}{x+1}$
因为x为整数，所以$2(x-1)$是整数，要使整个分式的值为整数，则$\frac{7}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是7的整数约数。
7的整数约数有$\pm1、\pm7$，分情况计算：
① 当$x+1=1$时，$x=0$；
② 当$x+1=-1$时，$x=-2$；
③ 当$x+1=7$时，$x=6$；
④ 当$x+1=-7$时，$x=-8$。
经检验，以上x值均使原分式有意义。
【答案】
所有符合条件的$x$的值为6,0,-8,-2。
【知识点】
分式的化简、整除的性质、转化思想
【点评】
本题解题的关键是掌握假分式的拆分方法，将复杂的分式求值问题转化为整除问题求解，要注意约数包含正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题属于分式值为整数的求解题，解题时可类比假分数化带分数的思路，先将给定的假分式拆分为整式与真分式的和的形式。因为x为整数时，整式部分的值必然是整数，因此只需保证真分式部分的值为整数即可，再根据约数的性质列出分母所有可能的取值，进而求出对应的x值。
【解析】
首先对分式$\frac{2x^2 +5}{x+1}$进行拆分变形：
将分子配凑为含分母$x+1$的形式：
$2x^2+5=2(x^2-1)+7=2(x+1)(x-1)+7$
代入原分式可得：
$\frac{2x^2 +5}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+7}{x+1}=2(x-1)+\frac{7}{x+1}$
因为x为整数，所以$2(x-1)$是整数，要使整个分式的值为整数，则$\frac{7}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是7的整数约数。
7的整数约数有$\pm1、\pm7$，分情况计算：
① 当$x+1=1$时，$x=0$；
② 当$x+1=-1$时，$x=-2$；
③ 当$x+1=7$时，$x=6$；
④ 当$x+1=-7$时，$x=-8$。
经检验，以上x值均使原分式有意义。
【答案】
所有符合条件的$x$的值为6,0,-8,-2。
【知识点】
分式的化简、整除的性质、转化思想
【点评】
本题解题的关键是掌握假分式的拆分方法，将复杂的分式求值问题转化为整除问题求解，要注意约数包含正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
27.若代数式$\frac{1}{x-4}$有意义，则实数$x$的取值范围是
$x≠4$
。答案
27.$x≠4$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的相关性质：分式有意义的前提是分母不能等于0。本题中代数式是分式，分母为x-4，因此只需令分母不等于0，解这个简单的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{1}{x-4}$是分式，分式有意义的条件为分母不为0
∴ $x-4 ≠ 0$
解得 $x ≠ 4$
【答案】
$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，考查分式有意义的核心规则，属于分式模块的常考基础题型，牢记分母不为0的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的相关性质：分式有意义的前提是分母不能等于0。本题中代数式是分式，分母为x-4，因此只需令分母不等于0，解这个简单的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{1}{x-4}$是分式，分式有意义的条件为分母不为0
∴ $x-4 ≠ 0$
解得 $x ≠ 4$
【答案】
$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，考查分式有意义的核心规则，属于分式模块的常考基础题型，牢记分母不为0的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
28. [2025 安徽中考] 先化简，再求值：$\dfrac{2}{x^2 + 2x + 1} ÷ \dfrac{1}{x^2 - 1}$，其中$x=3.$
答案
28.解：原式=$\frac{2x-2}{x+1}$,当$x=3$时,原式=1.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路清晰：①依据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；②对式子中的多项式因式分解：$x^2+2x+1$符合完全平方公式，可分解为$(x+1)^2$，$x^2-1$符合平方差公式，可分解为$(x+1)(x-1)$；③对转化后的乘法算式约分，得到最简分式；④将$x=3$代入最简分式计算最终结果即可。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2}{x^2+2x+1} × (x^2-1)\\&=\dfrac{2}{(x+1)^2} × (x+1)(x-1)\\&=\dfrac{2(x-1)}{x+1}\\&=\dfrac{2x-2}{x+1}\end{aligned}$
将$x=3$代入最简式计算：
$原式=\dfrac{2×3 - 2}{3+1}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2x-2}{x+1}$，当$x=3$时，原式的值为1。
【知识点】
1.分式除法法则 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查分式运算的基本规则，解题关键是准确对多项式进行因式分解，约分彻底，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路清晰：①依据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；②对式子中的多项式因式分解：$x^2+2x+1$符合完全平方公式，可分解为$(x+1)^2$，$x^2-1$符合平方差公式，可分解为$(x+1)(x-1)$；③对转化后的乘法算式约分，得到最简分式；④将$x=3$代入最简分式计算最终结果即可。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2}{x^2+2x+1} × (x^2-1)\\&=\dfrac{2}{(x+1)^2} × (x+1)(x-1)\\&=\dfrac{2(x-1)}{x+1}\\&=\dfrac{2x-2}{x+1}\end{aligned}$
将$x=3$代入最简式计算：
$原式=\dfrac{2×3 - 2}{3+1}=\dfrac{4}{4}=1$
【答案】
化简结果为$\dfrac{2x-2}{x+1}$，当$x=3$时，原式的值为1。
【知识点】
1.分式除法法则 2.因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查分式运算的基本规则，解题关键是准确对多项式进行因式分解，约分彻底，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
