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13. [2026 马鞍山期末] 先化简 $(\dfrac{a^2 +1}{a} -2) ÷ \dfrac{a^2 -1}{a}$，再从$-2,0,3$中选一个合适的数作为$a$的值代入求值.
答案
13.解：原式=$\frac{a-1}{a+1}$.易知$a≠0,1,-1$,$\therefore$当$a=3$时,原式=$\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$;当$a=-2$时,原式=$\frac{-2-1}{-2+1}=3$.(选择一个数代入即可)
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先计算括号内的分式减法，通分后合并分子；第二步将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0）筛选出合适的a的取值，代入最简式计算结果即可。需要注意选a时必须保证原式中所有分母都不为0，不能选使分母为0的数值。
【解析】
解：先化简原式：
第一步，计算括号内的减法，通分得：
原式$=(\dfrac{a^2 +1}{a} - \dfrac{2a}{a}) ÷ \dfrac{a^2 -1}{a}$
$=\dfrac{a^2 - 2a +1}{a} ÷ \dfrac{a^2 -1}{a}$
第二步，将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
分子$a^2-2a+1=(a-1)^2$，分母$a^2-1=(a-1)(a+1)$，因此：
原式$=\dfrac{(a-1)^2}{a} × \dfrac{a}{(a-1)(a+1)}$
第三步，约分化简：
约去公因式$a$和$(a-1)$，得最简结果：$\dfrac{a-1}{a+1}$
接下来确定a的取值范围：
要使分式有意义，则所有分母不为0，即$a ≠ 0$，且$a^2 -1 ≠ 0$，解得$a ≠ 0, 1, -1$。
因此给出的数中，0不符合要求，可选$a=3$或$a=-2$：
若选$a=3$，代入得：$\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
若选$a=-2$，代入得：$\dfrac{-2-1}{-2+1}=\dfrac{-3}{-1}=3$（任选其一即可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-1}{a+1}$，当$a=3$时，值为$\dfrac{1}{2}$（或当$a=-2$时，值为$3$）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握分式混合运算的顺序和法则，易错点是容易忽略分式有意义的条件，误选$a=0$代入计算导致错误，代入求值前一定要先验证所选数值是否满足所有分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先计算括号内的分式减法，通分后合并分子；第二步将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0）筛选出合适的a的取值，代入最简式计算结果即可。需要注意选a时必须保证原式中所有分母都不为0，不能选使分母为0的数值。
【解析】
解：先化简原式：
第一步，计算括号内的减法，通分得：
原式$=(\dfrac{a^2 +1}{a} - \dfrac{2a}{a}) ÷ \dfrac{a^2 -1}{a}$
$=\dfrac{a^2 - 2a +1}{a} ÷ \dfrac{a^2 -1}{a}$
第二步，将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
分子$a^2-2a+1=(a-1)^2$，分母$a^2-1=(a-1)(a+1)$，因此：
原式$=\dfrac{(a-1)^2}{a} × \dfrac{a}{(a-1)(a+1)}$
第三步，约分化简：
约去公因式$a$和$(a-1)$，得最简结果：$\dfrac{a-1}{a+1}$
接下来确定a的取值范围：
要使分式有意义，则所有分母不为0，即$a ≠ 0$，且$a^2 -1 ≠ 0$，解得$a ≠ 0, 1, -1$。
因此给出的数中，0不符合要求，可选$a=3$或$a=-2$：
若选$a=3$，代入得：$\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
若选$a=-2$，代入得：$\dfrac{-2-1}{-2+1}=\dfrac{-3}{-1}=3$（任选其一即可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-1}{a+1}$，当$a=3$时，值为$\dfrac{1}{2}$（或当$a=-2$时，值为$3$）
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握分式混合运算的顺序和法则，易错点是容易忽略分式有意义的条件，误选$a=0$代入计算导致错误，代入求值前一定要先验证所选数值是否满足所有分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
14. 数学文化 古代数学家祖冲之推算出π的近似值为$\frac{355}{113}$，它与π的误差小于0.000 000 3，将数据0.000 000 3用科学记数法表示为（
A.$0.3×10^{-6}$
B.$3×10^{-7}$
C.$0.3×10^{6}$
D.$3×10^{7}$
B
）A.$0.3×10^{-6}$
B.$3×10^{-7}$
C.$0.3×10^{6}$
D.$3×10^{7}$
答案
14.B
解析
【分析】
首先回忆科学记数法表示绝对值小于1的数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数，$n$的值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。解题时先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再计算$n$的值确定最终答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，要求$1 ≤ a ＜ 10$：
1. 先判断$a$的取值：选项A、C中$a=0.3$，不满足$1 ≤ a ＜10$，直接排除；选项D中指数为正，对应表示的是大于10的数，和题干的小数不符，排除D。
2. 计算指数$n$：对于0.0000003，左起第一个非零数字是3，它前面一共有7个零，所以$n=7$，即$0.0000003=3 × 10^{-7}$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础考查题，核心考察科学记数法的表示规则，掌握$a$的取值要求和指数$n$的确定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先回忆科学记数法表示绝对值小于1的数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为正整数，$n$的值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。解题时先根据$a$的取值范围排除不符合的选项，再计算$n$的值确定最终答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，要求$1 ≤ a ＜ 10$：
1. 先判断$a$的取值：选项A、C中$a=0.3$，不满足$1 ≤ a ＜10$，直接排除；选项D中指数为正，对应表示的是大于10的数，和题干的小数不符，排除D。
2. 计算指数$n$：对于0.0000003，左起第一个非零数字是3，它前面一共有7个零，所以$n=7$，即$0.0000003=3 × 10^{-7}$。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题属于基础考查题，核心考察科学记数法的表示规则，掌握$a$的取值要求和指数$n$的确定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
15.下列运算正确的是（
A.$(-2025)^0=0$
B.$2025^{-1}=-2025$
C.$(-2)^{-2}=-\dfrac{1}{4}$
D.$(-2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}$
D
）A.$(-2025)^0=0$
B.$2025^{-1}=-2025$
C.$(-2)^{-2}=-\dfrac{1}{4}$
D.$(-2)^{-3}=-\dfrac{1}{8}$
答案
15.D
解析
【分析】
这道题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，解题时先回忆两个核心运算规则：①任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②任何非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：根据零指数幂运算规则，$(-2025)≠0$，因此$(-2025)^0=1≠0$，该选项错误；
B选项：根据负整数指数幂运算规则，$2025^{-1}=\frac{1}{2025^1}=\frac{1}{2025}≠-2025$，该选项错误；
C选项：计算得$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$，该选项错误；
D选项：计算得$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}$，和选项结果一致，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对指数幂运算规则的掌握，做题时要特别注意底数为负数时，幂的正负性判断，避免因符号记错失分。
【难度系数】
0.8
这道题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，解题时先回忆两个核心运算规则：①任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②任何非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：根据零指数幂运算规则，$(-2025)≠0$，因此$(-2025)^0=1≠0$，该选项错误；
B选项：根据负整数指数幂运算规则，$2025^{-1}=\frac{1}{2025^1}=\frac{1}{2025}≠-2025$，该选项错误；
C选项：计算得$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}≠-\frac{1}{4}$，该选项错误；
D选项：计算得$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}$，和选项结果一致，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对指数幂运算规则的掌握，做题时要特别注意底数为负数时，幂的正负性判断，避免因符号记错失分。
【难度系数】
0.8
16.计算：
(1)$(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$；
(2)$(2ab^{2}c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^{3}$。
(1)$(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$；
(2)$(2ab^{2}c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^{3}$。
答案
16.解：(1)$\frac{b^6}{a^3 c^9}$；(2)$\frac{a^4 c^6}{4b^7}$.
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题前先明确幂的运算法则：①积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相除：底数不变，指数相减；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\ne0$，$p$为正整数）。第(1)小题先利用积的乘方法则展开，再用幂的乘方法则计算各因式的结果，最后将负指数转化为正指数即可；第(2)小题先分别计算两个乘方运算的结果，再按照同底数幂的除法法则计算，最后把负指数转化为正指数得到最简结果。
【解析】
(1) 计算$(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3 · (c^{-3})^3$
根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘：
原式$=a^{-1×3} · b^{2×3} · c^{-3×3}=a^{-3}b^6c^{-9}$
根据负整数指数幂的定义转化为正指数形式：
原式$=\frac{b^6}{a^3 c^9}$
(2) 计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^{3}$：
第一步先计算两个乘方运算：
① 计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
原式$=2^{-2} · a^{-2} · (b^2)^{-2} · (c^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^6$
② 计算$(a^{-2}b)^{3}$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
原式$=(a^{-2})^3 · b^3=a^{-6}b^3$
第二步计算除法：
将上述结果代入原式，根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减：
原式$=(\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^6) ÷ (a^{-6}b^3)$
$=\frac{1}{4} · a^{-2 - (-6)} · b^{-4 - 3} · c^6$
$=\frac{1}{4}a^4b^{-7}c^6$
第三步转化为正指数形式：
原式$=\frac{a^4 c^6}{4b^7}$
【答案】
(1)$\frac{b^6}{a^3 c^9}$；(2)$\frac{a^4 c^6}{4b^7}$
【知识点】
整数指数幂的运算；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对幂的各类运算法则的熟练应用，解题时要注意指数的运算符号，尤其是负指数转化为正指数时的变形规则，避免因指数计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的相关运算，解题前先明确幂的运算法则：①积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相除：底数不变，指数相减；④负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\ne0$，$p$为正整数）。第(1)小题先利用积的乘方法则展开，再用幂的乘方法则计算各因式的结果，最后将负指数转化为正指数即可；第(2)小题先分别计算两个乘方运算的结果，再按照同底数幂的除法法则计算，最后把负指数转化为正指数得到最简结果。
【解析】
(1) 计算$(a^{-1}b^{2}c^{-3})^{3}$：
根据积的乘方法则，将每个因式分别乘方：
原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3 · (c^{-3})^3$
根据幂的乘方法则，底数不变指数相乘：
原式$=a^{-1×3} · b^{2×3} · c^{-3×3}=a^{-3}b^6c^{-9}$
根据负整数指数幂的定义转化为正指数形式：
原式$=\frac{b^6}{a^3 c^9}$
(2) 计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2} ÷ (a^{-2}b)^{3}$：
第一步先计算两个乘方运算：
① 计算$(2ab^{2}c^{-3})^{-2}$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
原式$=2^{-2} · a^{-2} · (b^2)^{-2} · (c^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^6$
② 计算$(a^{-2}b)^{3}$：
根据积的乘方和幂的乘方法则：
原式$=(a^{-2})^3 · b^3=a^{-6}b^3$
第二步计算除法：
将上述结果代入原式，根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减：
原式$=(\frac{1}{4}a^{-2}b^{-4}c^6) ÷ (a^{-6}b^3)$
$=\frac{1}{4} · a^{-2 - (-6)} · b^{-4 - 3} · c^6$
$=\frac{1}{4}a^4b^{-7}c^6$
第三步转化为正指数形式：
原式$=\frac{a^4 c^6}{4b^7}$
【答案】
(1)$\frac{b^6}{a^3 c^9}$；(2)$\frac{a^4 c^6}{4b^7}$
【知识点】
整数指数幂的运算；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对幂的各类运算法则的熟练应用，解题时要注意指数的运算符号，尤其是负指数转化为正指数时的变形规则，避免因指数计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
17.下列关于$x$的方程是分式方程的是（$\quad$）
A.$\frac{3+x}{2}=1-\frac{x}{3}$
B.$\frac{x+1}{5+a}=2+x$
C.$\frac{3+x}{π}+\frac{x}{2}=1$
D.$\frac{5-x}{2+x}=1$
A.$\frac{3+x}{2}=1-\frac{x}{3}$
B.$\frac{x+1}{5+a}=2+x$
C.$\frac{3+x}{π}+\frac{x}{2}=1$
D.$\frac{5-x}{2+x}=1$
答案
17.D
解析
【分析】
要判断哪个是分式方程，首先明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。本题说明是关于x的方程，因此只需逐一检查每个选项的分母中是否含有未知数x即可，同时注意π是固定的常数，不属于未知数，其余非x的字母都视为常数。
【解析】
根据分式方程的定义（分母中含有未知数的方程为分式方程），逐一分析选项：
A. 方程分母为2、3，均为常数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程分母为$5+a$，本题未知数为x，a视为常数，分母不含x，属于整式方程，不符合要求；
C. 方程分母为π、2，π是固定常数，分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D. 方程分母为$2+x$，含有未知数x，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住分式方程的判定核心：分母含未知数，同时要注意特殊常数π的属性，不要将其误认为未知数，还要明确题目中“关于x的方程”说明仅x是未知数，其余字母均看作常数，避免误判。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是分式方程，首先明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。本题说明是关于x的方程，因此只需逐一检查每个选项的分母中是否含有未知数x即可，同时注意π是固定的常数，不属于未知数，其余非x的字母都视为常数。
【解析】
根据分式方程的定义（分母中含有未知数的方程为分式方程），逐一分析选项：
A. 方程分母为2、3，均为常数，属于整式方程，不符合要求；
B. 方程分母为$5+a$，本题未知数为x，a视为常数，分母不含x，属于整式方程，不符合要求；
C. 方程分母为π、2，π是固定常数，分母不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D. 方程分母为$2+x$，含有未知数x，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢抓住分式方程的判定核心：分母含未知数，同时要注意特殊常数π的属性，不要将其误认为未知数，还要明确题目中“关于x的方程”说明仅x是未知数，其余字母均看作常数，避免误判。
【难度系数】
0.8
18.关于$x$的方程$\frac{a-1}{x+1}=1$的解是负数，则$a$的取值范围是（
A.$a＜2$
B.$a＞1$
C.$a＞1$且$a≠2$
D.$a＜2$且$a≠1$
D
）A.$a＜2$
B.$a＞1$
C.$a＞1$且$a≠2$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
18.D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将分式方程转化为整式方程求出x的表达式，再根据“方程的解是负数”列出关于a的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，避免出现增根，最后综合两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：给方程$\frac{a-1}{x+1}=1$两边同时乘以$(x+1)$（注意$x+1≠0$，即$x≠-1$），去分母得：
$a-1 = x + 1$
移项解得：$x = a - 2$
∵ 方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$a - 2 ＜ 0$，解得$a ＜ 2$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ -1$
∴ $a - 2 ≠ -1$，解得$a ≠ 1$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$a≠1$的限制。解题时要先求解整式方程的表达式，再结合解的限制条件和增根排除条件综合判断。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要将分式方程转化为整式方程求出x的表达式，再根据“方程的解是负数”列出关于a的不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，避免出现增根，最后综合两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
解：给方程$\frac{a-1}{x+1}=1$两边同时乘以$(x+1)$（注意$x+1≠0$，即$x≠-1$），去分母得：
$a-1 = x + 1$
移项解得：$x = a - 2$
∵ 方程的解是负数
∴ $x ＜ 0$，即$a - 2 ＜ 0$，解得$a ＜ 2$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ -1$
∴ $a - 2 ≠ -1$，解得$a ≠ 1$
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$a≠1$的限制。解题时要先求解整式方程的表达式，再结合解的限制条件和增根排除条件综合判断。
【难度系数】
0.7
19.分式方程$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-3}$的解为
$x=9$
.答案
19.$x=9$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，解题可按三步思考：第一步找两个分母的最简公分母，通过乘最简公分母去掉分母；第二步求解转化得到的整式方程；第三步检验所得的解是否会让原分式的分母为0，排除增根。本题中两个分母为x和x-3，最简公分母是x(x-3)，两边同乘该公分母就能得到一元一次方程，求解后检验即可。
【解析】
解：要使分式有意义，需满足$x≠0$且$x≠3$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$3(x-3)=2x$
去括号得：
$3x-9=2x$
移项、合并同类项得：
$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
$x=9$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题，解题关键是通过去分母将分式方程转化为熟悉的整式方程计算，要牢记解分式方程最后必须检验，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，解题可按三步思考：第一步找两个分母的最简公分母，通过乘最简公分母去掉分母；第二步求解转化得到的整式方程；第三步检验所得的解是否会让原分式的分母为0，排除增根。本题中两个分母为x和x-3，最简公分母是x(x-3)，两边同乘该公分母就能得到一元一次方程，求解后检验即可。
【解析】
解：要使分式有意义，需满足$x≠0$且$x≠3$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$3(x-3)=2x$
去括号得：
$3x-9=2x$
移项、合并同类项得：
$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
$x=9$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题，解题关键是通过去分母将分式方程转化为熟悉的整式方程计算，要牢记解分式方程最后必须检验，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
20. 数学文化《九章算术》是我国古代数学专著，其方程篇中有这样一个问题:今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上.设善行者每刻钟行$x$尺，则可列分式方程为
【变式·逆向思维】某市需铺设一条长3000 m的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时实际比原计划每天多铺设管道10 m……设实际每天铺设管道$x$ m，则可得方程$\frac{3000}{x-10} - \frac{3000}{x}=15$，那么题中用“……”表示的缺失的条件为
$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$
.【变式·逆向思维】某市需铺设一条长3000 m的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时实际比原计划每天多铺设管道10 m……设实际每天铺设管道$x$ m，则可得方程$\frac{3000}{x-10} - \frac{3000}{x}=15$，那么题中用“……”表示的缺失的条件为
实际用的天数比计划天数少15天
.答案
20.$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$；实际用的天数比计划天数少15天
解析
【分析】
本题分为两个小问，第一问是追及类行程问题，解题核心是抓住“追及时两人的行走时间相等”这一等量关系：先根据速度差表示出不善行者的速度，再分别计算两人追及时的行走时间，令时间相等即可列方程。第二问是分式方程的逆向应用，需先明确方程中每个代数式的实际含义：x是实际每天铺设长度，x-10是原计划每天铺设长度，两个分式分别对应原计划工期和实际工期，根据两式的差为15即可推出缺失条件。
【解析】
第一空求解：
已知善行者每刻钟行$x$尺，由“善行者每刻钟比不善行者多行60尺”，得不善行者每刻钟行$(x-60)$尺。
善行者行800尺追上不善行者，所用时间为$\frac{800}{x}$刻钟；
追上时不善行者总共行走的路程为$800-200=600$尺，所用时间为$\frac{600}{x-60}$刻钟。
追及过程两人行走时间相等，因此列方程：$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$。
第二空求解：
已知实际每天铺设管道$x$m，因此原计划每天铺设管道$(x-10)$m。
其中$\frac{3000}{x-10}$表示原计划铺完管道的总天数，$\frac{3000}{x}$表示实际铺完管道的总天数，方程$\frac{3000}{x-10} - \frac{3000}{x}=15$表示原计划总天数比实际总天数多15天，即实际用的天数比计划天数少15天。
【答案】
$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$；实际用的天数比计划天数少15天
【知识点】
追及问题等量关系；分式方程实际应用
【点评】
本题结合古代数学文化与生活施工场景，既考查了正向找等量关系列分式方程的能力，也考查了逆向根据方程反推实际条件的能力，需要学生熟练掌握行程、工程类问题中各数量的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题分为两个小问，第一问是追及类行程问题，解题核心是抓住“追及时两人的行走时间相等”这一等量关系：先根据速度差表示出不善行者的速度，再分别计算两人追及时的行走时间，令时间相等即可列方程。第二问是分式方程的逆向应用，需先明确方程中每个代数式的实际含义：x是实际每天铺设长度，x-10是原计划每天铺设长度，两个分式分别对应原计划工期和实际工期，根据两式的差为15即可推出缺失条件。
【解析】
第一空求解：
已知善行者每刻钟行$x$尺，由“善行者每刻钟比不善行者多行60尺”，得不善行者每刻钟行$(x-60)$尺。
善行者行800尺追上不善行者，所用时间为$\frac{800}{x}$刻钟；
追上时不善行者总共行走的路程为$800-200=600$尺，所用时间为$\frac{600}{x-60}$刻钟。
追及过程两人行走时间相等，因此列方程：$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$。
第二空求解：
已知实际每天铺设管道$x$m，因此原计划每天铺设管道$(x-10)$m。
其中$\frac{3000}{x-10}$表示原计划铺完管道的总天数，$\frac{3000}{x}$表示实际铺完管道的总天数，方程$\frac{3000}{x-10} - \frac{3000}{x}=15$表示原计划总天数比实际总天数多15天，即实际用的天数比计划天数少15天。
【答案】
$\frac{800}{x}=\frac{800-200}{x-60}$；实际用的天数比计划天数少15天
【知识点】
追及问题等量关系；分式方程实际应用
【点评】
本题结合古代数学文化与生活施工场景，既考查了正向找等量关系列分式方程的能力，也考查了逆向根据方程反推实际条件的能力，需要学生熟练掌握行程、工程类问题中各数量的对应关系。
【难度系数】
0.7
21.解方程：$\frac{16}{x^2 -4} +1 = \frac{x+2}{x-2}$
答案
21.解：原分式方程无解.
解析
【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先对分式的分母进行因式分解，确定最简公分母；其次方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；再求解整式方程；最后必须检验所求的根是否使原方程分母为0，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
解：首先对分母因式分解，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此原方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$。
方程两边同时乘以$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$16 + (x^2 - 4) = (x+2)^2$
整理左边得$x^2 + 12$，展开右边得$x^2 + 4x + 4$，因此方程变为：
$x^2 + 12 = x^2 + 4x + 4$
移项、合并同类项得$4x = 8$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=(2+2)×(2-2)=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
故原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
分式方程求解，平方差公式，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，易错点有两个：一是去分母时常数项1漏乘最简公分母，导致整式方程求解错误；二是忘记对整式方程的根进行检验，误将增根当做原方程的解，求解分式方程时验根是必不可少的步骤。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先对分式的分母进行因式分解，确定最简公分母；其次方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；再求解整式方程；最后必须检验所求的根是否使原方程分母为0，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
解：首先对分母因式分解，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此原方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$。
方程两边同时乘以$(x+2)(x-2)$，去分母得：
$16 + (x^2 - 4) = (x+2)^2$
整理左边得$x^2 + 12$，展开右边得$x^2 + 4x + 4$，因此方程变为：
$x^2 + 12 = x^2 + 4x + 4$
移项、合并同类项得$4x = 8$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，最简公分母$(x+2)(x-2)=(2+2)×(2-2)=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
故原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
分式方程求解，平方差公式，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，易错点有两个：一是去分母时常数项1漏乘最简公分母，导致整式方程求解错误；二是忘记对整式方程的根进行检验，误将增根当做原方程的解，求解分式方程时验根是必不可少的步骤。
【难度系数】
0.6
22. [2026 六安期末] 关于$x$的方程$\frac{1}{x-2}+2=\frac{1-kx}{2-x}$。
(1)当$k=3$时，求该方程的解；
(2)若该方程无解，求$k$的值。
(1)当$k=3$时，求该方程的解；
(2)若该方程无解，求$k$的值。
答案
22.解：(1)该方程的解为$x=-2$；(2)$k$的值为2或1.
解析
【分析】
(1) 求解k=3时的方程，先将k=3代入原分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解是否使原方程分母不为0，确保解有效。
(2) 求方程无解时的k值，先对原方程去分母得到整式方程，分式方程无解分两种情况：①去分母后的整式方程本身无解（形如ax=b中a=0且b≠0）；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的x值，本题增根为x=2），分别计算两种情况对应的k值即可。
【解析】
(1) 当$k=3$时，原方程为$\frac{1}{x-2}+2=\frac{1-3x}{2-x}$，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$1 + 2(x-2) = -(1-3x)$
展开计算：$1 + 2x - 4 = -1 + 3x$
移项合并同类项得：$-x = 2$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x-2=-4≠0$，所以$x=-2$是原方程的解。
(2) 对原方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$1 + 2(x-2) = -(1-kx)$
整理得：$(2 - k)x = 2$
分两种情况讨论方程无解：
① 当整式方程无解时，$2 - k = 0$，即$k=2$，此时左边为$0$，右边为$2$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解；
② 当整式方程的解为原方程增根时，增根为$x=2$，将$x=2$代入$(2 - k)x = 2$得：
$2(2 - k) = 2$，解得$k=1$，此时$x=2$使原方程分母为0，是增根，原方程无解。
综上，方程无解时$k$的值为1或2。
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $k$的值为2或1
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；分式方程无解的条件
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及无解条件的应用，解题时要牢记分式方程求出解后必须检验，讨论无解情况时不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求解k=3时的方程，先将k=3代入原分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解是否使原方程分母不为0，确保解有效。
(2) 求方程无解时的k值，先对原方程去分母得到整式方程，分式方程无解分两种情况：①去分母后的整式方程本身无解（形如ax=b中a=0且b≠0）；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的x值，本题增根为x=2），分别计算两种情况对应的k值即可。
【解析】
(1) 当$k=3$时，原方程为$\frac{1}{x-2}+2=\frac{1-3x}{2-x}$，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$1 + 2(x-2) = -(1-3x)$
展开计算：$1 + 2x - 4 = -1 + 3x$
移项合并同类项得：$-x = 2$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x-2=-4≠0$，所以$x=-2$是原方程的解。
(2) 对原方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）去分母得：
$1 + 2(x-2) = -(1-kx)$
整理得：$(2 - k)x = 2$
分两种情况讨论方程无解：
① 当整式方程无解时，$2 - k = 0$，即$k=2$，此时左边为$0$，右边为$2$，等式不成立，整式方程无解，原分式方程也无解；
② 当整式方程的解为原方程增根时，增根为$x=2$，将$x=2$代入$(2 - k)x = 2$得：
$2(2 - k) = 2$，解得$k=1$，此时$x=2$使原方程分母为0，是增根，原方程无解。
综上，方程无解时$k$的值为1或2。
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $k$的值为2或1
【知识点】
分式方程的解法；分式方程增根的意义；分式方程无解的条件
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及无解条件的应用，解题时要牢记分式方程求出解后必须检验，讨论无解情况时不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
