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1. [2026六安月考]代数式$-\frac{x}{2},\frac{x}{x+y},x+y,\frac{a^2 -1}{π},\frac{7}{8},\frac{x}{2y}$中，分式有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握分式的判定标准：判断一个代数式是否为分式，只需看其原式的分母中是否含有字母，注意π是固定常数，不属于字母，不需要对式子化简后再判断。我们只需逐个分析给出的6个代数式，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们根据分式的定义逐一判断：
1. $-\frac{x}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母x、y，符合分式定义，是分式；
3. $x+y$：无分母，属于整式中的多项式，不是分式；
4. $\frac{a^2 -1}{π}$：分母为常数π，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{7}{8}$：是常数，属于整式中的单项式，不是分式；
6. $\frac{x}{2y}$：分母为$2y$，含有字母y，符合分式定义，是分式。
综上，共有2个分式，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见的易错点是误将常数π当作字母判断，或是对式子化简后再判定是否为分式，只要牢记分式的判定规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握分式的判定标准：判断一个代数式是否为分式，只需看其原式的分母中是否含有字母，注意π是固定常数，不属于字母，不需要对式子化简后再判断。我们只需逐个分析给出的6个代数式，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们根据分式的定义逐一判断：
1. $-\frac{x}{2}$：分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x}{x+y}$：分母为$x+y$，含有字母x、y，符合分式定义，是分式；
3. $x+y$：无分母，属于整式中的多项式，不是分式；
4. $\frac{a^2 -1}{π}$：分母为常数π，不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{7}{8}$：是常数，属于整式中的单项式，不是分式；
6. $\frac{x}{2y}$：分母为$2y$，含有字母y，符合分式定义，是分式。
综上，共有2个分式，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见的易错点是误将常数π当作字母判断，或是对式子化简后再判定是否为分式，只要牢记分式的判定规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
2.下列结论正确的是（
A.当$x≠\frac{2}{3}$时，分式$\frac{x+1}{3x-2}$有意义
B.当$x≠y$时，分式$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$有意义
C.当$x=0$时，分式$\frac{x}{x^2 + 2x}$的值为0
D.当$x=-1$时，分式$\frac{x^2 -1}{x -1}$没有意义
A
）A.当$x≠\frac{2}{3}$时，分式$\frac{x+1}{3x-2}$有意义
B.当$x≠y$时，分式$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$有意义
C.当$x=0$时，分式$\frac{x}{x^2 + 2x}$的值为0
D.当$x=-1$时，分式$\frac{x^2 -1}{x -1}$没有意义
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心判断规则：①分式有意义的充要条件是分母不为0；②分式的值为0的充要条件是分子为0且分母不为0。解题时我们逐个对选项按照上述规则验证即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：分式$\frac{x+1}{3x-2}$的分母为$3x-2$，令$3x-2≠0$，解得$x≠\frac{2}{3}$，即当$x≠\frac{2}{3}$时该分式有意义，A结论正确。
B选项：分式$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$的分母为$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，令分母不为0需满足$x-y≠0$且$x+y≠0$，即$x≠±y$，仅$x≠y$不能保证分式有意义（如$x=-y$时分母仍为0），B结论错误。
C选项：分式$\frac{x}{x^2 + 2x}$值为0需满足分子$x=0$，但当$x=0$时分母$x^2+2x=0$，分式无意义，故该分式不可能值为0，C结论错误。
D选项：分式$\frac{x^2 -1}{x -1}$的分母为$x-1$，当$x=-1$时，分母$=-1-1=-2≠0$，分式有意义，D结论错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的判定、分式值为0的判定
【点评】
本题是分式基础概念的典型考题，易错点为判断分式值为0时忽略分母不为0的要求，以及对分母因式分解不彻底导致有意义的条件判断不全，做题时需严格按照两个判定规则逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个核心判断规则：①分式有意义的充要条件是分母不为0；②分式的值为0的充要条件是分子为0且分母不为0。解题时我们逐个对选项按照上述规则验证即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：分式$\frac{x+1}{3x-2}$的分母为$3x-2$，令$3x-2≠0$，解得$x≠\frac{2}{3}$，即当$x≠\frac{2}{3}$时该分式有意义，A结论正确。
B选项：分式$\frac{2xy}{x^2 - y^2}$的分母为$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，令分母不为0需满足$x-y≠0$且$x+y≠0$，即$x≠±y$，仅$x≠y$不能保证分式有意义（如$x=-y$时分母仍为0），B结论错误。
C选项：分式$\frac{x}{x^2 + 2x}$值为0需满足分子$x=0$，但当$x=0$时分母$x^2+2x=0$，分式无意义，故该分式不可能值为0，C结论错误。
D选项：分式$\frac{x^2 -1}{x -1}$的分母为$x-1$，当$x=-1$时，分母$=-1-1=-2≠0$，分式有意义，D结论错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的判定、分式值为0的判定
【点评】
本题是分式基础概念的典型考题，易错点为判断分式值为0时忽略分母不为0的要求，以及对分母因式分解不彻底导致有意义的条件判断不全，做题时需严格按照两个判定规则逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
3.下列分式:①$\frac{x+1}{x^2-1}$；②$\frac{x^2-1}{x^2+1}$；③$\frac{m^2-4m+4}{m^2-2}$；④$\frac{y^2-36}{2y+12}$，其中是最简分式的是________.(填序号)
答案
3.②③
解析
【分析】
解题前先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题步骤为：先对每个分式的分子、分母分别进行因式分解，再逐一判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式。
【解析】
我们逐个分析4个分式：
① 对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子为$x+1$，分子分母存在公因式$x+1$，可约分为$\frac{1}{x-1}$，故①不是最简分式；
② 对分子因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在整式范围内无法分解，分子分母无公因式，故②是最简分式；
③ 对分子因式分解：$m^2-4m+4=(m-2)^2$，分母$m^2-2$在整式范围内无法分解，分子分母无公因式，故③是最简分式；
④ 对分子、分母分别因式分解：$y^2-36=(y+6)(y-6)$，$2y+12=2(y+6)$，分子分母存在公因式$y+6$，可约分为$\frac{y-6}{2}$，故④不是最简分式。
综上，最简分式为②③。
【答案】
②③
【知识点】
最简分式判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题核心是考查最简分式的判定方法，易错点在于因式分解不彻底，或者忽略因式分解的整式范围导致判断错误，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题前先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题步骤为：先对每个分式的分子、分母分别进行因式分解，再逐一判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式。
【解析】
我们逐个分析4个分式：
① 对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子为$x+1$，分子分母存在公因式$x+1$，可约分为$\frac{1}{x-1}$，故①不是最简分式；
② 对分子因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在整式范围内无法分解，分子分母无公因式，故②是最简分式；
③ 对分子因式分解：$m^2-4m+4=(m-2)^2$，分母$m^2-2$在整式范围内无法分解，分子分母无公因式，故③是最简分式；
④ 对分子、分母分别因式分解：$y^2-36=(y+6)(y-6)$，$2y+12=2(y+6)$，分子分母存在公因式$y+6$，可约分为$\frac{y-6}{2}$，故④不是最简分式。
综上，最简分式为②③。
【答案】
②③
【知识点】
最简分式判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题核心是考查最简分式的判定方法，易错点在于因式分解不彻底，或者忽略因式分解的整式范围导致判断错误，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
4. $\frac{1}{3a^2b}$与$\frac{1}{4ab^2}$的最简公分母是
$12a^2b^2$
.答案
4.$12a^2b^2$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按照固定思路逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找出分母中出现的所有字母，对相同字母取次数最高的幂，最后将系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。本题已知两个分式的分母分别为$3a^2b$和$4ab^2$，按上述思路依次计算即可。
【解析】
解：求解最简公分母步骤如下：
1. 计算分母系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是3和4，3和4互质，最小公倍数为$3×4=12$；
2. 确定各字母的最高次幂：两个分母中都含有字母$a$和$b$，其中$a$的最高次幂是$a^2$，$b$的最高次幂是$b^2$；
3. 组合得到最简公分母：将系数的最小公倍数与各字母最高次幂相乘，即$12× a^2× b^2=12a^2b^2$。
【答案】
$12a^2b^2$
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础考点，是分式通分、分式加减运算的前置知识，只要牢记最简公分母的确定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，可按照固定思路逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找出分母中出现的所有字母，对相同字母取次数最高的幂，最后将系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。本题已知两个分式的分母分别为$3a^2b$和$4ab^2$，按上述思路依次计算即可。
【解析】
解：求解最简公分母步骤如下：
1. 计算分母系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是3和4，3和4互质，最小公倍数为$3×4=12$；
2. 确定各字母的最高次幂：两个分母中都含有字母$a$和$b$，其中$a$的最高次幂是$a^2$，$b$的最高次幂是$b^2$；
3. 组合得到最简公分母：将系数的最小公倍数与各字母最高次幂相乘，即$12× a^2× b^2=12a^2b^2$。
【答案】
$12a^2b^2$
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算
【点评】
本题属于基础考点，是分式通分、分式加减运算的前置知识，只要牢记最简公分母的确定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
5.若将$\frac{x^2 y}{x - y}$中的$x$与$y$都扩大为原来的2倍，
则这个代数式的值 （
A.不变
B.扩大为原来的2倍
124 数学 八年级 上册 人教版
C.扩大为原来的4倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
则这个代数式的值 （
C
）A.不变
B.扩大为原来的2倍
124 数学 八年级 上册 人教版
C.扩大为原来的4倍
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
遇到代数式中变量同时扩大若干倍求代数式值变化的问题，解题思路为：先把扩大后的变量替换原式中对应的变量，再对新得到的代数式进行化简，最后将化简结果和原式作对比，即可判断值的变化情况。
【解析】
将原式中的$x$替换为$2x$，$y$替换为$2y$，代入得：
新的代数式$=\frac{(2x)^2 · 2y}{2x - 2y}$
计算分子：$(2x)^2 · 2y=4x^2 · 2y=8x^2y$
化简分母：$2x - 2y=2(x - y)$
因此新代数式$=\frac{8x^2y}{2(x - y)}=4 · \frac{x^2y}{x - y}$
对比原式可知，新代数式的值是原来的4倍，即扩大为原来的4倍。
【答案】
C
【知识点】
分式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查变量变化后代数式值的变化规律，解题时注意准确计算扩大后变量的乘方、乘积运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
遇到代数式中变量同时扩大若干倍求代数式值变化的问题，解题思路为：先把扩大后的变量替换原式中对应的变量，再对新得到的代数式进行化简，最后将化简结果和原式作对比，即可判断值的变化情况。
【解析】
将原式中的$x$替换为$2x$，$y$替换为$2y$，代入得：
新的代数式$=\frac{(2x)^2 · 2y}{2x - 2y}$
计算分子：$(2x)^2 · 2y=4x^2 · 2y=8x^2y$
化简分母：$2x - 2y=2(x - y)$
因此新代数式$=\frac{8x^2y}{2(x - y)}=4 · \frac{x^2y}{x - y}$
对比原式可知，新代数式的值是原来的4倍，即扩大为原来的4倍。
【答案】
C
【知识点】
分式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查变量变化后代数式值的变化规律，解题时注意准确计算扩大后变量的乘方、乘积运算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
6.下列各式变形正确的是 （
A.$\frac{-x+y}{-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
B.$\frac{-x+y}{-x-y}=-\frac{x-y}{x+y}$
C.$\frac{a^2 - 0.2a}{a^2 - 0.3a}=\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 3a}$
D.$\frac{b^2 - a^2}{a + b}=a - b$
A
）A.$\frac{-x+y}{-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
B.$\frac{-x+y}{-x-y}=-\frac{x-y}{x+y}$
C.$\frac{a^2 - 0.2a}{a^2 - 0.3a}=\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 3a}$
D.$\frac{b^2 - a^2}{a + b}=a - b$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查分式的变形判断，解题需紧扣分式的相关性质逐一验证选项：首先明确分式的核心规则：1. 分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；2. 分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变；3. 分式约分前需先对分子分母因式分解，再约去公因式，注意符号处理。按照上述规则逐个判断选项即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：对$\frac{-x+y}{-x-y}$的分子分母分别提取公因式$-1$，可得$\frac{-(x-y)}{-(x+y)}$，分子分母的负号相互抵消，化简结果为$\frac{x-y}{x+y}$，变形正确。
选项B：由选项A的推导可知，$\frac{-x+y}{-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$，无需添加负号，变形错误。
选项C：若要将分子分母的小数系数化为整数，需给分子、分母的每一项同时乘10，正确变形应为$\frac{10a^2 - 2a}{10a^2 - 3a}$，选项中漏乘了$a^2$项，变形错误。
选项D：先对分子因式分解，$b^2 - a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b)$，因此$\frac{b^2 - a^2}{a+b}=\frac{-(a-b)(a+b)}{a+b}=b-a$（$a+b≠0$），而非$a-b$，变形错误。
综上，只有选项A的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则；分式的约分
【点评】
本题是分式变形的常规题型，易错点集中在三方面：一是调整符号时漏看分子分母的整体符号，二是化整数系数时漏乘不含小数的项，三是约分时平方差因式的符号处理错误，解题时需逐项核对细节，避免失误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的变形判断，解题需紧扣分式的相关性质逐一验证选项：首先明确分式的核心规则：1. 分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；2. 分式的分子符号、分母符号、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变；3. 分式约分前需先对分子分母因式分解，再约去公因式，注意符号处理。按照上述规则逐个判断选项即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：对$\frac{-x+y}{-x-y}$的分子分母分别提取公因式$-1$，可得$\frac{-(x-y)}{-(x+y)}$，分子分母的负号相互抵消，化简结果为$\frac{x-y}{x+y}$，变形正确。
选项B：由选项A的推导可知，$\frac{-x+y}{-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$，无需添加负号，变形错误。
选项C：若要将分子分母的小数系数化为整数，需给分子、分母的每一项同时乘10，正确变形应为$\frac{10a^2 - 2a}{10a^2 - 3a}$，选项中漏乘了$a^2$项，变形错误。
选项D：先对分子因式分解，$b^2 - a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b)$，因此$\frac{b^2 - a^2}{a+b}=\frac{-(a-b)(a+b)}{a+b}=b-a$（$a+b≠0$），而非$a-b$，变形错误。
综上，只有选项A的变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则；分式的约分
【点评】
本题是分式变形的常规题型，易错点集中在三方面：一是调整符号时漏看分子分母的整体符号，二是化整数系数时漏乘不含小数的项，三是约分时平方差因式的符号处理错误，解题时需逐项核对细节，避免失误。
【难度系数】
0.7
7. 下列计算正确的是（
A.$\frac{m^4}{n^5} · \frac{n^3}{m^3} = \frac{m}{n}$
B.$( \frac{3x}{4y} )^3 = \frac{3x^3}{4y^3}$
C.$( \frac{2a}{a - b} )^2 = \frac{4a^2}{a^2 - b^2}$
D.$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$
D
）A.$\frac{m^4}{n^5} · \frac{n^3}{m^3} = \frac{m}{n}$
B.$( \frac{3x}{4y} )^3 = \frac{3x^3}{4y^3}$
C.$( \frac{2a}{a - b} )^2 = \frac{4a^2}{a^2 - b^2}$
D.$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$
答案
7.D
解析
【分析】
这是一道考查分式运算的选择题，解题思路是逐一根据分式的乘法、除法、乘方运算法则计算每个选项，判断正误后选出正确选项。解题时先回忆相关运算法则：1.分式乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，最后约分化简；2.分式除法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再按乘法规则计算；3.分式乘方：把分子、分母分别乘方。逐一代入验算即可快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{m^4}{n^5} · \frac{n^3}{m^3} = \frac{m^4·n^3}{n^5·m^3} = \frac{m}{n^2}$，计算结果不等于$\frac{m}{n}$，故A错误；
B选项：根据分式乘方法则，$(\frac{3x}{4y})^3 = \frac{(3x)^3}{(4y)^3} = \frac{27x^3}{64y^3}$，计算结果不等于$\frac{3x^3}{4y^3}$，故B错误；
C选项：$(\frac{2a}{a-b})^2 = \frac{(2a)^2}{(a-b)^2} = \frac{4a^2}{a^2-2ab+b^2}$，分母是完全平方式，不是平方差$a^2-b^2$，故C错误；
D选项：根据分式除法法则，$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，主要考查对分式运算法则的掌握程度，解题时要注意乘方运算中系数也要同步乘方，多项式乘方不要错误套用平方差公式，计算完成后注意核对约分结果。
【难度系数】
0.8
这是一道考查分式运算的选择题，解题思路是逐一根据分式的乘法、除法、乘方运算法则计算每个选项，判断正误后选出正确选项。解题时先回忆相关运算法则：1.分式乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，最后约分化简；2.分式除法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再按乘法规则计算；3.分式乘方：把分子、分母分别乘方。逐一代入验算即可快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{m^4}{n^5} · \frac{n^3}{m^3} = \frac{m^4·n^3}{n^5·m^3} = \frac{m}{n^2}$，计算结果不等于$\frac{m}{n}$，故A错误；
B选项：根据分式乘方法则，$(\frac{3x}{4y})^3 = \frac{(3x)^3}{(4y)^3} = \frac{27x^3}{64y^3}$，计算结果不等于$\frac{3x^3}{4y^3}$，故B错误；
C选项：$(\frac{2a}{a-b})^2 = \frac{(2a)^2}{(a-b)^2} = \frac{4a^2}{a^2-2ab+b^2}$，分母是完全平方式，不是平方差$a^2-b^2$，故C错误；
D选项：根据分式除法法则，$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，主要考查对分式运算法则的掌握程度，解题时要注意乘方运算中系数也要同步乘方，多项式乘方不要错误套用平方差公式，计算完成后注意核对约分结果。
【难度系数】
0.8
8.化简：$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=$
$x$
。答案
8.$x$
解析
【分析】
本题是分式的加法运算，解题时先观察两个分式的分母：$x-1$和$1-x$互为相反数，可利用分式的符号法则将两个分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算，最后约分化为最简形式即可。
【解析】
首先对第二个分式变形，利用$1-x=-(x-1)$，可得：
$\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=-\frac{x}{x-1}$
则原式可改写为同分母分式的减法：
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{x^2 - x}{x-1}$
对分子因式分解：$x^2 -x =x(x-1)$，代入得：
$=\frac{x(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，约分后得：
$=x$
【答案】
$x$
【知识点】
分式的加减运算、分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是准确识别互为相反数的分母，统一分母的过程中要注意符号的变化，最后计算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题是分式的加法运算，解题时先观察两个分式的分母：$x-1$和$1-x$互为相反数，可利用分式的符号法则将两个分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算，最后约分化为最简形式即可。
【解析】
首先对第二个分式变形，利用$1-x=-(x-1)$，可得：
$\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=-\frac{x}{x-1}$
则原式可改写为同分母分式的减法：
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}$
根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：
$=\frac{x^2 - x}{x-1}$
对分子因式分解：$x^2 -x =x(x-1)$，代入得：
$=\frac{x(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，约分后得：
$=x$
【答案】
$x$
【知识点】
分式的加减运算、分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是准确识别互为相反数的分母，统一分母的过程中要注意符号的变化，最后计算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
9.计算：$(1-\dfrac{2}{x})÷\dfrac{1}{x}=$
$x-2$
.答案
9.$x-2$
解析
【分析】
本题是分式混合运算题，按照运算顺序先算括号内的减法，再算除法即可。第一步处理括号内的整式减分式，需先将整式通分化为同分母分式再做减法运算；第二步根据分式除法法则，将除法转化为乘法运算，最后约分就能得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}$
再将分式除法转化为乘法计算：
$\mathrm{原式}=\dfrac{x-2}{x}÷\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2}{x}× x=x-2$
【答案】
$x-2$
【知识点】
分式的混合运算、分式的除法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查分式运算的基本规则，计算时遵循运算顺序，牢记除法变乘法的运算法则，细心计算就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
本题是分式混合运算题，按照运算顺序先算括号内的减法，再算除法即可。第一步处理括号内的整式减分式，需先将整式通分化为同分母分式再做减法运算；第二步根据分式除法法则，将除法转化为乘法运算，最后约分就能得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x-2}{x}$
再将分式除法转化为乘法计算：
$\mathrm{原式}=\dfrac{x-2}{x}÷\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2}{x}× x=x-2$
【答案】
$x-2$
【知识点】
分式的混合运算、分式的除法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查分式运算的基本规则，计算时遵循运算顺序，牢记除法变乘法的运算法则，细心计算就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 化简$( \frac{1}{x-3} - \frac{x+1}{x^2 -1} ) · (x - 1)$的结果是
$\frac{2}{x-3}$
.答案
10.$\frac{2}{x-3}$
解析
【分析】
这是一道分式化简题，解题时优先观察式子结构，发现括号外的因式$(x-1)$与括号内第二个分式的分母因式可以约分，因此可以利用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的结果更简便。具体步骤为：第一步运用乘法分配律将原式展开，第二步对分母$x^2-1$用平方差公式因式分解，第三步分别对两个分式约分，第四步将约分后的结果通分做减法运算，最后化简得到最终结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{x-3} · (x-1) - \frac{x+1}{x^2-1} · (x-1)$
利用平方差公式分解因式：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得：
$=\frac{x-1}{x-3} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} · (x-1)$
约分后得：
$=\frac{x-1}{x-3} - 1$
将$1$变形为分母为$x-3$的分式：
$=\frac{x-1}{x-3} - \frac{x-3}{x-3}$
分子合并计算：
$=\frac{x-1 - (x-3)}{x-3} = \frac{x-1 -x +3}{x-3} = \frac{2}{x-3}$
【答案】
$\frac{2}{x-3}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时可以通过观察式子结构灵活选择运算律简化计算，约分时要先将多项式因式分解找准公因式，计算整式加减时注意去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简题，解题时优先观察式子结构，发现括号外的因式$(x-1)$与括号内第二个分式的分母因式可以约分，因此可以利用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的结果更简便。具体步骤为：第一步运用乘法分配律将原式展开，第二步对分母$x^2-1$用平方差公式因式分解，第三步分别对两个分式约分，第四步将约分后的结果通分做减法运算，最后化简得到最终结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{x-3} · (x-1) - \frac{x+1}{x^2-1} · (x-1)$
利用平方差公式分解因式：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得：
$=\frac{x-1}{x-3} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} · (x-1)$
约分后得：
$=\frac{x-1}{x-3} - 1$
将$1$变形为分母为$x-3$的分式：
$=\frac{x-1}{x-3} - \frac{x-3}{x-3}$
分子合并计算：
$=\frac{x-1 - (x-3)}{x-3} = \frac{x-1 -x +3}{x-3} = \frac{2}{x-3}$
【答案】
$\frac{2}{x-3}$
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时可以通过观察式子结构灵活选择运算律简化计算，约分时要先将多项式因式分解找准公因式，计算整式加减时注意去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
11.若$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}=3$，则$\frac{5a + 7ab - 5b}{-a - 6ab + b}=$
$\frac{8}{3}$
答案
11.$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题核心是利用整体代入思想简化计算。首先观察已知条件$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，可先通分得到$a-b$与$ab$的数量关系；再将所求分式的分子、分母分别因式分解，整理为含$a-b$和$ab$的形式，最后将得到的关系整体代入约分即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得：
$\frac{b - a}{ab}=3$
两边同乘$ab$（由分式有意义可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得：
$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$
第二步：化简所求分式的分子和分母
分子：$5a + 7ab - 5b = 5(a - b) + 7ab$
将$a - b = -3ab$代入分子，得：
$5×(-3ab) + 7ab = -15ab + 7ab = -8ab$
分母：$-a - 6ab + b = (b - a) - 6ab$
将$b - a = 3ab$代入分母，得：
$3ab - 6ab = -3ab$
第三步：代入约分
$\frac{5a + 7ab - 5b}{-a - 6ab + b}=\frac{-8ab}{-3ab}=\frac{8}{3}$（$ab≠0$，约分化简）
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想、分式通分
【点评】
本题是分式运算中的经典题型，重点考查对整体代入思想的运用，通过对已知条件和所求分式的合理变形，可规避求解单个未知数的复杂运算，解题时需注意分式有意义的隐含条件，确保约分过程合法。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题核心是利用整体代入思想简化计算。首先观察已知条件$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，可先通分得到$a-b$与$ab$的数量关系；再将所求分式的分子、分母分别因式分解，整理为含$a-b$和$ab$的形式，最后将得到的关系整体代入约分即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
第一步：对已知条件变形
已知$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得：
$\frac{b - a}{ab}=3$
两边同乘$ab$（由分式有意义可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得：
$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$
第二步：化简所求分式的分子和分母
分子：$5a + 7ab - 5b = 5(a - b) + 7ab$
将$a - b = -3ab$代入分子，得：
$5×(-3ab) + 7ab = -15ab + 7ab = -8ab$
分母：$-a - 6ab + b = (b - a) - 6ab$
将$b - a = 3ab$代入分母，得：
$3ab - 6ab = -3ab$
第三步：代入约分
$\frac{5a + 7ab - 5b}{-a - 6ab + b}=\frac{-8ab}{-3ab}=\frac{8}{3}$（$ab≠0$，约分化简）
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想、分式通分
【点评】
本题是分式运算中的经典题型，重点考查对整体代入思想的运用，通过对已知条件和所求分式的合理变形，可规避求解单个未知数的复杂运算，解题时需注意分式有意义的隐含条件，确保约分过程合法。
【难度系数】
0.7
12.计算：$\dfrac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a + \dfrac{b^2 - 2ab}{a}).$
答案
12.解：原式=$\frac{a+b}{a-b}$.
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：①先处理括号内的异分母分式加法，将整式a通分为分母为a的分式，合并分子后用完全平方公式因式分解；②将分式除法转化为乘法运算，同时对被除式的分子用平方差公式因式分解；③约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} + \dfrac{b^2 - 2ab}{a} )$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{(a-b)^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} × \dfrac{a}{(a-b)^2}$
约去公因式$a$和$a-b$（$a≠0$且$a≠ b$），得：
$=\dfrac{a+b}{a-b}$
【答案】
$\dfrac{a+b}{a-b}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查运算规则和化简技巧，计算时要注意通分、因式分解的准确性，约分也要留意不要漏约公因式。
【难度系数】
0.7
这是分式的混合运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：①先处理括号内的异分母分式加法，将整式a通分为分母为a的分式，合并分子后用完全平方公式因式分解；②将分式除法转化为乘法运算，同时对被除式的分子用平方差公式因式分解；③约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} + \dfrac{b^2 - 2ab}{a} )$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} ÷ \dfrac{(a-b)^2}{a}$
$=\dfrac{(a+b)(a-b)}{a} × \dfrac{a}{(a-b)^2}$
约去公因式$a$和$a-b$（$a≠0$且$a≠ b$），得：
$=\dfrac{a+b}{a-b}$
【答案】
$\dfrac{a+b}{a-b}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查运算规则和化简技巧，计算时要注意通分、因式分解的准确性，约分也要留意不要漏约公因式。
【难度系数】
0.7
