5. 立德树人·节约用水 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$。小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元。已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 $m^3$，则该市去年居民用水价格为元/$m^3$。

5.2.8

【分析】
这是一道利用分式方程解决的实际应用题，解题思路如下：①先明确基本数量关系：用水量=总水费÷用水单价；②设去年居民用水价格为x元/$m^3$，根据“每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$”可表示出今年的用水单价；③抓住核心等量关系：去年5月用水量 - 今年5月用水量 = 3$m^3$，据此列出分式方程；④求解后要检验根是否为原方程的解、是否符合实际意义。
【解析】
解：设该市去年居民用水价格为x元/$m^3$，则今年居民用水价格为$(1+\frac{1}{4})x=\frac{5}{4}x$元/$m^3$。
根据题意列方程：
$\frac{28}{x} - \frac{24.5}{\frac{5}{4}x} = 3$
化简得：
$\frac{28}{x} - \frac{19.6}{x} = 3$
$\frac{8.4}{x} = 3$
解得：$x=2.8$
检验：当$x=2.8$时，$x≠0$，$\frac{5}{4}x=3.5≠0$，所以$x=2.8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
2.8
【知识点】
分式方程应用、列方程解应用题、分式方程检验
【点评】
本题结合节约用水的现实背景，考查分式方程在生活场景中的应用，解题核心是找准用水量、水价、总水费三者的数量关系，建立正确的等量方程，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.6

6. 新情境 书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m.若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d，c=2a，求四周边衬的宽度.

6.解：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.

【分析】
解题时首先结合图形明确装裱后AB、AD的长度与原书画尺寸、边衬宽度的关系：AB为水平方向总长度，等于原书画水平长度1.2m加左右边衬宽度之和；AD为竖直方向总长度，等于原书画竖直高度0.8m加上下边衬宽度之和。再利用题目给出的a=b、c=d、c=2a的等量关系，将所有未知量用含a的代数式表示，最后根据AB:AD=16:10的比例关系列分式方程求解即可，注意解完方程要检验是否符合实际意义。
【解析】
解：根据题意可得：
装裱后AB的长度为$(1.2 + c + d)\mathrm{m}$，AD的长度为$(0.8 + a + b)\mathrm{m}$
∵$a=b$，$c=d$，$c=2a$
∴$b=a$，$d=c=2a$，代入得：
$AB=1.2 + 2a + 2a=1.2 + 4a$，$AD=0.8 + a + a=0.8 + 2a$
又
∵$AB:AD=16:10$
∴$\frac{1.2 + 4a}{0.8 + 2a}=\frac{16}{10}$
交叉相乘得：$10(1.2 + 4a)=16(0.8 + 2a)$
展开计算：$12 + 40a=12.8 + 32a$
移项合并同类项得：$8a=0.8$
解得：$a=0.1$
检验：当$a=0.1$时，分母$0.8 + 2a=0.8+0.2=1≠0$，因此$a=0.1$是原方程的解，且符合实际意义。
∴$b=a=0.1\mathrm{m}$，$c=d=2a=2×0.1=0.2\mathrm{m}$
【答案】
上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.
【知识点】
1.分式方程的应用
2.比例的性质
3.列代数式
【点评】
本题结合传统书画装裱的生活化情境考查实际问题的求解，解题核心是理清各边长度的数量关系，将多个未知量转化为单个未知量后代入比例列方程求解，注意分式方程求解后需检验根的合理性。
【难度系数】
0.7

7. 中考趋势·项目式学习 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所做的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题。

(1)横线①处应填,横线②处应填.
(2)请你选择其中的一种解法,解方程并解决题目中提出的问题.
(3)已知大货车运输费用为每吨 30 元,小货车运输费用为每吨 10 元,若要一次性全部运完这批柑橘,且运输的总费用不超过 10 000 元,至少需要安排几辆小货车?

7.解：(1)小货车每辆运输$x$吨；一辆大货车运输完50吨需$x$次
(2)解法一:$\frac{50}{x+15}=\frac{20}{x}$,解得$x=10$.经检验,$x=10$为原分式方程的解,且符合题意.$x+15=25$.所以大货车每次运输柑橘25吨,小货车每次运输柑橘10吨.(答案不唯一)
(3)至少需要安排5辆小货车.

【分析】
(1) 观察解法一的方程，分母$x$对应小货车运输量，$x+15$对应比小货车多15吨的大货车运输量，因此①是设小货车的单次运输量；解法二的方程中$\frac{50}{x}$是大货车单次运输量，$\frac{20}{x}$是小货车单次运输量，因此②是设两车对应运输任务的次数。
(2) 解分式方程按照去分母、解整式方程、验根、结合实际意义确定结果的步骤进行即可。
(3) 设小货车数量为未知数，先根据单次运输量表示两类货车运输的总吨数，再结合总费用不超过10000元列不等式，同时注意车辆满载运输的要求，最终取符合条件的最小正整数。
【解析】
(1) 解法一中方程的分母$x$为小货车运输量，因此①填：小货车每辆每次运输柑橘$x$吨；
解法二中的$x$表示运输次数，因此②填：大货车运完50吨柑橘的次数为$x$次（或小货车运完20吨柑橘的次数为$x$次）。
(2) 选择解法一求解：
解方程$\frac{50}{x+15}=\frac{20}{x}$，
去分母，两边同时乘最简公分母$x(x+15)$得：$50x=20(x+15)$，
去括号得：$50x=20x+300$，
移项、合并同类项得：$30x=300$，
解得：$x=10$，
检验：当$x=10$时，$x(x+15)=10×25=250≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
大货车单次运输量为$x+15=10+15=25$（吨）。
(3) 设需要安排$m$辆小货车，由题意得：
小货车总运输量为$10m$吨，大货车总运输量为$350-10m$吨，总费用满足：
$10×10m + 30×(350-10m) ≤10000$
化简得：$100m + 10500 - 300m ≤10000$
移项得：$-200m ≤-500$
解得：$m≥2.5$
因为车辆需满载一次性运完，所以$350-10m$必须是25的正整数倍，且$m$为正整数，因此$m$的最小值为5。
【答案】
(1) 小货车每辆每次运输柑橘$x$吨；大货车运完50吨柑橘的次数为$x$次（或小货车运完20吨柑橘的次数为$x$次）
(2) 大货车每辆每次运输柑橘25吨，小货车每辆每次运输柑橘10吨
(3) 至少需要安排5辆小货车
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题结合实际运输场景，考查了方程与不等式的综合应用，需要准确梳理题目中的等量、不等关系，解分式方程要注意验根，求解实际问题时要注意解需符合现实要求。
【难度系数】
0.65