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5. 计算：
(1) $2\dfrac{1}{3} × \dfrac{6}{7} ÷ (-6 + 16)$；
(2) $-8 + 5 - 5 ÷ \dfrac{1}{2}$。
(1) $2\dfrac{1}{3} × \dfrac{6}{7} ÷ (-6 + 16)$；
(2) $-8 + 5 - 5 ÷ \dfrac{1}{2}$。
答案
5. (1) $\frac{1}{5}$ (2) -13
解析
【分析】
本题考查有理数的加减乘除混合运算，解题时严格遵循运算规则：①有括号先算括号内的运算；②同级运算（只有加减或只有乘除）从左到右依次计算；③不同级运算先算乘除，后算加减。第一小问先计算括号内的加法，再将带分数化为假分数后按从左到右计算乘除即可；第二小问先计算除法，再按从左到右计算加减即可。
【解析】
(1) 第一步：计算括号内的加法：$-6+16=10$
第二步：将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$
第三步：从左到右依次计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{7}{3}×\dfrac{6}{7}÷10\\&=2÷10\\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 第一步：先算除法，除以$\dfrac{1}{2}$等价于乘以2：$5÷\dfrac{1}{2}=5×2=10$
第二步：从左到右依次计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8+5-10\\&=-3-10\\&=-13\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$；(2) $-13$
【知识点】
有理数混合运算顺序；有理数乘除运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算时注意带分数先化假分数、除法转化为乘法的规则，细心计算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的加减乘除混合运算，解题时严格遵循运算规则：①有括号先算括号内的运算；②同级运算（只有加减或只有乘除）从左到右依次计算；③不同级运算先算乘除，后算加减。第一小问先计算括号内的加法，再将带分数化为假分数后按从左到右计算乘除即可；第二小问先计算除法，再按从左到右计算加减即可。
【解析】
(1) 第一步：计算括号内的加法：$-6+16=10$
第二步：将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$
第三步：从左到右依次计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{7}{3}×\dfrac{6}{7}÷10\\&=2÷10\\&=\dfrac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 第一步：先算除法，除以$\dfrac{1}{2}$等价于乘以2：$5÷\dfrac{1}{2}=5×2=10$
第二步：从左到右依次计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8+5-10\\&=-3-10\\&=-13\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$；(2) $-13$
【知识点】
有理数混合运算顺序；有理数乘除运算；有理数加减运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算时注意带分数先化假分数、除法转化为乘法的规则，细心计算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1)$(-6)×(-4)÷(-3)×2$；
(2)$8×(-\dfrac{5}{3})×(-0.25)÷(-\dfrac{5}{6})$；
(3)$-3÷\dfrac{1}{2}×2 - 10$；
(4)$-3 - (-1 - 6×\dfrac{2}{3})×(-2)$。
(1)$(-6)×(-4)÷(-3)×2$；
(2)$8×(-\dfrac{5}{3})×(-0.25)÷(-\dfrac{5}{6})$；
(3)$-3÷\dfrac{1}{2}×2 - 10$；
(4)$-3 - (-1 - 6×\dfrac{2}{3})×(-2)$。
答案
6. (1) -16 (2) -4 (3) -22 (4) -13
解析
【分析】
这四道题均为有理数加减乘除混合运算，解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内，无括号时先算乘除、后算加减，同级运算（只有乘除或只有加减）从左到右依次计算；2. 每一步运算先确定符号（同号得正、异号得负），再计算绝对值，避免符号出错。
【解析】
(1) 同级乘除运算从左到右依次计算：
$\begin{aligned}(-6)×(-4)÷(-3)×2&=24÷(-3)×2\\&=-8×2\\&=-16\end{aligned}$
(2) 先将小数化为分数，再按同级运算规则计算，也可结合交换律简化：
$\begin{aligned}8×(-\dfrac{5}{3})×(-0.25)÷(-\dfrac{5}{6})&=8×(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{6}{5})\\&=[8×(-\dfrac{1}{4})]×[(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{6}{5})]\\&=-2×2\\&=-4\end{aligned}$
(3) 先算乘除，后算加减，乘除部分从左到右计算：
$\begin{aligned}-3÷\dfrac{1}{2}×2 - 10&=-3×2×2 -10\\&=-12 -10\\&=-22\end{aligned}$
(4) 先算括号内，再算乘法，最后算减法：
$\begin{aligned}-3 - (-1 - 6×\dfrac{2}{3})×(-2)&=-3 - (-1 -4)×(-2)\\&=-3 - (-5)×(-2)\\&=-3 -10\\&=-13\end{aligned}$
【答案】
(1)$-16$；(2)$-4$；(3)$-22$；(4)$-13$
【知识点】
有理数乘除运算；有理数混合运算；运算顺序规则
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的基础计算能力，计算时要严格遵循运算顺序，重点关注每一步的符号判断，尽量避免跳步，熟练后可合理运用运算律简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这四道题均为有理数加减乘除混合运算，解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内，无括号时先算乘除、后算加减，同级运算（只有乘除或只有加减）从左到右依次计算；2. 每一步运算先确定符号（同号得正、异号得负），再计算绝对值，避免符号出错。
【解析】
(1) 同级乘除运算从左到右依次计算：
$\begin{aligned}(-6)×(-4)÷(-3)×2&=24÷(-3)×2\\&=-8×2\\&=-16\end{aligned}$
(2) 先将小数化为分数，再按同级运算规则计算，也可结合交换律简化：
$\begin{aligned}8×(-\dfrac{5}{3})×(-0.25)÷(-\dfrac{5}{6})&=8×(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{6}{5})\\&=[8×(-\dfrac{1}{4})]×[(-\dfrac{5}{3})×(-\dfrac{6}{5})]\\&=-2×2\\&=-4\end{aligned}$
(3) 先算乘除，后算加减，乘除部分从左到右计算：
$\begin{aligned}-3÷\dfrac{1}{2}×2 - 10&=-3×2×2 -10\\&=-12 -10\\&=-22\end{aligned}$
(4) 先算括号内，再算乘法，最后算减法：
$\begin{aligned}-3 - (-1 - 6×\dfrac{2}{3})×(-2)&=-3 - (-1 -4)×(-2)\\&=-3 - (-5)×(-2)\\&=-3 -10\\&=-13\end{aligned}$
【答案】
(1)$-16$；(2)$-4$；(3)$-22$；(4)$-13$
【知识点】
有理数乘除运算；有理数混合运算；运算顺序规则
【点评】
本题侧重考察有理数混合运算的基础计算能力，计算时要严格遵循运算顺序，重点关注每一步的符号判断，尽量避免跳步，熟练后可合理运用运算律简化计算过程。
【难度系数】
0.7
1. 已知某快递公司的收费标准：寄一件物品不超过5 kg，收费13元；超过5 kg的部分每千克加收2元. 小红在该快递公司寄一件8 kg的物品，需要付费（
A.19元
B.20元
C.21元
D.23元
A
）.A.19元
B.20元
C.21元
D.23元
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先判断寄件重量对应的收费区间：8kg已经超过5kg的基础收费标准，因此总费用分为两部分计算，一部分是5kg以内的固定收费13元，另一部分是超过5kg的重量对应的加收费用，最后将两部分费用相加即可得到总付费金额。
【解析】
第一步：计算超出5kg的物品重量
$8 - 5 = 3\,\mathrm{kg}$
第二步：计算超出部分的加收费用
超出部分每千克加收2元，因此超出部分费用为$3 × 2 = 6\,\mathrm{元}$
第三步：计算总费用
总费用=基础费用+超出部分费用，即$13 + 6 = 19\,\mathrm{元}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中快递收费的常见场景出题，解题核心是明确不同重量区间的收费规则，先拆分重量对应不同收费段分别计算费用，再求和即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
这是一道分段计费的实际应用题，解题时首先判断寄件重量对应的收费区间：8kg已经超过5kg的基础收费标准，因此总费用分为两部分计算，一部分是5kg以内的固定收费13元，另一部分是超过5kg的重量对应的加收费用，最后将两部分费用相加即可得到总付费金额。
【解析】
第一步：计算超出5kg的物品重量
$8 - 5 = 3\,\mathrm{kg}$
第二步：计算超出部分的加收费用
超出部分每千克加收2元，因此超出部分费用为$3 × 2 = 6\,\mathrm{元}$
第三步：计算总费用
总费用=基础费用+超出部分费用，即$13 + 6 = 19\,\mathrm{元}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中快递收费的常见场景出题，解题核心是明确不同重量区间的收费规则，先拆分重量对应不同收费段分别计算费用，再求和即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
2. 如果$a$，$b$互为相反数，且都不等于0，则$(a+b-1)(\dfrac{a}{b}+1)$的值为(
A.1
B.0
C.-1
D.-2
B
)。A.1
B.0
C.-1
D.-2
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先抓住题目给出的“a、b互为相反数且均不为0”的核心条件，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，且非0的互为相反数的两个数的商为-1。接下来只需把这两个结论代入待求式子中，分别计算两个括号内的结果，再相乘就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，且都不等于0，
∴$a + b = 0$，$a = -b$，
∴$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-b}{b}=-1$，
将$a+b=0$，$\dfrac{a}{b}=-1$代入原式得：
$\begin{aligned}(a+b-1)(\dfrac{a}{b}+1)&=(0 - 1)×(-1 + 1)\\&=(-1)×0\\&=0\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题是相反数性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握相反数的相关性质，准确代入数值计算即可，注意运用0乘任何数都得0的规则可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题目给出的“a、b互为相反数且均不为0”的核心条件，回忆相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，且非0的互为相反数的两个数的商为-1。接下来只需把这两个结论代入待求式子中，分别计算两个括号内的结果，再相乘就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，且都不等于0，
∴$a + b = 0$，$a = -b$，
∴$\dfrac{a}{b}=\dfrac{-b}{b}=-1$，
将$a+b=0$，$\dfrac{a}{b}=-1$代入原式得：
$\begin{aligned}(a+b-1)(\dfrac{a}{b}+1)&=(0 - 1)×(-1 + 1)\\&=(-1)×0\\&=0\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；有理数混合运算
【点评】
本题是相反数性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握相反数的相关性质，准确代入数值计算即可，注意运用0乘任何数都得0的规则可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的.例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即$5\xrightarrow{×3+1}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$.如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为（
A.10
B.32
C.64
D.10或64
D
）.A.10
B.32
C.64
D.10或64
答案
3. D
解析
【分析】
本题已知正整数m经过最少6步运算得到1，正向枚举m的所有可能情况比较繁琐，因此采用逆向倒推的方法更简便。首先明确运算规则的逆运算：①若某一步得到的数是上一步除以2得到的，则上一步的数=当前数×2；②若某一步得到的数是上一步乘3加1得到的，则上一步的数=(当前数-1)÷3，且结果必须是正整数。我们从最终结果1出发，一步步倒推6步，同时排除不符合“最少步数”的情况，即可得到m的可能值。
【解析】
我们从运算的最后结果1开始逆向倒推，每一步倒推得到的数都必须是正整数，且满足“最少6步”的要求：
第6步运算结果：1
第5步的数：只能是1×2=2（若用逆运算②，(1-1)÷3=0不是正整数，排除）
第4步的数：只能是2×2=4（若用逆运算②，(2-1)÷3=1/3不是正整数，排除）
第3步的数：若用逆运算②，(4-1)÷3=1，1本身就是最终结果，若第3步是1，总步数不足6步，排除；因此只能是4×2=8
第2步的数：若用逆运算②，(8-1)÷3=7/3不是正整数，排除；因此只能是8×2=16
第1步的数：有两种可能：
① 逆运算①：16×2=32
② 逆运算②：(16-1)÷3=5，5是正整数，符合要求
最后倒推第0步（即m的值）：
当第1步是32时：逆运算②(32-1)÷3=31/3不是整数，排除；只能用逆运算①得32×2=64
当第1步是5时：逆运算②(5-1)÷3=4/3不是整数，排除；只能用逆运算①得5×2=10
验证：10经过6步运算为$10\xrightarrow{÷2}5\xrightarrow{×3+1}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$；64经过6步运算为$64\xrightarrow{÷2}32\xrightarrow{÷2}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$，均符合最少6步的要求，因此m的值为10或64。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，逆向推理
【点评】
本题以考拉兹猜想为命题背景，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，采用逆向倒推的思路可以大幅降低解题难度，解题时需要注意逆运算的结果必须为正整数，同时要排除不符合“最少步数”要求的情况。
【难度系数】
0.7
本题已知正整数m经过最少6步运算得到1，正向枚举m的所有可能情况比较繁琐，因此采用逆向倒推的方法更简便。首先明确运算规则的逆运算：①若某一步得到的数是上一步除以2得到的，则上一步的数=当前数×2；②若某一步得到的数是上一步乘3加1得到的，则上一步的数=(当前数-1)÷3，且结果必须是正整数。我们从最终结果1出发，一步步倒推6步，同时排除不符合“最少步数”的情况，即可得到m的可能值。
【解析】
我们从运算的最后结果1开始逆向倒推，每一步倒推得到的数都必须是正整数，且满足“最少6步”的要求：
第6步运算结果：1
第5步的数：只能是1×2=2（若用逆运算②，(1-1)÷3=0不是正整数，排除）
第4步的数：只能是2×2=4（若用逆运算②，(2-1)÷3=1/3不是正整数，排除）
第3步的数：若用逆运算②，(4-1)÷3=1，1本身就是最终结果，若第3步是1，总步数不足6步，排除；因此只能是4×2=8
第2步的数：若用逆运算②，(8-1)÷3=7/3不是正整数，排除；因此只能是8×2=16
第1步的数：有两种可能：
① 逆运算①：16×2=32
② 逆运算②：(16-1)÷3=5，5是正整数，符合要求
最后倒推第0步（即m的值）：
当第1步是32时：逆运算②(32-1)÷3=31/3不是整数，排除；只能用逆运算①得32×2=64
当第1步是5时：逆运算②(5-1)÷3=4/3不是整数，排除；只能用逆运算①得5×2=10
验证：10经过6步运算为$10\xrightarrow{÷2}5\xrightarrow{×3+1}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$；64经过6步运算为$64\xrightarrow{÷2}32\xrightarrow{÷2}16\xrightarrow{÷2}8\xrightarrow{÷2}4\xrightarrow{÷2}2\xrightarrow{÷2}1$，均符合最少6步的要求，因此m的值为10或64。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，逆向推理
【点评】
本题以考拉兹猜想为命题背景，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，采用逆向倒推的思路可以大幅降低解题难度，解题时需要注意逆运算的结果必须为正整数，同时要排除不符合“最少步数”要求的情况。
【难度系数】
0.7
