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7.小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到。已知两个商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：购买10本以上时，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖。
(1)当购买数量超过10本时，分别写出在甲、乙两商店购买练习本的费用y(单位：元)与购买数量x(单位：本)之间的关系式；
(2)小明要买30本练习本，到哪个商店购买较省钱？
(1)当购买数量超过10本时，分别写出在甲、乙两商店购买练习本的费用y(单位：元)与购买数量x(单位：本)之间的关系式；
(2)小明要买30本练习本，到哪个商店购买较省钱？
答案
解:(1)当$x＞10$时,
$y_甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3$,
$y_乙=0.85x$。
(2)当$x=30$时,$y_甲=0.7×30+3=24$(元),
$y_乙=0.85×30=25.5$(元)。
因为$y_甲＜y_乙$,
所以在甲商店购买较省钱。
$y_甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3$,
$y_乙=0.85x$。
(2)当$x=30$时,$y_甲=0.7×30+3=24$(元),
$y_乙=0.85×30=25.5$(元)。
因为$y_甲＜y_乙$,
所以在甲商店购买较省钱。
解析
【分析】
（1）求解甲商店的费用关系式时，需拆分计费：前10本按原价每本1元收费，超出10本的部分（x-10）本按七折即每本0.7元收费，两部分费用相加即可得到yₐ与x的关系式；乙商店全部练习本均按八五折即每本0.85元收费，直接用单价乘购买数量即可得到yᵦ与x的关系式。
（2）判断购买30本哪个商店更省钱时，只需将x=30分别代入（1）中得到的两个关系式，计算出对应费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 当购买数量x＞10时：
甲商店前10本的费用为$10×1=10$元，超出10本的部分费用为$0.7(x-10)$元，因此总费用：
$y_甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3$
乙商店所有练习本单价为$1×0.85=0.85$元/本，因此总费用：
$y_乙=0.85x$
(2) 当购买数量$x=30$时：
代入甲商店费用公式得：$y_甲=0.7×30+3=24$（元）
代入乙商店费用公式得：$y_乙=0.85×30=25.5$（元）
因为$24＜25.5$，即$y_甲＜y_乙$，所以在甲商店购买更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.7x+3（x＞10）$，$y_乙=0.85x（x＞10）$；
(2) 到甲商店购买较省钱。
【知识点】
一次函数实际应用，代数式求值，方案优选
【点评】
本题结合日常消费优惠场景考查分段计费问题，解题核心是理清不同优惠规则的计费逻辑，通过列式、代值、比较即可得到最优方案，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
（1）求解甲商店的费用关系式时，需拆分计费：前10本按原价每本1元收费，超出10本的部分（x-10）本按七折即每本0.7元收费，两部分费用相加即可得到yₐ与x的关系式；乙商店全部练习本均按八五折即每本0.85元收费，直接用单价乘购买数量即可得到yᵦ与x的关系式。
（2）判断购买30本哪个商店更省钱时，只需将x=30分别代入（1）中得到的两个关系式，计算出对应费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 当购买数量x＞10时：
甲商店前10本的费用为$10×1=10$元，超出10本的部分费用为$0.7(x-10)$元，因此总费用：
$y_甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3$
乙商店所有练习本单价为$1×0.85=0.85$元/本，因此总费用：
$y_乙=0.85x$
(2) 当购买数量$x=30$时：
代入甲商店费用公式得：$y_甲=0.7×30+3=24$（元）
代入乙商店费用公式得：$y_乙=0.85×30=25.5$（元）
因为$24＜25.5$，即$y_甲＜y_乙$，所以在甲商店购买更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.7x+3（x＞10）$，$y_乙=0.85x（x＞10）$；
(2) 到甲商店购买较省钱。
【知识点】
一次函数实际应用，代数式求值，方案优选
【点评】
本题结合日常消费优惠场景考查分段计费问题，解题核心是理清不同优惠规则的计费逻辑，通过列式、代值、比较即可得到最优方案，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
8.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中$ l_1, l_2 $分别表示去年、今年水费$ y $（单位：元）与用水量$ x $（单位：$ m^3 $）之间的关系。已知小丽家去年用水量为$ 150 \ m^3 $，若今年用水量与去年相同，则水费比去年多多少元？
答案
解:当$x＞120$时,超过$120\ \mathrm{m}^3$的单价为
$(720-480)÷(160-120)=240÷40=6(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$。
$l_2$对应的函数表达式为$y=480+6(x-120)$,
即$y=6x-240$。
当$x=150$时,$y=6×150-240=660$。
由图象可知,去年的水价是$480÷160=3(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$,
故小丽家去年用水量为$150\ \mathrm{m}^3$时,水费为
$150×3=450$(元)。
$660-450=210$(元),
所以水费比去年多210元。
$(720-480)÷(160-120)=240÷40=6(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$。
$l_2$对应的函数表达式为$y=480+6(x-120)$,
即$y=6x-240$。
当$x=150$时,$y=6×150-240=660$。
由图象可知,去年的水价是$480÷160=3(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$,
故小丽家去年用水量为$150\ \mathrm{m}^3$时,水费为
$150×3=450$(元)。
$660-450=210$(元),
所以水费比去年多210元。
解析
【分析】
本题是水费分段计费的一次函数实际应用题，解题思路清晰可分三步：①先从函数图像提取信息计算去年的水价，算出150m³对应的去年水费；②分析今年的计费规则：用水量120m³以内和超过120m³的部分单价不同，先算出超出部分的单价，再写出用水量超过120m³时今年水费的计算式，代入x=150即可算出今年150m³的水费；③将两年的水费作差，就能得到多缴的费用。
【解析】
1. 计算今年超出120m³部分的水价：
由图中l₂可知，今年用水120m³时水费480元，用水160m³时水费720元，
超出部分单价为：$(720-480)÷ (160-120)=240÷ 40=6(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$
2. 求今年用水量$x＞120\ \mathrm{m}^3$时的水费表达式，并计算150m³的今年水费：
水费表达式为$y=480+6(x-120)$，化简得$y=6x-240$
当$x=150$时，代入得：$y=6× 150-240=660$（元）
3. 计算去年150m³的水费：
由图中l₁可知，去年用水160m³时水费480元，去年水价为：$480÷ 160=3(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$
去年150m³的水费为：$150× 3=450$（元）
4. 计算水费差值：$660-450=210$（元）
【答案】
水费比去年多210元。
【知识点】
一次函数实际应用，分段计费问题，图像信息提取
【点评】
本题结合节约用水的生活情境命题，重点考查学生读取函数图像信息、处理分段计费问题的能力，解题核心是找准分段计费的分界点，分别正确计算两年对应用水量的水费即可，属于实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是水费分段计费的一次函数实际应用题，解题思路清晰可分三步：①先从函数图像提取信息计算去年的水价，算出150m³对应的去年水费；②分析今年的计费规则：用水量120m³以内和超过120m³的部分单价不同，先算出超出部分的单价，再写出用水量超过120m³时今年水费的计算式，代入x=150即可算出今年150m³的水费；③将两年的水费作差，就能得到多缴的费用。
【解析】
1. 计算今年超出120m³部分的水价：
由图中l₂可知，今年用水120m³时水费480元，用水160m³时水费720元，
超出部分单价为：$(720-480)÷ (160-120)=240÷ 40=6(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$
2. 求今年用水量$x＞120\ \mathrm{m}^3$时的水费表达式，并计算150m³的今年水费：
水费表达式为$y=480+6(x-120)$，化简得$y=6x-240$
当$x=150$时，代入得：$y=6× 150-240=660$（元）
3. 计算去年150m³的水费：
由图中l₁可知，去年用水160m³时水费480元，去年水价为：$480÷ 160=3(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$
去年150m³的水费为：$150× 3=450$（元）
4. 计算水费差值：$660-450=210$（元）
【答案】
水费比去年多210元。
【知识点】
一次函数实际应用，分段计费问题，图像信息提取
【点评】
本题结合节约用水的生活情境命题，重点考查学生读取函数图像信息、处理分段计费问题的能力，解题核心是找准分段计费的分界点，分别正确计算两年对应用水量的水费即可，属于实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.已知甲、乙两地相距 330 km，汽车 A 从甲地匀速驶向乙地，同时汽车 B 沿相同的路线从乙地匀速驶向甲地，s(单位:km)表示汽车与甲地的距离，t(单位:min)表示汽车行驶的时间。如图，$l_1$，$l_2$分别表示两辆汽车的s与t的关系。
(1)$l_1$表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
(2)汽车 B 的速度是多少？
(3)求$l_1$，$l_2$分别表示的两辆汽车的s与t的表达式。
(4)行驶多长时间后 A，B 两车相遇？
(1)$l_1$表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
(2)汽车 B 的速度是多少？
(3)求$l_1$，$l_2$分别表示的两辆汽车的s与t的表达式。
(4)行驶多长时间后 A，B 两车相遇？
答案
解:(1)$l_1$表示汽车 B 到甲地的距离与行驶时间的关系。
(2)由图象可得,汽车 B 的速度为
$(330-240)÷\dfrac{60}{60}=90(\mathrm{km/h})$。
(3)设$l_1$对应的函数表达式为$s=kt+b$,
则$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$
即$l_1$对应的函数表达式为$s=-1.5t+330$。
设$l_2$对应的函数表达式为$s=mt$,
则$60m=60$,得$m=1$,
即$l_2$对应的函数表达式为$s=t$。
(4)由题意得$-1.5t+330=t$,
解得$t=132$,
即行驶132 min后,A,B两车相遇。
(2)由图象可得,汽车 B 的速度为
$(330-240)÷\dfrac{60}{60}=90(\mathrm{km/h})$。
(3)设$l_1$对应的函数表达式为$s=kt+b$,
则$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$
即$l_1$对应的函数表达式为$s=-1.5t+330$。
设$l_2$对应的函数表达式为$s=mt$,
则$60m=60$,得$m=1$,
即$l_2$对应的函数表达式为$s=t$。
(4)由题意得$-1.5t+330=t$,
解得$t=132$,
即行驶132 min后,A,B两车相遇。
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图像起点，t=0时l₁对应的s为330km，正好等于甲乙两地的距离，说明初始时刻这辆车在乙地，因此对应从乙地出发的汽车B的s-t关系。
2. 第(2)问：根据速度=路程÷时间计算，取t=60min（即1h）时的点，汽车B此时距离甲地240km，说明1小时行驶了330-240=90km，直接计算速度即可。
3. 第(3)问：l₁是普通一次函数，用待定系数法，代入已知点(0,330)和(60,240)求解参数；l₂是过原点的正比例函数，代入点(60,60)求解即可，计算时直接按图像给出的t（min）、s（km）单位计算即可。
4. 第(4)问：两车相遇时，两车到甲地的距离s相等，因此令两个函数表达式相等，解一元一次方程即可得到相遇时间。
【解析】
(1) t=0时l₁对应的距离甲地的距离为330km，即初始位置在乙地，因此$l_1$表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系。
(2) 由图象可知，60min（即1h）内汽车B行驶的路程为$330-240=90\mathrm{km}$，因此汽车B的速度为$90÷1=90(\mathrm{km/h})$。
(3) 设$l_1$对应的函数表达式为$s=kt+b$，
将$(0,330)$、$(60,240)$代入得$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$
即$l_1$对应的函数表达式为$s=-1.5t+330$。
设$l_2$对应的函数表达式为$s=mt$，
将$(60,60)$代入得$60m=60$，解得$m=1$，
即$l_2$对应的函数表达式为$s=t$。
(4) 两车相遇时到甲地的距离相等，因此有$-1.5t+330=t$，
解得$t=132$，即行驶132 min后A，B两车相遇。
【答案】
(1)$l_1$表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
(2)汽车B的速度是$\boldsymbol{90\mathrm{km/h}}$；
(3)$l_1$：$\boldsymbol{s=-1.5t+330}$，$l_2$：$\boldsymbol{s=t}$；
(4)行驶$\boldsymbol{132\mathrm{min}}$后A，B两车相遇。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型题型，解题关键是读懂s-t图像每个点的实际含义，熟练运用待定系数法求解函数解析式，理解两车相遇时到甲地距离相等的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：观察图像起点，t=0时l₁对应的s为330km，正好等于甲乙两地的距离，说明初始时刻这辆车在乙地，因此对应从乙地出发的汽车B的s-t关系。
2. 第(2)问：根据速度=路程÷时间计算，取t=60min（即1h）时的点，汽车B此时距离甲地240km，说明1小时行驶了330-240=90km，直接计算速度即可。
3. 第(3)问：l₁是普通一次函数，用待定系数法，代入已知点(0,330)和(60,240)求解参数；l₂是过原点的正比例函数，代入点(60,60)求解即可，计算时直接按图像给出的t（min）、s（km）单位计算即可。
4. 第(4)问：两车相遇时，两车到甲地的距离s相等，因此令两个函数表达式相等，解一元一次方程即可得到相遇时间。
【解析】
(1) t=0时l₁对应的距离甲地的距离为330km，即初始位置在乙地，因此$l_1$表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系。
(2) 由图象可知，60min（即1h）内汽车B行驶的路程为$330-240=90\mathrm{km}$，因此汽车B的速度为$90÷1=90(\mathrm{km/h})$。
(3) 设$l_1$对应的函数表达式为$s=kt+b$，
将$(0,330)$、$(60,240)$代入得$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$
即$l_1$对应的函数表达式为$s=-1.5t+330$。
设$l_2$对应的函数表达式为$s=mt$，
将$(60,60)$代入得$60m=60$，解得$m=1$，
即$l_2$对应的函数表达式为$s=t$。
(4) 两车相遇时到甲地的距离相等，因此有$-1.5t+330=t$，
解得$t=132$，即行驶132 min后A，B两车相遇。
【答案】
(1)$l_1$表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；
(2)汽车B的速度是$\boldsymbol{90\mathrm{km/h}}$；
(3)$l_1$：$\boldsymbol{s=-1.5t+330}$，$l_2$：$\boldsymbol{s=t}$；
(4)行驶$\boldsymbol{132\mathrm{min}}$后A，B两车相遇。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型题型，解题关键是读懂s-t图像每个点的实际含义，熟练运用待定系数法求解函数解析式，理解两车相遇时到甲地距离相等的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
