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10.甲、乙两机器人从A地出发，沿相同路线前往B地(到达后停止运动)。图中$y_1,y_2$分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程$y$(单位:m)随甲出发的时间$x$(单位:min)变化的函数图象。
(1)A,B两地的距离为
(2)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式(不写自变量的取值范围);
(3)根据程序设定,当两机器人相距200 m时,两个机器人身上的反应器同时发光,求出反应器同时发光时$x$的值。
(1)A,B两地的距离为
1000
m;(2)分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式(不写自变量的取值范围);
(3)根据程序设定,当两机器人相距200 m时,两个机器人身上的反应器同时发光,求出反应器同时发光时$x$的值。
答案
解:(1)由图象可知,A,B两地的距离为1 000 m。
(2)设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=k_1x$,
将$(25,1\ 000)$代入,得$1\ 000=25k_1$,
解得$k_1=40$。
所以$y_1=40x$。
设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x+b$,
将$(5,0)$和$(15,1\ 000)$代入,得
$\begin{cases}5k_2+b=0,\\15k_2+b=1\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=100,\\b=-500。\end{cases}$
$\therefore y_2=100x-500$。
(3)由题意知,当乙未出发前,甲在乙的前面相距200 m时,
依题意,得$40x=200$,
解得$x=5$。
当乙在甲的前面相距200 m时,
依题意,得$100x-500-40x=200$,
解得$x=\dfrac{35}{3}$。
当乙停止后,甲在乙的后面相距200 m时,
依题意得,$1\ 000-40x=200$,
解得$x=20$。
综上所述,$x$的值为5或$\dfrac{35}{3}$或20。
(2)设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=k_1x$,
将$(25,1\ 000)$代入,得$1\ 000=25k_1$,
解得$k_1=40$。
所以$y_1=40x$。
设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x+b$,
将$(5,0)$和$(15,1\ 000)$代入,得
$\begin{cases}5k_2+b=0,\\15k_2+b=1\ 000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=100,\\b=-500。\end{cases}$
$\therefore y_2=100x-500$。
(3)由题意知,当乙未出发前,甲在乙的前面相距200 m时,
依题意,得$40x=200$,
解得$x=5$。
当乙在甲的前面相距200 m时,
依题意,得$100x-500-40x=200$,
解得$x=\dfrac{35}{3}$。
当乙停止后,甲在乙的后面相距200 m时,
依题意得,$1\ 000-40x=200$,
解得$x=20$。
综上所述,$x$的值为5或$\dfrac{35}{3}$或20。
解析
【分析】
(1)观察函数图象可知，路程y的最大值即为A、B两地的距离，直接读取图象数据即可得到结果。
(2)求函数表达式采用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，代入其图象上的点$(25,1000)$即可求出系数；$y_2$是一次函数，代入其图象上的两个点$(5,0)$、$(15,1000)$，列二元一次方程组求解即可得到系数。
(3)两机器人相距200m需结合运动过程分三种情况讨论：①乙未出发时，仅甲在运动，此时甲走的路程等于200m；②乙出发后且未到达终点时，乙在甲前方200m，此时乙的路程减去甲的路程等于200；③乙到达终点停止运动后，甲还未到达终点，此时总路程减去甲走的路程等于200。分别对三种情况列方程求解，验证结果符合对应阶段的取值范围即可。
【解析】
(1)由图象可知，路程的最大值为1000m，因此A、B两地的距离为1000m。
(2)设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=k_1x$，
将$(25,1000)$代入表达式得：$1000=25k_1$，
解得$k_1=40$，因此$y_1=40x$。
设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x+b$，
将$(5,0)$和$(15,1000)$代入表达式得：
$\begin{cases}5k_2+b=0\\15k_2+b=1000\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k_2=1000$，解得$k_2=100$，
将$k_2=100$代入$5k_2+b=0$得：$500+b=0$，解得$b=-500$，
因此$y_2=100x-500$。
(3)分三种情况讨论：
①当乙未出发（$0≤ x＜5$）时，仅甲运动，两机器人相距200m即甲走的路程为200m，
依题意得：$40x=200$，解得$x=5$，符合取值范围。
②当乙出发后且未到达终点（$5≤ x＜15$）时，乙在甲前方200m，
依题意得：$100x-500-40x=200$，
整理得：$60x=700$，解得$x=\dfrac{35}{3}$，符合取值范围。
③当乙到达终点停止运动（$15≤ x≤25$）时，甲还未到达终点，两机器人相距200m即甲距离终点200m，
依题意得：$1000-40x=200$，
解得$x=20$，符合取值范围。
综上，反应器同时发光时$x$的值为5或$\dfrac{35}{3}$或20。
【答案】
(1)$1000$
(2)$y_1=40x$，$y_2=100x-500$
(3)$5$或$\dfrac{35}{3}$或$20$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从图象中提取坐标信息，正确求出函数解析式，同时需要结合机器人的运动过程分情况讨论相距200m的不同情形，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
(1)观察函数图象可知，路程y的最大值即为A、B两地的距离，直接读取图象数据即可得到结果。
(2)求函数表达式采用待定系数法：$y_1$是过原点的正比例函数，代入其图象上的点$(25,1000)$即可求出系数；$y_2$是一次函数，代入其图象上的两个点$(5,0)$、$(15,1000)$，列二元一次方程组求解即可得到系数。
(3)两机器人相距200m需结合运动过程分三种情况讨论：①乙未出发时，仅甲在运动，此时甲走的路程等于200m；②乙出发后且未到达终点时，乙在甲前方200m，此时乙的路程减去甲的路程等于200；③乙到达终点停止运动后，甲还未到达终点，此时总路程减去甲走的路程等于200。分别对三种情况列方程求解，验证结果符合对应阶段的取值范围即可。
【解析】
(1)由图象可知，路程的最大值为1000m，因此A、B两地的距离为1000m。
(2)设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=k_1x$，
将$(25,1000)$代入表达式得：$1000=25k_1$，
解得$k_1=40$，因此$y_1=40x$。
设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x+b$，
将$(5,0)$和$(15,1000)$代入表达式得：
$\begin{cases}5k_2+b=0\\15k_2+b=1000\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k_2=1000$，解得$k_2=100$，
将$k_2=100$代入$5k_2+b=0$得：$500+b=0$，解得$b=-500$，
因此$y_2=100x-500$。
(3)分三种情况讨论：
①当乙未出发（$0≤ x＜5$）时，仅甲运动，两机器人相距200m即甲走的路程为200m，
依题意得：$40x=200$，解得$x=5$，符合取值范围。
②当乙出发后且未到达终点（$5≤ x＜15$）时，乙在甲前方200m，
依题意得：$100x-500-40x=200$，
整理得：$60x=700$，解得$x=\dfrac{35}{3}$，符合取值范围。
③当乙到达终点停止运动（$15≤ x≤25$）时，甲还未到达终点，两机器人相距200m即甲距离终点200m，
依题意得：$1000-40x=200$，
解得$x=20$，符合取值范围。
综上，反应器同时发光时$x$的值为5或$\dfrac{35}{3}$或20。
【答案】
(1)$1000$
(2)$y_1=40x$，$y_2=100x-500$
(3)$5$或$\dfrac{35}{3}$或$20$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从图象中提取坐标信息，正确求出函数解析式，同时需要结合机器人的运动过程分情况讨论相距200m的不同情形，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
