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一、选择题
1. 某足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了(
A.3场
B.4场
C.5场
D.6场
1. 某足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了(
C
).A.3场
B.4场
C.5场
D.6场
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：总比赛场数为14场，其中负5场，因此胜场和平场的总场次为14减5等于9场；已知胜一场得3分、平一场得1分，总得分是19分。我们可以设胜场数为未知数，用胜场数表示平场数，再根据总得分的构成列一元一次方程求解即可。
【解析】
1. 先计算胜场和平场的总场次：
总场数减去负场数：$14-5=9$（场），即该队胜和平的场次共9场。
2. 设未知数并列方程：
设这个队胜了$x$场，则平了$(9-x)$场。
根据“总得分=胜场总得分+平场总得分”的等量关系，列方程：
$3x + 1×(9-x) = 19$
3. 解方程：
去括号得：$3x + 9 - x = 19$
合并同类项得：$2x + 9 = 19$
移项计算得：$2x = 10$
系数化为1得：$x=5$
即这个队胜了5场。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.比赛积分计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先剔除无效的负场场次，找准胜场、平场的数量关系，再结合计分规则建立等量关系求解，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：总比赛场数为14场，其中负5场，因此胜场和平场的总场次为14减5等于9场；已知胜一场得3分、平一场得1分，总得分是19分。我们可以设胜场数为未知数，用胜场数表示平场数，再根据总得分的构成列一元一次方程求解即可。
【解析】
1. 先计算胜场和平场的总场次：
总场数减去负场数：$14-5=9$（场），即该队胜和平的场次共9场。
2. 设未知数并列方程：
设这个队胜了$x$场，则平了$(9-x)$场。
根据“总得分=胜场总得分+平场总得分”的等量关系，列方程：
$3x + 1×(9-x) = 19$
3. 解方程：
去括号得：$3x + 9 - x = 19$
合并同类项得：$2x + 9 = 19$
移项计算得：$2x = 10$
系数化为1得：$x=5$
即这个队胜了5场。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.比赛积分计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先剔除无效的负场场次，找准胜场、平场的数量关系，再结合计分规则建立等量关系求解，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十. 今有米在十斗桶中，不知其数. 满中添粟而舂之，得米七斗. 问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为$\frac{3}{5}$. 今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少. 再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗. 问原来有米多少斗？如果设原来有米$x$斗，向桶中加谷子$y$斗，那么可列方程组为(
A.$\begin{cases} x + y = 10, \\ \frac{3}{5}x + y =7 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y =10, \\ x + \frac{3}{5}y =7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y =7, \\ x + \frac{5}{3}y =10 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y =7, \\ \frac{5}{3}x + y =10 \end{cases}$
B
).A.$\begin{cases} x + y = 10, \\ \frac{3}{5}x + y =7 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y =10, \\ x + \frac{3}{5}y =7 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y =7, \\ x + \frac{5}{3}y =10 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y =7, \\ \frac{5}{3}x + y =10 \end{cases}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系来列方程组：第一个等量关系和桶的容量有关，原有米的量加上添入的谷子量刚好装满10斗的桶；第二个等量关系和最终得米量有关，总米数由两部分组成，一部分是原本就有的米，另一部分是新添谷子舂出的米，出米率仅适用于新添的谷子，两部分相加等于最终得到的7斗米，根据这两个等量关系列出方程组后匹配选项即可。
【解析】
1. 分析第一个等量关系：桶的容量为10斗，原有米$x$斗，加入谷子$y$斗后刚好加满桶，因此可得方程：$x+y=10$；
2. 分析第二个等量关系：出米率为$\frac{3}{5}$，即1斗谷子可以出$\frac{3}{5}$斗米，新添$y$斗谷子可舂出米$\frac{3}{5}y$斗，原有米无需再舂，加上原有米$x$斗后总米数为7斗，因此可得方程：$x+\frac{3}{5}y=7$。
综上可列方程组为$\begin{cases} x + y =10, \\ x + \frac{3}{5}y =7 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 出米率计算
3. 实际问题等量分析
【点评】
本题结合古代数学典籍内容出题，考查学生从实际问题中提取有效信息、列方程的能力，解题的关键是明确出米率的适用对象仅为新加入的谷子，不要和原有米的计算混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要从题目中提取两个核心等量关系来列方程组：第一个等量关系和桶的容量有关，原有米的量加上添入的谷子量刚好装满10斗的桶；第二个等量关系和最终得米量有关，总米数由两部分组成，一部分是原本就有的米，另一部分是新添谷子舂出的米，出米率仅适用于新添的谷子，两部分相加等于最终得到的7斗米，根据这两个等量关系列出方程组后匹配选项即可。
【解析】
1. 分析第一个等量关系：桶的容量为10斗，原有米$x$斗，加入谷子$y$斗后刚好加满桶，因此可得方程：$x+y=10$；
2. 分析第二个等量关系：出米率为$\frac{3}{5}$，即1斗谷子可以出$\frac{3}{5}$斗米，新添$y$斗谷子可舂出米$\frac{3}{5}y$斗，原有米无需再舂，加上原有米$x$斗后总米数为7斗，因此可得方程：$x+\frac{3}{5}y=7$。
综上可列方程组为$\begin{cases} x + y =10, \\ x + \frac{3}{5}y =7 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 出米率计算
3. 实际问题等量分析
【点评】
本题结合古代数学典籍内容出题，考查学生从实际问题中提取有效信息、列方程的能力，解题的关键是明确出米率的适用对象仅为新加入的谷子，不要和原有米的计算混淆。
【难度系数】
0.8
3. 学校计划用200元购买A，B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，则两种奖品购买总数最大值是（
A.12
B.13
C.14
D.15
A
）。A.12
B.13
C.14
D.15
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道不定方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 先根据总费用列出二元一次方程，明确两种奖品的购买数量均为正整数，因为题目要求两种都要买；2. 要让购买总数最大，由于A种奖品单价更低，所以应尽可能多买单价便宜的A种奖品，少买B种奖品；3. 从小到大尝试B的最小正整数值，找到能让A的数量也为正整数的情况，计算此时的总数量即为最大值。
【解析】
解：设购买A种奖品x个，B种奖品y个，x、y均为正整数。
根据总费用为200元列方程：
$15x + 25y = 200$
方程两边同时除以5化简得：$3x + 5y = 40$
变形得$x = \frac{40 - 5y}{3}$
要使购买总数$x+y$最大，需优先多买单价更低的A奖品，即y取最小的正整数，且满足x为正整数：
当$y=1$时，$x=\frac{40-5×1}{3}=\frac{35}{3}$，不是正整数，不符合要求；
当$y=2$时，$x=\frac{40-5×2}{3}=10$，x为正整数，符合要求；
此时购买总数为$10+2=12$。
若y取更大值，x会更小，总数量$x+y$也会更小，因此购买总数最大值为12。
【答案】
A
【知识点】
不定方程应用，正整数解，最值优化
【点评】
本题结合生活购物场景考查不定方程的实际应用，解题核心是抓住“总数量最大优先购买低价商品”的原则，再结合整除特性快速筛选符合条件的正整数解，注意不要忽略“两种奖品都要买”的限制条件。
【难度系数】
0.7
这是一道不定方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 先根据总费用列出二元一次方程，明确两种奖品的购买数量均为正整数，因为题目要求两种都要买；2. 要让购买总数最大，由于A种奖品单价更低，所以应尽可能多买单价便宜的A种奖品，少买B种奖品；3. 从小到大尝试B的最小正整数值，找到能让A的数量也为正整数的情况，计算此时的总数量即为最大值。
【解析】
解：设购买A种奖品x个，B种奖品y个，x、y均为正整数。
根据总费用为200元列方程：
$15x + 25y = 200$
方程两边同时除以5化简得：$3x + 5y = 40$
变形得$x = \frac{40 - 5y}{3}$
要使购买总数$x+y$最大，需优先多买单价更低的A奖品，即y取最小的正整数，且满足x为正整数：
当$y=1$时，$x=\frac{40-5×1}{3}=\frac{35}{3}$，不是正整数，不符合要求；
当$y=2$时，$x=\frac{40-5×2}{3}=10$，x为正整数，符合要求；
此时购买总数为$10+2=12$。
若y取更大值，x会更小，总数量$x+y$也会更小，因此购买总数最大值为12。
【答案】
A
【知识点】
不定方程应用，正整数解，最值优化
【点评】
本题结合生活购物场景考查不定方程的实际应用，解题核心是抓住“总数量最大优先购买低价商品”的原则，再结合整除特性快速筛选符合条件的正整数解，注意不要忽略“两种奖品都要买”的限制条件。
【难度系数】
0.7
4. 一艘船从A码头到B码头需要5 h，从B码头到A码头需要4 h. 已知水流速度是2 km/h，则A，B两码头之间的距离是
80
km.答案
4. 80
解析
【分析】
本题属于流水行船类行程问题，解题核心是抓住A、B两码头距离固定不变的等量关系。首先明确流水行船的速度规律：顺水行驶速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水行驶速度=船在静水中的速度-水流速度。我们可以设船在静水中的速度为未知数，根据往返路程相等列一元一次方程求解，也可以直接设两码头距离为未知数，根据静水速度不变列方程求解。
【解析】
设船在静水中的行驶速度为$ x $ km/h。
由题意可知，从B到A为顺水行驶，速度为$ (x+2) $ km/h，用时4h；从A到B为逆水行驶，速度为$ (x-2) $ km/h，用时5h，往返路程相等，可列方程：
$ 4(x+2) = 5(x-2) $
展开得：$ 4x + 8 = 5x - 10 $
移项解得：$ x = 18 $
则A、B两码头之间的距离为：$ 4×(18+2) = 80 $（km）
（也可直接设距离为$ s $ km，根据静水速度不变列方程$ \frac{s}{4}-2=\frac{s}{5}+2 $，解得$ s=80 $）
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题；行程问题等量关系
【点评】
本题是流水行船类的基础行程题，解题关键是找准往返路程不变、静水速度不变的隐含等量关系，合理设未知数列出一元一次方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题属于流水行船类行程问题，解题核心是抓住A、B两码头距离固定不变的等量关系。首先明确流水行船的速度规律：顺水行驶速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水行驶速度=船在静水中的速度-水流速度。我们可以设船在静水中的速度为未知数，根据往返路程相等列一元一次方程求解，也可以直接设两码头距离为未知数，根据静水速度不变列方程求解。
【解析】
设船在静水中的行驶速度为$ x $ km/h。
由题意可知，从B到A为顺水行驶，速度为$ (x+2) $ km/h，用时4h；从A到B为逆水行驶，速度为$ (x-2) $ km/h，用时5h，往返路程相等，可列方程：
$ 4(x+2) = 5(x-2) $
展开得：$ 4x + 8 = 5x - 10 $
移项解得：$ x = 18 $
则A、B两码头之间的距离为：$ 4×(18+2) = 80 $（km）
（也可直接设距离为$ s $ km，根据静水速度不变列方程$ \frac{s}{4}-2=\frac{s}{5}+2 $，解得$ s=80 $）
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题；行程问题等量关系
【点评】
本题是流水行船类的基础行程题，解题关键是找准往返路程不变、静水速度不变的隐含等量关系，合理设未知数列出一元一次方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，若保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，从甲地到乙地需48 min，从乙地到甲地需36 min，则甲地到乙地的路程是
2.7
km.答案
5. 2.7
解析
【分析】
这是行程类实际应用题，解题核心是抓住往返过程中平路路程不变、上坡路程和下坡路程互换的特点，用二元一次方程组求解。首先统一时间单位，将分钟换算为小时，再分别设上坡路程和平路路程为未知数，根据“时间=路程÷速度”，结合去程和返程的总时间列方程组，解出两个路程后相加即可得到甲乙两地的总路程。
【解析】
首先统一单位：
$48\mathrm{min}=\frac{48}{60}\mathrm{h}=0.8\mathrm{h}$，$36\mathrm{min}=\frac{36}{60}\mathrm{h}=0.6\mathrm{h}$
设从甲地到乙地的上坡路程为$x\ \mathrm{km}$，平路路程为$y\ \mathrm{km}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=0.8&①\\\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=0.6&②\end{cases}$
用①-②消去$y$：
$\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{5}=0.8-0.6$
$\dfrac{5x-3x}{15}=0.2$
$\dfrac{2x}{15}=0.2$
解得$x=1.5$
把$x=1.5$代入①：
$\dfrac{1.5}{3}+\dfrac{y}{4}=0.8$
$0.5+\dfrac{y}{4}=0.8$
解得$y=1.2$
总路程为$x+y=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{km}$
【答案】
2.7
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题计算，单位换算
【点评】
本题的易错点是忽略往返过程中上下坡路程互换的特点，以及时间单位和速度单位不匹配，解题时只要抓住不变量和变量的关系，结合行程公式列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
这是行程类实际应用题，解题核心是抓住往返过程中平路路程不变、上坡路程和下坡路程互换的特点，用二元一次方程组求解。首先统一时间单位，将分钟换算为小时，再分别设上坡路程和平路路程为未知数，根据“时间=路程÷速度”，结合去程和返程的总时间列方程组，解出两个路程后相加即可得到甲乙两地的总路程。
【解析】
首先统一单位：
$48\mathrm{min}=\frac{48}{60}\mathrm{h}=0.8\mathrm{h}$，$36\mathrm{min}=\frac{36}{60}\mathrm{h}=0.6\mathrm{h}$
设从甲地到乙地的上坡路程为$x\ \mathrm{km}$，平路路程为$y\ \mathrm{km}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=0.8&①\\\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=0.6&②\end{cases}$
用①-②消去$y$：
$\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{5}=0.8-0.6$
$\dfrac{5x-3x}{15}=0.2$
$\dfrac{2x}{15}=0.2$
解得$x=1.5$
把$x=1.5$代入①：
$\dfrac{1.5}{3}+\dfrac{y}{4}=0.8$
$0.5+\dfrac{y}{4}=0.8$
解得$y=1.2$
总路程为$x+y=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{km}$
【答案】
2.7
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程问题计算，单位换算
【点评】
本题的易错点是忽略往返过程中上下坡路程互换的特点，以及时间单位和速度单位不匹配，解题时只要抓住不变量和变量的关系，结合行程公式列方程即可求解。
【难度系数】
0.7
6. 小王和叔叔在400 m长的环形跑道上练习跑步. 若两人同时同地反向出发,32 s后两人首次相遇;若两人同时同地同向出发,160 s后两人首次相遇. 则小王的速度为
5
m/s,叔叔的速度为7.5
m/s.(叔叔比小王跑得快)答案
6. 5 7.5
解析
【分析】
本题是环形跑道的行程问题，需分两种情况找等量关系：①两人反向同时同地出发，首次相遇时两人的路程和等于跑道周长400m；②两人同向同时同地出发，因叔叔速度更快，首次相遇时叔叔比小王多跑1圈即400m。我们可以设小王、叔叔的速度分别为x m/s、y m/s，结合“路程=速度×时间”列二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设小王的速度为x m/s，叔叔的速度为y m/s（y＞x）。
根据反向相遇的路程关系，列方程：
$32(x + y) = 400$，化简得 $x + y = 12.5$ ①
根据同向追及的路程关系，列方程：
$160(y - x) = 400$，化简得 $y - x = 2.5$ ②
用①+②，得 $2y = 15$，解得 $y = 7.5$
将$y=7.5$代入①，得 $x = 12.5 - 7.5 = 5$
所以小王速度为5m/s，叔叔速度为7.5m/s。
【答案】
5；7.5
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题
【点评】
本题解题核心是准确区分环形跑道中反向相遇、同向追及对应的路程和、路程差的等量关系，熟练运用方程思想求解基础行程问题，是行程类应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是环形跑道的行程问题，需分两种情况找等量关系：①两人反向同时同地出发，首次相遇时两人的路程和等于跑道周长400m；②两人同向同时同地出发，因叔叔速度更快，首次相遇时叔叔比小王多跑1圈即400m。我们可以设小王、叔叔的速度分别为x m/s、y m/s，结合“路程=速度×时间”列二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设小王的速度为x m/s，叔叔的速度为y m/s（y＞x）。
根据反向相遇的路程关系，列方程：
$32(x + y) = 400$，化简得 $x + y = 12.5$ ①
根据同向追及的路程关系，列方程：
$160(y - x) = 400$，化简得 $y - x = 2.5$ ②
用①+②，得 $2y = 15$，解得 $y = 7.5$
将$y=7.5$代入①，得 $x = 12.5 - 7.5 = 5$
所以小王速度为5m/s，叔叔速度为7.5m/s。
【答案】
5；7.5
【知识点】
二元一次方程组应用；行程问题
【点评】
本题解题核心是准确区分环形跑道中反向相遇、同向追及对应的路程和、路程差的等量关系，熟练运用方程思想求解基础行程问题，是行程类应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
