1. 设$a$，$b$为有理数，定义$a△ b = a^2 + b^2 - ab$，则$(3△ 4)+(-4△ 5)$的值是()。

A.34
B.58
C.74
D.98

1. C

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确给定的新运算规则：$a△b = a^2 + b^2 - ab$。我们需要先分别计算出$3△4$和$-4△5$两个部分的值，再将两个结果相加得到最终答案。计算时要注意负数参与乘方、乘法运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
1. 计算$3△4$的值：
将$a=3$，$b=4$代入新运算公式，得：
$3△4 = 3^2 + 4^2 - 3×4 = 9 + 16 - 12 = 13$
2. 计算$-4△5$的值：
将$a=-4$，$b=5$代入新运算公式，得：
$-4△5 = (-4)^2 + 5^2 - (-4)×5 = 16 + 25 + 20 = 61$
3. 计算两部分的和：
$(3△4)+(-4△5) = 13 + 61 = 74$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题核心考查对新定义运算规则的理解和运用，解题关键是严格按照定义代入对应数值计算，计算过程中要注意负数运算的符号处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.75

2. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈……按此规律排列，则第$\enclose{circle}{n}$个图形中小圆圈的个数为()。


A.$3n - 3$
B.$3n + 2$
C.$3n + 3$
D.$3n - 2$

2. C

【分析】
解决这类图形规律题，我们可以分两步思考：第一步先整理已知条件，把每个图形的序号和对应的小圆圈数量对应列出来；第二步观察数量变化规律，本题中每往后一个图形，小圆圈的数量就增加3，说明总个数是序号n的3倍加一个固定常数，我们代入n=1的情况就能算出这个常数，得到通用表达式。也可以用代入排除法，把n=1、2、3分别代入四个选项，排除不符合的选项就能快速得到答案。
【解析】
方法一：归纳推导法
观察已知图形对应的小圆圈数量：
当n=1（第①个图形）时，小圆圈个数为$6 = 3×1 + 3$
当n=2（第②个图形）时，小圆圈个数为$9 = 3×2 + 3$
当n=3（第③个图形）时，小圆圈个数为$12 = 3×3 + 3$
以此类推，第$\enclose{circle}{n}$个图形的小圆圈个数为$3n+3$。
方法二：代入排除法
将n=1分别代入四个选项验证：
A选项：$3×1 - 3 = 0$，和第①个图形的6个不符，排除；
B选项：$3×1 + 2 = 5$，和第①个图形的6个不符，排除；
C选项：$3×1 + 3 = 6$，符合；再代入n=2得$3×2+3=9$，n=3得$3×3+3=12$，均符合已知条件；
D选项：$3×1 - 2 =1$，和第①个图形的6个不符，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代入排除法
【点评】
本题是常见的规律探究类基础题，既可以通过归纳数字和序号的对应关系推导通用公式，也可以用代入排除法快速解题，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8

3. 右图是一个对于正整数x的循环代入的计算机程序. 根据该程序指令,如果第一次输入x的值是3,那么第一次输出的值是10;把第一次输出的值再次输入,那么第二次输出的值是5;把第二次输出的值再次输入,那么第三次输出的值是16……则第2024次输出的值为().

A.8
B.4
C.2
D.1

3. B

【分析】
本题是程序循环求值类问题，由于所求输出次数多达2024次，直接逐次计算不现实，解题思路如下：首先按照程序规则依次计算前若干次的输出值，找到输出结果的循环规律（周期），再用总次数减去循环前的非循环次数，将所得结果除以周期长度，最后根据余数对应循环节中的数值，即可得到第2024次的输出值。
【解析】
按照程序规则依次计算前几次的输出值：
第1次输出：输入$x=3$（奇数），$3×3+1=10$；
第2次输出：输入$x=10$（偶数），$\frac{1}{2}×10=5$；
第3次输出：输入$x=5$（奇数），$3×5+1=16$；
第4次输出：输入$x=16$（偶数），$\frac{1}{2}×16=8$；
第5次输出：输入$x=8$（偶数），$\frac{1}{2}×8=4$；
第6次输出：输入$x=4$（偶数），$\frac{1}{2}×4=2$；
第7次输出：输入$x=2$（偶数），$\frac{1}{2}×2=1$；
第8次输出：输入$x=1$（奇数），$3×1+1=4$；
……
观察可知：从第5次开始，输出结果按“4，2，1”每3次为一个周期循环。
计算第2024次输出对应的周期位置：
先减去前4次不参与循环的部分：$2024-4=2020$
求2020除以周期长度3的余数：$2020÷3=673······1$，余数为1，对应循环节的第一个数4。
因此第2024次输出的值为4。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，周期规律探究
【点评】
本题结合程序框图考查代数式求值和周期规律的探索，解题核心是先通过计算前几次输出找到循环周期，再利用周期简化计算，避免无意义的重复运算。
【难度系数】
0.65

二、填空题
4. 定义：若$a - b = 0$，则称$a$与$b$互为平衡数. 若$2x^2 - 2$与$x + 4$互为平衡数，则代数式$4x^2 - 2x - 11 =$.

4. 1

【分析】
首先要准确理解新定义“互为平衡数”的含义：若两个数互为平衡数，则两数的差为0，即两数相等。接下来根据题意把对应的代数式代入定义，得到关于x的等式，整理后得到$2x^2 -x$的取值。最后观察所求代数式的结构，发现$4x^2-2x$是$2x^2 -x$的2倍，因此可以用整体代入的方法计算，不需要求解x的具体值，符合学段知识要求。
【解析】
根据“互为平衡数”的定义，可得：
$\begin{aligned}(2x^2 - 2) - (x + 4) &= 0 \\2x^2 - 2 - x - 4 &= 0 \\2x^2 - x &= 6\end{aligned}$
对所求代数式变形可得：
$4x^2 - 2x - 11 = 2(2x^2 - x) - 11$
将$2x^2 - x = 6$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= 2×6 - 11 \\&= 12 - 11 \\&= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题结合新定义考查代数式的化简求值，解题的核心是准确理解新定义列出等量关系，再通过观察代数式结构采用整体代入的方法计算，无需解一元二次方程即可快速得到结果，能有效考查代数式变形技巧的掌握情况。
【难度系数】
0.6

5. 观察下列正整数的排列顺序：
解答以下问题：
（1）35排在第行第列；第10行第10列的数是；
（2）第n行第n列的数是（用含n的代数式表示）；
（3）2023排在第行第列。

5. (1) 6 2 91 (2) $n^2 - n + 1$ (3) 3 45

【分析】
首先观察数表的排列规律：① 偶数k的平方$k^2$位于第k行第1列，之后从左到右（列数增大）每个数依次减1，直到第k行第k列；② 奇数k的平方$k^2$位于第1行第k列，之后从上到下（行数增大）每个数依次减1，直到第k行第k列；③ 进一步推导可得，第n行第n列的数为$n^2-n+1$。解题时先找到和目标数最接近的平方数，再根据上述规律判断位置即可。
【解析】
（1）先找接近35的平方数：$6^2=36$，6是偶数，因此36位于第6行第1列，$35=36-1$，可得35在第6行第2列；
根据对角线的数的规律，第10行第10列的数为$10^2-10+1=100-10+1=91$。
（2）观察对角线上的数：n=1时是$1=1^2-1+1$，n=2时是$3=2^2-2+1$，n=3时是$7=3^2-3+1$，n=4时是$13=4^2-4+1$，由此归纳得到第n行第n列的数是$n^2-n+1$。
（3）先算接近2023的平方数：$45^2=2025$，45是奇数，因此2025位于第1行第45列，从2025往下数，行数每加1，数值减1：2025对应第1行第45列，2024对应第2行第45列，2023对应第3行第45列。
【答案】
（1）6，2，91；（2）$n^2 -n +1$；（3）3，45
【知识点】
数字规律探究，列代数式，平方数应用
【点评】
本题属于数字规律探究类题目，解题核心是找到平方数的位置特征，再结合排列方向推导目标数的位置，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.65