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三、解答题
6. 已知$a$与$b$互为相反数，$x$与$y$互为倒数，$c$的绝对值等于2，求$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c$的值。
6. 已知$a$与$b$互为相反数，$x$与$y$互为倒数，$c$的绝对值等于2，求$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c$的值。
答案
6. $\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件对应的代数性质确定已知量：互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的值；互为倒数的两个数乘积为1，可直接得到xy的值；绝对值等于2的数有2和-2两个，因此c需要分两种情况讨论，最后将对应的值分别代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ a与b互为相反数，
∴ $a+b=0$；
∵ x与y互为倒数，
∴ $xy=1$；
∵ $\left|c\right|=2$，
∴ $c=2$或$c=-2$。
分两种情况代入计算：
① 当$c=2$时：
$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c=\frac{0}{2}+1-\frac{1}{3}×2=0+1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；
② 当$c=-2$时：
$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c=\frac{0}{2}+1-\frac{1}{3}×(-2)=0+1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是基础代数概念的综合应用题，解题关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，注意绝对值对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件对应的代数性质确定已知量：互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的值；互为倒数的两个数乘积为1，可直接得到xy的值；绝对值等于2的数有2和-2两个，因此c需要分两种情况讨论，最后将对应的值分别代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ a与b互为相反数，
∴ $a+b=0$；
∵ x与y互为倒数，
∴ $xy=1$；
∵ $\left|c\right|=2$，
∴ $c=2$或$c=-2$。
分两种情况代入计算：
① 当$c=2$时：
$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c=\frac{0}{2}+1-\frac{1}{3}×2=0+1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；
② 当$c=-2$时：
$\frac{a+b}{2}+xy-\frac{1}{3}c=\frac{0}{2}+1-\frac{1}{3}×(-2)=0+1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是基础代数概念的综合应用题，解题关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关性质，注意绝对值对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 已知单项式$3x^2y^n$的次数为5，多项式$6 + x^2y - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^2y^{m+3}$的次数为6，求单项式$(m + n)x^my^n$的次数与系数的和。
答案
7. 8
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：①单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；②多项式的次数是多项式里次数最高项的次数。我们可以先根据单项式的次数条件求出n的值，再根据多项式的次数条件求出m的值，最后确定待求单项式的系数和次数，将二者相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 求n的值：
已知单项式$3x^2y^n$的次数为5，根据单项式次数的定义，得：
$2 + n = 5$
解得 $n = 3$
2. 求m的值：
多项式$6 + x^2y - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^2y^{m+3}$的次数为6，观察各项的次数：常数项6次数为0，$x^2y$的次数为$2+1=3$，$-\frac{1}{2}x^2$的次数为2，只有项$-\frac{1}{6}x^2y^{m+3}$的次数最高，根据多项式次数的定义，得：
$2 + (m + 3) = 6$
化简得 $m + 5 = 6$
解得 $m = 1$
3. 计算所求单项式的系数与次数的和：
将$m=1$，$n=3$代入单项式$(m + n)x^my^n$，得：
$m+n=1+3=4$，即该单项式为$4xy^3$
它的系数是$4$，次数是$1+3=4$
二者的和为$4 + 4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数与系数；多项式的次数
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心是准确掌握单项式、多项式次数的计算规则，通过已知条件先求解未知参数，再代入计算目标值，注意计算过程中不要混淆系数和次数的概念即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心概念：①单项式的次数是单项式中所有字母的指数和；②多项式的次数是多项式里次数最高项的次数。我们可以先根据单项式的次数条件求出n的值，再根据多项式的次数条件求出m的值，最后确定待求单项式的系数和次数，将二者相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 求n的值：
已知单项式$3x^2y^n$的次数为5，根据单项式次数的定义，得：
$2 + n = 5$
解得 $n = 3$
2. 求m的值：
多项式$6 + x^2y - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^2y^{m+3}$的次数为6，观察各项的次数：常数项6次数为0，$x^2y$的次数为$2+1=3$，$-\frac{1}{2}x^2$的次数为2，只有项$-\frac{1}{6}x^2y^{m+3}$的次数最高，根据多项式次数的定义，得：
$2 + (m + 3) = 6$
化简得 $m + 5 = 6$
解得 $m = 1$
3. 计算所求单项式的系数与次数的和：
将$m=1$，$n=3$代入单项式$(m + n)x^my^n$，得：
$m+n=1+3=4$，即该单项式为$4xy^3$
它的系数是$4$，次数是$1+3=4$
二者的和为$4 + 4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数与系数；多项式的次数
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，核心是准确掌握单项式、多项式次数的计算规则，通过已知条件先求解未知参数，再代入计算目标值，注意计算过程中不要混淆系数和次数的概念即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示,用灰、白两色菱形瓷砖铺设地面.
(1) 第①个图案中灰色瓷砖有
(2) 第⑩个图案中灰色瓷砖有
(3) 第 ⓝ 个图案中灰色瓷砖有多少? 白色瓷砖有多少?
(4) 瓷砖总数有可能是2025块吗?如果有可能,求出n的值,如果没有可能,请说明理由.
(1) 第①个图案中灰色瓷砖有
4
块;(2) 第⑩个图案中灰色瓷砖有
22
块;(3) 第 ⓝ 个图案中灰色瓷砖有多少? 白色瓷砖有多少?
(4) 瓷砖总数有可能是2025块吗?如果有可能,求出n的值,如果没有可能,请说明理由.
答案
8. (1) 4 (2) 22 (3) $2n+2$ $3n+2$ (4) 不可能，因为求出的$n$值不是整数
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先先统计前3个已知图案的灰色、白色瓷砖数量，再将数量和图案序号对应，推导数量随序号变化的通用规律，最后用得到的规律解决各个小问：①第(1)问直接观察计数即可；②第(2)(3)问根据统计的数量差推导通用代数式，再代入数值计算；③第(4)问先推导总瓷砖数的代数式，再列方程判断解是否符合正整数的要求即可。
【解析】
(1) 直接观察第①个图案，可数出灰色瓷砖共4块；
(2) 统计灰色瓷砖数量：第①个（n=1）4块，第②个（n=2）6块，第③个（n=3）8块，可得规律：每增加1个图案单元，灰色瓷砖增加2块，因此第n个图案的灰色瓷砖数为$2n+2$。当n=10时，$2×10+2=22$块；
(3) 由上述推导可知第n个图案灰色瓷砖为$(2n+2)$块；再统计白色瓷砖数量：第①个（n=1）5块，第②个（n=2）8块，第③个（n=3）11块，可得规律：每增加1个图案单元，白色瓷砖增加3块，因此第n个图案的白色瓷砖数为$(3n+2)$块；
(4) 总瓷砖数=灰色瓷砖数+白色瓷砖数，即总数量为$(2n+2)+(3n+2)=5n+4$。假设总瓷砖数为2025，列方程得：
$5n+4=2025$
解得$n=404.2$
因为图案序号n必须为正整数，404.2不是正整数，因此总瓷砖数不可能是2025块。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{22}$
(3) 灰色瓷砖$\boxed{2n+2}$块，白色瓷砖$\boxed{3n+2}$块
(4) 不可能，因为求出的$n$值不是整数
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，考查从特殊到一般的归纳思维，既需要学生细致观察图形统计数量，也需要能准确总结规律并灵活应用规律解决实际问题，最后一问的存在性判断也考查了代数式与方程结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先先统计前3个已知图案的灰色、白色瓷砖数量，再将数量和图案序号对应，推导数量随序号变化的通用规律，最后用得到的规律解决各个小问：①第(1)问直接观察计数即可；②第(2)(3)问根据统计的数量差推导通用代数式，再代入数值计算；③第(4)问先推导总瓷砖数的代数式，再列方程判断解是否符合正整数的要求即可。
【解析】
(1) 直接观察第①个图案，可数出灰色瓷砖共4块；
(2) 统计灰色瓷砖数量：第①个（n=1）4块，第②个（n=2）6块，第③个（n=3）8块，可得规律：每增加1个图案单元，灰色瓷砖增加2块，因此第n个图案的灰色瓷砖数为$2n+2$。当n=10时，$2×10+2=22$块；
(3) 由上述推导可知第n个图案灰色瓷砖为$(2n+2)$块；再统计白色瓷砖数量：第①个（n=1）5块，第②个（n=2）8块，第③个（n=3）11块，可得规律：每增加1个图案单元，白色瓷砖增加3块，因此第n个图案的白色瓷砖数为$(3n+2)$块；
(4) 总瓷砖数=灰色瓷砖数+白色瓷砖数，即总数量为$(2n+2)+(3n+2)=5n+4$。假设总瓷砖数为2025，列方程得：
$5n+4=2025$
解得$n=404.2$
因为图案序号n必须为正整数，404.2不是正整数，因此总瓷砖数不可能是2025块。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{22}$
(3) 灰色瓷砖$\boxed{2n+2}$块，白色瓷砖$\boxed{3n+2}$块
(4) 不可能，因为求出的$n$值不是整数
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，考查从特殊到一般的归纳思维，既需要学生细致观察图形统计数量，也需要能准确总结规律并灵活应用规律解决实际问题，最后一问的存在性判断也考查了代数式与方程结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
