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1. 当$a=-2$时，下列多项式的值为正数的是(
A.$-a - 4$
B.$-3 + a^2$
C.$2a - 1$
D.$a^2 - 4$
B
).A.$-a - 4$
B.$-3 + a^2$
C.$2a - 1$
D.$a^2 - 4$
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路：要判断当a=-2时哪个多项式的值为正数，首先明确正数是大于0的数。我们只需要将a=-2依次代入四个选项的多项式中计算出结果，再判断结果是否大于0，逐一排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
把a=-2分别代入各选项计算：
A选项：$-a-4=-(-2)-4=2-4=-2$，$-2＜0$，是负数，不符合要求；
B选项：$-3+a^2=-3+(-2)^2=-3+4=1$，$1＞0$，是正数，符合要求；
C选项：$2a-1=2×(-2)-1=-4-1=-5$，$-5＜0$，是负数，不符合要求；
D选项：$a^2-4=(-2)^2-4=4-4=0$，0不是正数，不符合要求。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数运算、正负数判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的计算能力，计算时注意符号和乘方的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题思路：要判断当a=-2时哪个多项式的值为正数，首先明确正数是大于0的数。我们只需要将a=-2依次代入四个选项的多项式中计算出结果，再判断结果是否大于0，逐一排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
把a=-2分别代入各选项计算：
A选项：$-a-4=-(-2)-4=2-4=-2$，$-2＜0$，是负数，不符合要求；
B选项：$-3+a^2=-3+(-2)^2=-3+4=1$，$1＞0$，是正数，符合要求；
C选项：$2a-1=2×(-2)-1=-4-1=-5$，$-5＜0$，是负数，不符合要求；
D选项：$a^2-4=(-2)^2-4=4-4=0$，0不是正数，不符合要求。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数运算、正负数判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的计算能力，计算时注意符号和乘方的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
2. 右图是一个数值转换机，若输入的x为－7，则输出的结果是（
A.12
B.－14
C.27
D.21
C
）。A.12
B.－14
C.27
D.21
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确数值转换机的运算规则（本题运算规则为：输入x后，先计算x与2的差，再将所得的差乘-3），再把输入的x=-7代入对应的运算式，按照有理数混合运算的顺序逐步计算，计算过程中重点注意符号的处理，就能得到最终的输出结果。
【解析】
根据数值转换机的运算规则，输出结果对应的运算式为$(x - 2) × (-3)$。
当输入$x=-7$时，代入运算式计算：
1. 先计算括号内的减法：$-7 - 2 = -9$
2. 再计算乘法：$-9 × (-3) = 27$
因此输出结果为27，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对数值转换机运算规则的理解和有理数运算的掌握，只要准确把握运算顺序、正确处理运算符号，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确数值转换机的运算规则（本题运算规则为：输入x后，先计算x与2的差，再将所得的差乘-3），再把输入的x=-7代入对应的运算式，按照有理数混合运算的顺序逐步计算，计算过程中重点注意符号的处理，就能得到最终的输出结果。
【解析】
根据数值转换机的运算规则，输出结果对应的运算式为$(x - 2) × (-3)$。
当输入$x=-7$时，代入运算式计算：
1. 先计算括号内的减法：$-7 - 2 = -9$
2. 再计算乘法：$-9 × (-3) = 27$
因此输出结果为27，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对数值转换机运算规则的理解和有理数运算的掌握，只要准确把握运算顺序、正确处理运算符号，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 如果代数式$2y^2 + y - 3$的值是5，那么$6y^2 + 3y - 2$的值为(
A.4
B.24
C.22
D.13
$× (-3)$
↓
输出
C
).A.4
B.24
C.22
D.13
$× (-3)$
↓
输出
答案
3. C
解析
【分析】
本题是代数式求值类基础题，无需计算y的具体值，用整体代入法即可求解。首先根据已知代数式的取值，先求出$2y^2+y$的结果，再观察所求代数式和$2y^2+y$的倍数关系，把所求代数式变形为含$2y^2+y$的结构，最后整体代入计算就能得到答案。
【解析】
解：由题意得$2y^2 + y - 3=5$
移项计算可得：$2y^2 + y=5+3=8$
对所求代数式$6y^2 + 3y -2$的前两项提取公因数3，变形得：
$6y^2 + 3y -2=3×(2y^2 + y) -2$
将$2y^2 + y=8$代入上式计算：
原式$=3×8 -2=24-2=22$
故选C
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，整体代入法，整式变形
【点评】
本题是代数式求值的常考基础题型，核心考查整体代入思想，通过观察代数式的结构特征变形，不用求解未知数就能快速算出结果，能有效减少运算量。
【难度系数】
0.8
本题是代数式求值类基础题，无需计算y的具体值，用整体代入法即可求解。首先根据已知代数式的取值，先求出$2y^2+y$的结果，再观察所求代数式和$2y^2+y$的倍数关系，把所求代数式变形为含$2y^2+y$的结构，最后整体代入计算就能得到答案。
【解析】
解：由题意得$2y^2 + y - 3=5$
移项计算可得：$2y^2 + y=5+3=8$
对所求代数式$6y^2 + 3y -2$的前两项提取公因数3，变形得：
$6y^2 + 3y -2=3×(2y^2 + y) -2$
将$2y^2 + y=8$代入上式计算：
原式$=3×8 -2=24-2=22$
故选C
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，整体代入法，整式变形
【点评】
本题是代数式求值的常考基础题型，核心考查整体代入思想，通过观察代数式的结构特征变形，不用求解未知数就能快速算出结果，能有效减少运算量。
【难度系数】
0.8
4.规定这样一种运算：$x \otimes y = x^2 - 2xy$，则当$x=-2$，$y=-3$时，$x \otimes y =$
-8
。答案
4. -8
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：$x \otimes y$等于x的平方减去2倍x与y的乘积。解题时只需将已知的$x=-2$、$y=-3$代入对应表达式，按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘法，最后减法）计算即可，计算过程中要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$x \otimes y = x^2 - 2xy$，将$x=-2$，$y=-3$代入表达式计算：
$\begin{aligned}x \otimes y &= (-2)^2 - 2×(-2)×(-3) \\&=4 - 12 \\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
1.新定义运算 2.有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的准确度，解题关键是准确代入数值，计算时注意符号处理，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：$x \otimes y$等于x的平方减去2倍x与y的乘积。解题时只需将已知的$x=-2$、$y=-3$代入对应表达式，按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘法，最后减法）计算即可，计算过程中要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$x \otimes y = x^2 - 2xy$，将$x=-2$，$y=-3$代入表达式计算：
$\begin{aligned}x \otimes y &= (-2)^2 - 2×(-2)×(-3) \\&=4 - 12 \\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
1.新定义运算 2.有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的准确度，解题关键是准确代入数值，计算时注意符号处理，难度较低。
【难度系数】
0.8
若$a$的相反数是$2b+1$，$b$的相反数是$3$，则$a^2 + b^2$的值为
34
。答案
5. 34
解析
【分析】
解题时先从已知条件“b的相反数是3”切入，首先根据相反数的定义求出b的值，再把b的值代入“a的相反数是2b+1”中求出a的值，最后将a、b的取值代入代数式$a^2 + b^2$计算即可得到结果。
【解析】
1. 根据相反数的定义：若一个数的相反数为$m$，则这个数为$-m$。已知$b$的相反数是3，可得$b=-3$；
2. 将$b=-3$代入$2b+1$计算：$2×(-3)+1=-6+1=-5$，即$a$的相反数是$-5$，因此$a=5$；
3. 把$a=5$、$b=-3$代入$a^2 + b^2$计算：
$a^2 + b^2=5^2+(-3)^2=25+9=34$。
【答案】
34
【知识点】
相反数的定义；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握相反数的定义，先求出未知字母的取值再代入代数式计算，计算时要注意负数乘方的符号处理。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“b的相反数是3”切入，首先根据相反数的定义求出b的值，再把b的值代入“a的相反数是2b+1”中求出a的值，最后将a、b的取值代入代数式$a^2 + b^2$计算即可得到结果。
【解析】
1. 根据相反数的定义：若一个数的相反数为$m$，则这个数为$-m$。已知$b$的相反数是3，可得$b=-3$；
2. 将$b=-3$代入$2b+1$计算：$2×(-3)+1=-6+1=-5$，即$a$的相反数是$-5$，因此$a=5$；
3. 把$a=5$、$b=-3$代入$a^2 + b^2$计算：
$a^2 + b^2=5^2+(-3)^2=25+9=34$。
【答案】
34
【知识点】
相反数的定义；代数式求值；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握相反数的定义，先求出未知字母的取值再代入代数式计算，计算时要注意负数乘方的符号处理。
【难度系数】
0.8
6. 一列数$a_1$，$a_2$，$a_3$，…满足条件$a_1=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{1}{1 - a_{n-1}}$（$n≥2$，且$n$为整数），则：
（1）$a_2=$
（1）$a_2=$
2
；（2）$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2024}=$$1\ 013 \frac{1}{2}$
。答案
6. (1) 2 (2) $1\ 013 \frac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）第一小问直接根据给出的递推公式，将n=2、$a_1=\frac{1}{2}$代入计算即可得到$a_2$的值；
（2）第二小问若直接计算到$a_{2024}$计算量过大，因此先依次计算前几项的数值，观察找到数列的循环周期，计算出每个周期的和，再根据2024与周期的倍数关系、余数情况，就能快速算出总和。
【解析】
（1）已知$a_1=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{1}{1 - a_{n-1}}$（$n≥2$），当n=2时：
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
（2）继续计算后续项：
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - 2} = -1$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$
可以发现$a_4=a_1$，因此数列每3个数为一个周期循环，每个周期的和为：
$a_1+a_2+a_3 = \frac{1}{2} + 2 + (-1) = \frac{3}{2}$
计算2024包含多少个完整周期：$2024 ÷ 3 = 674······2$，即有674个完整周期，剩余2项为$a_{2023}=a_1$、$a_{2024}=a_2$
因此总和为：
$674×\frac{3}{2} + a_1 + a_2 = 1011 + \frac{1}{2} + 2 = 1013\frac{1}{2}$
【答案】
（1）2；（2）$1013\frac{1}{2}$
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，避免逐项计算的繁琐，掌握此类规律题的探究方法可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问直接根据给出的递推公式，将n=2、$a_1=\frac{1}{2}$代入计算即可得到$a_2$的值；
（2）第二小问若直接计算到$a_{2024}$计算量过大，因此先依次计算前几项的数值，观察找到数列的循环周期，计算出每个周期的和，再根据2024与周期的倍数关系、余数情况，就能快速算出总和。
【解析】
（1）已知$a_1=\frac{1}{2}$，$a_n=\frac{1}{1 - a_{n-1}}$（$n≥2$），当n=2时：
$a_2 = \frac{1}{1 - a_1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
（2）继续计算后续项：
$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - 2} = -1$
$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$
可以发现$a_4=a_1$，因此数列每3个数为一个周期循环，每个周期的和为：
$a_1+a_2+a_3 = \frac{1}{2} + 2 + (-1) = \frac{3}{2}$
计算2024包含多少个完整周期：$2024 ÷ 3 = 674······2$，即有674个完整周期，剩余2项为$a_{2023}=a_1$、$a_{2024}=a_2$
因此总和为：
$674×\frac{3}{2} + a_1 + a_2 = 1011 + \frac{1}{2} + 2 = 1013\frac{1}{2}$
【答案】
（1）2；（2）$1013\frac{1}{2}$
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，避免逐项计算的繁琐，掌握此类规律题的探究方法可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 已知 $ x=2 $，$ y=-3 $，求下列代数式的值：
（1）$ 2x^2 -5xy + y^2 $；
（2）$ (x - y)^2 $；
（3）$ x^3 - y^3 $。
7. 已知 $ x=2 $，$ y=-3 $，求下列代数式的值：
（1）$ 2x^2 -5xy + y^2 $；
（2）$ (x - y)^2 $；
（3）$ x^3 - y^3 $。
答案
7. (1) 47 (2) 25 (3) 35
解析
【分析】
本题属于代数式求值类基础题，解题思路为：首先把已知的$x=2$、$y=-3$分别代入三个待求代数式中，代入时注意负数参与运算要加括号避免符号出错，之后按照有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算就能得到结果。
【解析】
（1）将$x=2$，$y=-3$代入$2x^2 -5xy + y^2$：
$\begin{aligned}原式&=2×2^2 -5×2×(-3) + (-3)^2\\&=2×4 + 30 +9\\&=8+30+9\\&=47\end{aligned}$
（2）将$x=2$，$y=-3$代入$(x - y)^2$：
$\begin{aligned}原式&=(2 - (-3))^2\\&=(2+3)^2\\&=5^2\\&=25\end{aligned}$
（3）将$x=2$，$y=-3$代入$x^3 - y^3$：
$\begin{aligned}原式&=2^3 - (-3)^3\\&=8 - (-27)\\&=8+27\\&=35\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{47}$；（2）$\boxed{25}$；（3）$\boxed{35}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题考查代数式代入求值的基本方法，计算时重点要注意负数代入时的括号使用和符号判断，养成规范书写的习惯就能避免不必要的错误。
【难度系数】
0.85
本题属于代数式求值类基础题，解题思路为：首先把已知的$x=2$、$y=-3$分别代入三个待求代数式中，代入时注意负数参与运算要加括号避免符号出错，之后按照有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算就能得到结果。
【解析】
（1）将$x=2$，$y=-3$代入$2x^2 -5xy + y^2$：
$\begin{aligned}原式&=2×2^2 -5×2×(-3) + (-3)^2\\&=2×4 + 30 +9\\&=8+30+9\\&=47\end{aligned}$
（2）将$x=2$，$y=-3$代入$(x - y)^2$：
$\begin{aligned}原式&=(2 - (-3))^2\\&=(2+3)^2\\&=5^2\\&=25\end{aligned}$
（3）将$x=2$，$y=-3$代入$x^3 - y^3$：
$\begin{aligned}原式&=2^3 - (-3)^3\\&=8 - (-27)\\&=8+27\\&=35\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{47}$；（2）$\boxed{25}$；（3）$\boxed{35}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题考查代数式代入求值的基本方法，计算时重点要注意负数代入时的括号使用和符号判断，养成规范书写的习惯就能避免不必要的错误。
【难度系数】
0.85
8. 下图是某居民小区的一块长为 $ a $ m、宽为 $ 2b $ m 的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处修建一个半径为 $ b $ m 的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草。如果建造花台及种花的费用为 100 元/$ \mathrm{m}^2 $，种草的费用为 50 元/$ \mathrm{m}^2 $。
(1) 美化这块空地共需多少元(用含有 $ a $，$ b $，$ π $ 的式子表示)？
(2) 当 $ a = 6 $，$ b = 2 $，$ π $ 取 3 时，美化这块空地共需多少元？
(1) 美化这块空地共需多少元(用含有 $ a $，$ b $，$ π $ 的式子表示)？
(2) 当 $ a = 6 $，$ b = 2 $，$ π $ 取 3 时，美化这块空地共需多少元？
答案
(1) $(100ab + 50πb^2)$元 (2) 1 800元
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 先处理第一问：首先观察四个顶点的扇形，每个都是圆心角90°、半径为b的四分之一圆，四个扇形拼接后刚好是一个完整的圆，先算出花台总面积；再计算长方形空地的总面积，用总面积减去花台面积得到种草的面积；最后根据两种区域的单价分别计算费用，求和后化简即可得到总费用的代数式。
2. 再处理第二问：将给出的a、b、π的数值直接代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到具体费用。
【解析】
(1) 计算各部分面积：
四个扇形可拼接为1个半径为b的整圆，因此花台面积为：$S_{\mathrm{花台}}=π b^2 \ \mathrm{m}^2$
长方形空地总面积为：$S_{\mathrm{长方形}}=a·2b=2ab \ \mathrm{m}^2$
种草面积为：$S_{\mathrm{草}}=2ab-π b^2 \ \mathrm{m}^2$
总费用为种花费用加种草费用：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=100× π b^2 +50×(2ab-π b^2)\\&=100π b^2+100ab-50π b^2\\&=100ab+50π b^2\end{aligned}$
(2) 将$a=6$，$b=2$，$π=3$代入$100ab+50π b^2$得：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=100×6×2 + 50×3×2^2\\&=1200+600\\&=1800\end{aligned}$
【答案】
(1) $(100ab + 50πb^2)$元
(2) $1800$元
【知识点】
列代数式，扇形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与代数式的综合应用，解题核心是识别出四个扇形可拼接为整圆，简化面积计算，再根据费用关系列式化简，代入求值时注意运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 先处理第一问：首先观察四个顶点的扇形，每个都是圆心角90°、半径为b的四分之一圆，四个扇形拼接后刚好是一个完整的圆，先算出花台总面积；再计算长方形空地的总面积，用总面积减去花台面积得到种草的面积；最后根据两种区域的单价分别计算费用，求和后化简即可得到总费用的代数式。
2. 再处理第二问：将给出的a、b、π的数值直接代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到具体费用。
【解析】
(1) 计算各部分面积：
四个扇形可拼接为1个半径为b的整圆，因此花台面积为：$S_{\mathrm{花台}}=π b^2 \ \mathrm{m}^2$
长方形空地总面积为：$S_{\mathrm{长方形}}=a·2b=2ab \ \mathrm{m}^2$
种草面积为：$S_{\mathrm{草}}=2ab-π b^2 \ \mathrm{m}^2$
总费用为种花费用加种草费用：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=100× π b^2 +50×(2ab-π b^2)\\&=100π b^2+100ab-50π b^2\\&=100ab+50π b^2\end{aligned}$
(2) 将$a=6$，$b=2$，$π=3$代入$100ab+50π b^2$得：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=100×6×2 + 50×3×2^2\\&=1200+600\\&=1800\end{aligned}$
【答案】
(1) $(100ab + 50πb^2)$元
(2) $1800$元
【知识点】
列代数式，扇形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积与代数式的综合应用，解题核心是识别出四个扇形可拼接为整圆，简化面积计算，再根据费用关系列式化简，代入求值时注意运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
