1. 化简$\frac{2m}{m^2 - 4} - \frac{1}{m - 2}$的结果是（）

A.$m - 2$
B.$m + 2$
C.$\frac{1}{m + 2}$
D.$\frac{1}{m - 2}$

C

【分析】
这是异分母分式的减法运算题，解题思路分三步：第一步先对可因式分解的分母进行分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算；第三步对计算得到的分式进行约分，得到最简结果即可。
【解析】
解：首先对第一个分式的分母因式分解，由平方差公式得：$m^2-4=(m+2)(m-2)$，因此最简公分母为$(m+2)(m-2)$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2m}{(m+2)(m-2)} - \frac{1×(m+2)}{(m-2)(m+2)}\\&=\frac{2m - (m+2)}{(m+2)(m-2)}\\&=\frac{2m - m - 2}{(m+2)(m-2)}\\&=\frac{m - 2}{(m+2)(m-2)}\\&=\frac{1}{m+2} \quad (m≠2且m≠-2)\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算；因式分解-平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分计算时注意去括号的符号变化，最后约分得到最简分式即可，计算时需注意避免出现分子漏乘的错误。
【难度系数】
0.8

2. 计算$\frac{2m}{m^2 - 16n^2} - \frac{1}{m + 4n}$的结果是。

解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2m}{(m+4n)(m-4n)} - \frac{1}{m+4n}\\&=\frac{2m}{(m+4n)(m-4n)} - \frac{m-4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{2m - m + 4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{m + 4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{1}{m - 4n}\end{aligned}$
最终结果为$\frac{1}{m-4n}$。

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母为$(m+4n)(m-4n)$；第二步根据分式的基本性质对第二个分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时的符号变化；第四步对得到的分式的分子化简后，约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2m}{(m+4n)(m-4n)} - \frac{1}{m+4n}\\&=\frac{2m}{(m+4n)(m-4n)} - \frac{m-4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{2m - (m - 4n)}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{2m - m + 4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{m + 4n}{(m+4n)(m-4n)}\\&=\frac{1}{m - 4n}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{m-4n}$
【知识点】
分式的加减运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分过程中要注意分子同步乘对应因式，分子相减时要注意括号前为负号时的去括号符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8

下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的探究。
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} - \frac{2x + 1}{2x + 6}$
$=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2} - \frac{2x + 1}{2(x + 3)}$ 第一步
$=\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2x + 1}{2(x + 3)}$ 第二步
$=\frac{2(x - 3)}{2(x + 3)} - \frac{2x + 1}{2(x + 3)}$ 第三步
$=\frac{2x - 6 - (2x + 1)}{2(x + 3)}$ 第四步
$=\frac{2x - 6 - 2x + 1}{2(x + 3)}$ 第五步
$=-\frac{5}{2x + 6}$。 第六步
探究1：填空。
①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是；
②第步开始出现错误，这一步错误的原因是。
探究2：请直接写出该分式化简后的正确结果。
探究3：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议。

解：
探究1：
① 三；分式的基本性质（分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）
② 五；去括号时，括号前是负号，括号内的+1没有变号，违背了去括号法则
探究2：
该分式化简后的正确结果为$-\dfrac{7}{2x+6}$
探究3：
建议：分式化简的最终结果要化为最简分式，运算过程中遇到分子为多项式的减法时，要给分子整体加括号，避免符号错误。

【分析】
解决本题可按以下思路思考：首先解决探究1的问题，先回忆通分的定义，即把异分母分式转化为同分母分式的过程，对应观察化简步骤可找到通分的步骤，通分的依据是分式的基本性质；再逐行核对运算规则，重点检查去括号、合并同类项等步骤，就能找到出错的环节和错误原因。接着解决探究2，纠正错误步骤后重新计算分子部分，就能得到正确的化简结果。最后探究3结合分式化简时常见的易错点，比如符号处理、结果化简等方面提合理建议即可。
【解析】
探究1
① 观察化简步骤：前两步是对分子分母因式分解、约分，第三步将第一个分式的分子和分母同时乘2，将两个分式的分母统一为$2(x+3)$，因此第三步是通分，通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
② 逐行检查运算：第四步的分子为$2x-6-(2x+1)$，去括号时，括号前是负号，括号内每一项都要变号，正确去括号应为$2x-6-2x-1$，但第五步写成了$2x-6-2x+1$，因此第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前是负号，括号内的$+1$没有变号，违背了去括号法则。
探究2
纠正第五步的错误后重新计算：
分子$=2x-6-(2x+1)=2x-6-2x-1=-7$，分母为$2(x+3)=2x+6$，因此化简结果为$-\frac{7}{2x+6}$。
探究3
结合分式化简的易错点可提建议：分式化简的最终结果要化为最简分式，运算过程中遇到分子为多项式的减法时，要给分子整体加括号，避免符号错误。
【答案】
探究1：① 三；分式的基本性质（分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）
② 五；去括号时，括号前是负号，括号内的$+1$没有变号，违背了去括号法则
探究2：$-\dfrac{7}{2x+6}$
探究3：分式化简的最终结果要化为最简分式，运算过程中遇到分子为多项式的减法时，要给分子整体加括号，避免符号错误（合理即可）
【知识点】
分式的基本性质、分式的通分约分、去括号法则
【点评】
本题围绕分式化简的完整过程设置问题，重点考查分式运算的基础步骤和常见易错点，能够有效检验学生对代数运算法则的掌握程度，帮助学生养成严谨细致的运算习惯。
【难度系数】
0.7

即时测评

1. C 2. $\dfrac{1}{m-4n}$

【分析】
第1题为基础概念类选择题，解题时先明确题干考查的知识点，对四个选项逐一辨析，排除不符合要求的错误选项，即可得到正确答案；第2题为分式化简题，解题第一步先对分式的分母利用完全平方公式进行因式分解，第二步找到分子和分母的公因式，第三步根据分式的基本性质，将分子分母同时除以公因式，约分化简为最简分式即可得到结果。
【解析】
1. 结合对应知识点逐一分析各选项，排除错误选项后，C选项符合题干要求，故选择C。
2. 先对原式分母因式分解：$m^2 - 8mn + 16n^2 = (m - 4n)^2$，根据分式的基本性质，当$m ≠ 4n$时，将分子分母的公因式$m-4n$约去，可得化简结果为$\dfrac{1}{m-4n}$。
【答案】
1. C 2. $\dfrac{1}{m-4n}$
【知识点】
分式的约分、完全平方公式因式分解、分式基本性质
【点评】
本次测评侧重基础知识点的考查，题型典型，只要熟练掌握相关运算规则和公式，就能顺利解答，适合用来巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8

先化简，再求值：，其中$x=\sqrt{3}$。

解：原式=$\dfrac{x}{x+1}$。
当$x=\sqrt{3}$时，
原式=$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$。

【分析】
本题是分式化简求值题，解题分为两步：第一步化简分式，第二步代入求值。化简时先观察各分式的分母，先对第一个分式的二次三项式分母因式分解，确定三个分式的最简公分母，再将异分母分式通分转化为同分母分式，按同分母分式加减法法则计算分子，合并同类项后对分子因式分解，约分化为最简分式；再将x的值代入最简分式，对结果分母有理化即可得到最终数值。
【解析】
首先分解第一个分式的分母：$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，可得最简公分母为$(x-3)(x+1)$。
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4x}{(x-3)(x+1)}-\frac{x}{x-3}+\frac{2x}{x+1}\\&=\frac{4x}{(x-3)(x+1)}-\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+1)}+\frac{2x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\\&=\frac{4x - x(x+1)+2x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\\&=\frac{4x -x^2 -x +2x^2 -6x}{(x-3)(x+1)}\\&=\frac{x^2-3x}{(x-3)(x+1)}\\&=\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\\&=\frac{x}{x+1} \quad (x≠3)\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}$代入化简结果，进行分母有理化：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{3-1}\\&=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x}{x+1}$，当$x=\sqrt{3}$时，值为$\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分母有理化
【点评】
本题考查分式加减运算与化简求值，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，需注意通分时的符号处理，约分时要保证公因式不为0，代入含根号的数值时要正确进行分母有理化，属于分式运算的常规基础题型。
【难度系数】
0.7

请根据本课所学，构建知识体系。
异分母
分式的
加减法
├─最简公分母
├─通分
├─法则
│ ├─
│ └─再按同分母分式的加减法法则计算
└─化简求值

解：
异分母分式的加减法完整知识体系：
1. 最简公分母：取各分母所有不同因式的最高次幂的积作为公共分母，这个公共分母即为最简公分母。
2. 通分：依据分式的基本性质，将几个异分母的分式分别化为与原分式值相等的同分母分式的变形过程。
3. 运算法则：
先通分，把异分母分式转化为同分母分式
再按同分母分式的加减法法则计算：分母不变，分子相加减，用式子表示为$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$
4. 化简求值：先通过异分母分式加减运算法则对原式化简，再代入使原分式所有分母都不为0的字母取值，计算得到最终结果。

【分析】
要完成异分母分式加减法的知识体系构建，可按照给出的框架分支逐一梳理对应内容：首先明确最简公分母的定义，它是开展通分操作的前提；其次掌握通分的概念和依据；接下来对应法则的两个子分支，梳理异分母分式加减法的运算步骤；最后明确化简求值的操作要点，注意代入字母取值时要保证所有原分式有意义，按这个逻辑即可完整补充知识体系。
【解析】
我们按照知识框架的层级依次补充各部分内容：
1. 最简公分母：取各分母所有不同因式的最高次幂的积作为公共分母，这个公共分母即为最简公分母。
2. 通分：依据分式的基本性质，将几个异分母的分式分别化为与原分式值相等的同分母分式的变形过程。
3. 运算法则：
先通分，把异分母分式转化为同分母分式
再按同分母分式的加减法法则计算：分母不变，分子相加减，用式子表示为$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$
4. 化简求值：先通过异分母分式加减运算法则对原式化简，再代入使原分式所有分母都不为0的字母取值，计算得到最终结果。
【答案】
异分母分式的加减法完整知识体系：
1. 最简公分母：取各分母所有不同因式的最高次幂的积作为公共分母，这个公共分母即为最简公分母。
2. 通分：依据分式的基本性质，将几个异分母的分式分别化为与原分式值相等的同分母分式的变形过程。
3. 运算法则：
先通分，把异分母分式转化为同分母分式
再按同分母分式的加减法法则计算：分母不变，分子相加减，用式子表示为$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$
4. 化简求值：先通过异分母分式加减运算法则对原式化简，再代入使原分式所有分母都不为0的字母取值，计算得到最终结果。
【知识点】
异分母分式加减法、分式通分、分式化简求值
【点评】
本题属于知识体系梳理类题目，能够帮助同学们理清异分母分式加减法相关内容的逻辑关联，夯实分式运算的基础，为后续分式的综合应用做好铺垫。
【难度系数】
0.8