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1. 如果$a + b = 2$，那么代数式$\frac{4a}{a^2 - b^2} - \frac{4b}{a^2 - b^2}$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先观察代数式的结构：两个分式分母相同，可先按同分母分式减法法则合并；再对分子、分母分别因式分解，约分后得到最简形式，最后将已知条件a+b=2整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先合并同分母分式：
$\frac{4a}{a^2 - b^2} - \frac{4b}{a^2 - b^2}=\frac{4a - 4b}{a^2 - b^2}$
对分子提取公因式，分母利用平方差公式因式分解：
$=\frac{4(a - b)}{(a + b)(a - b)}$
由代数式有意义可知$a≠ b$，约去公因式$(a - b)$得：
$=\frac{4}{a + b}$
将$a + b = 2$代入上式：
$\frac{4}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法；平方差公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，核心解题技巧是整体代入思想的运用，先化简后代入求值，避免了单独求解未知数的繁琐，计算时要注意分式约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.8
解题时先观察代数式的结构：两个分式分母相同，可先按同分母分式减法法则合并；再对分子、分母分别因式分解，约分后得到最简形式，最后将已知条件a+b=2整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
首先合并同分母分式：
$\frac{4a}{a^2 - b^2} - \frac{4b}{a^2 - b^2}=\frac{4a - 4b}{a^2 - b^2}$
对分子提取公因式，分母利用平方差公式因式分解：
$=\frac{4(a - b)}{(a + b)(a - b)}$
由代数式有意义可知$a≠ b$，约去公因式$(a - b)$得：
$=\frac{4}{a + b}$
将$a + b = 2$代入上式：
$\frac{4}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法；平方差公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，核心解题技巧是整体代入思想的运用，先化简后代入求值，避免了单独求解未知数的繁琐，计算时要注意分式约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.8
2. 先化简$\frac{m^2}{m-1} - \frac{1-2m}{1-m}$，再选取一个适当的$m$的值代入求值。
答案
解：原式$=\frac{m^2}{m-1} + \frac{1-2m}{m-1} = \frac{m^2 -2m +1}{m-1} = \frac{(m-1)^2}{m-1} = m-1$。
$\because$ 分母 $m-1≠0$，$\therefore m≠1$。
令 $m=2$，则原式$=2-1=1$。（答案不唯一）
$\because$ 分母 $m-1≠0$，$\therefore m≠1$。
令 $m=2$，则原式$=2-1=1$。（答案不唯一）
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理异分母分式的分母，观察到两个分母m-1和1-m互为相反数，可将第二个分式的分母变形为-(m-1)，统一两个分式的分母为m-1，注意调整分子的符号避免出错；第二步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加，再对分子因式分解后约分，得到最简结果；第三步选取m值时，要保证原分式的分母不为0，即m不能取1，再代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式变形统一分母：
$\frac{m^2}{m-1} - \frac{1-2m}{1-m} = \frac{m^2}{m-1} + \frac{1-2m}{m-1}$
根据同分母分式加减法则，合并分子：
$=\frac{m^2 +1 -2m}{m-1} = \frac{m^2 -2m +1}{m-1}$
分子用完全平方公式因式分解：
$=\frac{(m-1)^2}{m-1}$
约分得最简结果：
$= m-1$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，即$m-1≠0$，得$m≠1$。
选取合适的m值代入，例如令$m=2$，则原式$=2-1=1$。（选取的m值只要不为1即可，计算结果不唯一）
【答案】
化简结果为$m-1$，示例：当$m=2$时，原式的值为1（答案不唯一，$m≠1$即可）
【知识点】
分式的加减运算，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题属于分式化简求值的基础常考题型，解题时要注意通分过程中的符号变化，选取代入值时务必保证原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理异分母分式的分母，观察到两个分母m-1和1-m互为相反数，可将第二个分式的分母变形为-(m-1)，统一两个分式的分母为m-1，注意调整分子的符号避免出错；第二步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加，再对分子因式分解后约分，得到最简结果；第三步选取m值时，要保证原分式的分母不为0，即m不能取1，再代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式变形统一分母：
$\frac{m^2}{m-1} - \frac{1-2m}{1-m} = \frac{m^2}{m-1} + \frac{1-2m}{m-1}$
根据同分母分式加减法则，合并分子：
$=\frac{m^2 +1 -2m}{m-1} = \frac{m^2 -2m +1}{m-1}$
分子用完全平方公式因式分解：
$=\frac{(m-1)^2}{m-1}$
约分得最简结果：
$= m-1$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，即$m-1≠0$，得$m≠1$。
选取合适的m值代入，例如令$m=2$，则原式$=2-1=1$。（选取的m值只要不为1即可，计算结果不唯一）
【答案】
化简结果为$m-1$，示例：当$m=2$时，原式的值为1（答案不唯一，$m≠1$即可）
【知识点】
分式的加减运算，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题属于分式化简求值的基础常考题型，解题时要注意通分过程中的符号变化，选取代入值时务必保证原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
任务一 掌握分式的通分
探究1：根据
探究1：根据
分式的基本性质
，异分母的分式可以化为同分母
的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母
）作为它们的共同分母。答案
探究1 分式的基本性质 同分母 最简公分母
解析
【分析】
本题考查分式通分的基础定义类问题，解题时可结合分数通分的相关知识类比回忆分式通分的知识点：首先明确通分的理论依据，再明确通分的变化结果，最后回忆通分时为了简便选取的公分母名称，依次对应三个空填写即可。
【解析】
根据分式通分的定义：
1. 通分的理论依据是分式的基本性质，和分数通分类似，都是依托“分子分母同乘不为0的整式，分式值不变”的性质进行变形；
2. 通分的操作是将异分母的分式化为同分母的分式；
3. 为了计算简便，通分时通常取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为公分母，也就是最简公分母。
因此三个空依次对应填入对应的概念内容即可。
【答案】
分式的基本性质；同分母；最简公分母
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分；最简公分母
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考察分式通分的相关定义，熟练记忆课本基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式通分的基础定义类问题，解题时可结合分数通分的相关知识类比回忆分式通分的知识点：首先明确通分的理论依据，再明确通分的变化结果，最后回忆通分时为了简便选取的公分母名称，依次对应三个空填写即可。
【解析】
根据分式通分的定义：
1. 通分的理论依据是分式的基本性质，和分数通分类似，都是依托“分子分母同乘不为0的整式，分式值不变”的性质进行变形；
2. 通分的操作是将异分母的分式化为同分母的分式；
3. 为了计算简便，通分时通常取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为公分母，也就是最简公分母。
因此三个空依次对应填入对应的概念内容即可。
【答案】
分式的基本性质；同分母；最简公分母
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分；最简公分母
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考察分式通分的相关定义，熟练记忆课本基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
探究 2: 下列对 $\frac{1}{x-2}$, $\frac{1}{(x-2)(x+3)}$, $\frac{2}{(x+3)^2}$ 进行通分的过程中，不正确的是(
A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
D
)A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式通分的相关知识，解题思路如下：首先回忆通分的规则：第一步要先确定几个分式的最简公分母，最简公分母是各分母所有不同因式的最高次幂的乘积；第二步再根据分式的基本性质，将每个分式的分子和分母同时乘原分母所缺少的因式，保证变形前后分式的值不变，最后逐一核对每个选项即可判断正误。
【解析】
先确定三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，逐一分析选项：
1. 对选项A：取各分母因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，因此A选项正确。
2. 对选项B：将$\frac{1}{x-2}$通分，分母需乘$(x+3)^2$才能得到最简公分母，根据分式的基本性质，分子也要乘$(x+3)^2$，即$\frac{1}{x-2}=\frac{1×(x+3)^2}{(x-2)×(x+3)^2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，因此B选项正确。
3. 对选项C：将$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分，分母需乘$(x+3)$才能得到最简公分母，分子也要乘$(x+3)$，即$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1×(x+3)}{(x-2)(x+3)×(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，因此C选项正确。
4. 对选项D：将$\frac{2}{(x+3)^2}$通分，分母需乘$(x-2)$才能得到最简公分母，分子也要乘$(x-2)$，即$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2×(x-2)}{(x+3)^2×(x-2)}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，选项中分子为$2x-2$，计算错误，因此D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
分式的通分；最简公分母；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查通分的操作步骤和分式基本性质的应用，易错点是分子乘对应因式时乘法运算出错，解题时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题考查分式通分的相关知识，解题思路如下：首先回忆通分的规则：第一步要先确定几个分式的最简公分母，最简公分母是各分母所有不同因式的最高次幂的乘积；第二步再根据分式的基本性质，将每个分式的分子和分母同时乘原分母所缺少的因式，保证变形前后分式的值不变，最后逐一核对每个选项即可判断正误。
【解析】
先确定三个分式的分母分别为$x-2$、$(x-2)(x+3)$、$(x+3)^2$，逐一分析选项：
1. 对选项A：取各分母因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，因此A选项正确。
2. 对选项B：将$\frac{1}{x-2}$通分，分母需乘$(x+3)^2$才能得到最简公分母，根据分式的基本性质，分子也要乘$(x+3)^2$，即$\frac{1}{x-2}=\frac{1×(x+3)^2}{(x-2)×(x+3)^2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，因此B选项正确。
3. 对选项C：将$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分，分母需乘$(x+3)$才能得到最简公分母，分子也要乘$(x+3)$，即$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1×(x+3)}{(x-2)(x+3)×(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，因此C选项正确。
4. 对选项D：将$\frac{2}{(x+3)^2}$通分，分母需乘$(x-2)$才能得到最简公分母，分子也要乘$(x-2)$，即$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2×(x-2)}{(x+3)^2×(x-2)}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，选项中分子为$2x-2$，计算错误，因此D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
分式的通分；最简公分母；分式的基本性质
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，重点考查通分的操作步骤和分式基本性质的应用，易错点是分子乘对应因式时乘法运算出错，解题时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
分式$\frac{1}{6x^2}$与$-\frac{1}{3xy}$的最简公分母是 （
A.$6x^3y$
B.$6x^2y$
C.$18x^2y$
D.$18x^3y$
B
）A.$6x^3y$
B.$6x^2y$
C.$18x^2y$
D.$18x^3y$
答案
B
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找所有出现过的字母，相同字母取最高次幂，最后将系数和字母部分相乘，就能得到最简公分母，我们按照这个规则分析两个分母即可求解。
【解析】
1. 拆分两个分式的分母：
分式$\frac{1}{6x^2}$的分母为$6x^2$，可分解为$2×3× x^2$；
分式$-\frac{1}{3xy}$的分母为$3xy$，可分解为$3× x× y$。
2. 确定系数部分：6和3的最小公倍数是6。
3. 确定字母部分：两个分母共出现x、y两个字母，其中x的最高次幂为$x^2$，y的最高次幂为$y$。
4. 组合计算最简公分母：将系数和字母部分相乘，得$6× x^2× y=6x^2y$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
最简公分母的确定，最小公倍数的计算
【点评】
本题属于分式模块的基础题，核心考察最简公分母的找法，只要牢记“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、独有字母全部保留”的规则就能快速解题，是后续分式通分、加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：首先找各分母系数的最小公倍数，再找所有出现过的字母，相同字母取最高次幂，最后将系数和字母部分相乘，就能得到最简公分母，我们按照这个规则分析两个分母即可求解。
【解析】
1. 拆分两个分式的分母：
分式$\frac{1}{6x^2}$的分母为$6x^2$，可分解为$2×3× x^2$；
分式$-\frac{1}{3xy}$的分母为$3xy$，可分解为$3× x× y$。
2. 确定系数部分：6和3的最小公倍数是6。
3. 确定字母部分：两个分母共出现x、y两个字母，其中x的最高次幂为$x^2$，y的最高次幂为$y$。
4. 组合计算最简公分母：将系数和字母部分相乘，得$6× x^2× y=6x^2y$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
最简公分母的确定，最小公倍数的计算
【点评】
本题属于分式模块的基础题，核心考察最简公分母的找法，只要牢记“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、独有字母全部保留”的规则就能快速解题，是后续分式通分、加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
探究1: 异分母的分式相加减，先
用式子表示：$\frac{b}{a} \pm \frac{d}{c} = \frac{bc}{ac} \pm \frac{ad}{ac} = \frac{bc \pm ad}{ac}$。
探究2: 计算:
(1)$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$；(2)$\frac{1}{a-1} - \frac{2}{a^2 -1}$。
归纳总结
(1)异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
(2)异分母分式加减法的一般步骤：①通分；②进行同分母分式的加减运算；③把结果化成最简分式。
通分
，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。用式子表示：$\frac{b}{a} \pm \frac{d}{c} = \frac{bc}{ac} \pm \frac{ad}{ac} = \frac{bc \pm ad}{ac}$。
探究2: 计算:
(1)$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$；(2)$\frac{1}{a-1} - \frac{2}{a^2 -1}$。
归纳总结
(1)异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
(2)异分母分式加减法的一般步骤：①通分；②进行同分母分式的加减运算；③把结果化成最简分式。
答案
探究1 通分
探究2 解: (1)原式=$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$=$\frac{x+1+x-1}{x^2-1}$=$\frac{2x}{x^2-1}$。
(2) 原式 = $\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{a+1-2}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{1}{a+1}$。
探究2 解: (1)原式=$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$=$\frac{x+1+x-1}{x^2-1}$=$\frac{2x}{x^2-1}$。
(2) 原式 = $\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{a+1-2}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}$ = $\frac{1}{a+1}$。
解析
【分析】
探究1考查异分母分式加减法的基本法则，回忆法则内容即可直接填空。探究2是异分母分式加减法的实际运算：解题时首先需确定各分式分母的最简公分母，对于能因式分解的分母先因式分解再找最简公分母；接下来将各分式通分化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则，分母不变、分子相加减；最后对运算结果进行约分，化为最简分式即可。
【解析】
探究1：根据异分母分式加减法法则，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式再计算，故应填“通分”。
探究2：
(1) 两个分式的分母分别为$x-1$和$x+1$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，通分后计算：
原式$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1+x-1}{x^2-1}$
$=\frac{2x}{x^2-1}$
(2) 先将第二个分式的分母因式分解：$a^2-1=(a-1)(a+1)$，可得最简公分母为$(a-1)(a+1)$，通分后计算并约分：
原式 = $\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{a+1-2}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{1}{a+1}$
【答案】
探究1：通分；(1)$\frac{2x}{x^2-1}$；(2)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算步骤，解题核心是准确找到最简公分母完成通分，运算结束后要注意检查结果是否为最简分式，熟练掌握该部分内容是后续分式混合运算的基础。
【难度系数】
0.8
探究1考查异分母分式加减法的基本法则，回忆法则内容即可直接填空。探究2是异分母分式加减法的实际运算：解题时首先需确定各分式分母的最简公分母，对于能因式分解的分母先因式分解再找最简公分母；接下来将各分式通分化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则，分母不变、分子相加减；最后对运算结果进行约分，化为最简分式即可。
【解析】
探究1：根据异分母分式加减法法则，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式再计算，故应填“通分”。
探究2：
(1) 两个分式的分母分别为$x-1$和$x+1$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，通分后计算：
原式$=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{x+1+x-1}{x^2-1}$
$=\frac{2x}{x^2-1}$
(2) 先将第二个分式的分母因式分解：$a^2-1=(a-1)(a+1)$，可得最简公分母为$(a-1)(a+1)$，通分后计算并约分：
原式 = $\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \frac{2}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{a+1-2}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}$
= $\frac{1}{a+1}$
【答案】
探究1：通分；(1)$\frac{2x}{x^2-1}$；(2)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算步骤，解题核心是准确找到最简公分母完成通分，运算结束后要注意检查结果是否为最简分式，熟练掌握该部分内容是后续分式混合运算的基础。
【难度系数】
0.8
