知识回顾：
(1)分式的乘法法则：
。
(2)分式的除法法则：
。
(3)同分母的分式加减法法则：
同分母的分式相加减，分母，把分子。
(4)异分母的分式加减法法则：
异分母的分式相加减，先，化为的分式，再。

(1) 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母
(2) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
(3) 不变，相加减
(4) 通分，同分母，按同分母分式的加减法法则进行计算

【分析】
本题属于基础识记类题目，主要考查分式四类基本运算法则的记忆，解题时只需对应题干给出的法则类别，回忆课本中对应的标准表述，依次填空即可。
【解析】
(1) 回忆分式乘法法则可得：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
(2) 回忆分式除法法则可得：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘；
(3) 回忆同分母分式加减法法则可得：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
(4) 回忆异分母分式加减法法则可得：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。
【答案】
(1) 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母
(2) 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
(3) 不变，相加减
(4) 通分，同分母，按同分母分式的加减法法则进行计算
【知识点】
分式的乘法法则、分式的除法法则、分式的加减法法则
【点评】
本题是对分式基本运算规则的直接考察，属于基础识记类题型，准确牢记这些法则是开展分式混合运算、分式化简求值等后续题型学习的前提，需要熟练背诵掌握。
【难度系数】
0.9

类比探究：化简。
(1)
(2)
新知生成：分式混合运算的顺序是先算，再算，最后算，有括号的先算，同一级运算应该按照的顺序依次进行计算，计算结果要化为或。

(1) 原式$=-\dfrac{2}{x+2}$
(2) 原式$=-\dfrac{m+1}{2m}$
分式混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，同一级运算应该按照从左到右的顺序依次进行计算，计算结果要化为最简分式或整式。

【分析】
本题分为分式化简探究和运算规则识记两部分。对于分式化简题，解题时先遵循分式混合运算的顺序：有括号先计算括号内的运算，再将除法转化为乘法运算，对分子、分母中的多项式进行因式分解后约分，最后整理得到最简结果即可；对于运算规则填空，直接结合课本所学的分式混合运算的顺序相关知识点对应填写即可。
【解析】
(1) 按照分式混合运算顺序，先计算括号内的分式加减，通分合并后，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，最终化简得到结果。
(2) 同理，先计算括号内的运算，再进行乘除运算，约分后即可得到化简结果。
新知生成部分：根据分式混合运算的运算顺序规则，依次对应填写对应内容即可。
【答案】
(1) 原式$=-\dfrac{2}{x+2}$
(2) 原式$=-\dfrac{m+1}{2m}$
乘方；乘除；加减；括号里面的；从左到右；最简分式；整式
【知识点】
分式混合运算顺序，分式化简，约分
【点评】
本题是分式运算模块的基础题，既考查了对运算顺序的识记能力，又考查了实际化简计算的实操能力，计算过程中要注意符号处理和约分的准确性，熟练掌握相关规则是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7

1. 计算$\dfrac{a^2}{a^2 -1} ÷ ( \dfrac{1}{a-1} +1 )$的结果是 （）

A.$\dfrac{a}{a+1}$
B.$\dfrac{1}{a-1}$
C.$\dfrac{a}{a-1}$
D.$\dfrac{1}{a+1}$

A

【分析】
这是分式混合运算题，按照分式运算规则思考：第一步优先计算括号内的加法，先通分把1转化为分母为a-1的分式，再按同分母分式加法法则计算出括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步对分子分母中的多项式因式分解，再约去公因式得到最简结果，对应选项即可。
【解析】
解：先计算括号内的加法：
$\dfrac{1}{a-1} + 1 = \dfrac{1}{a-1} + \dfrac{a-1}{a-1} = \dfrac{1 + a - 1}{a-1} = \dfrac{a}{a-1}$
将除法转化为乘法，同时对$a^2-1$用平方差公式因式分解：
原式$=\dfrac{a^2}{(a+1)(a-1)} ÷ \dfrac{a}{a-1} = \dfrac{a^2}{(a+1)(a-1)} × \dfrac{a-1}{a}$
约去分子分母的公因式$a$和$a-1$，得：
原式$=\dfrac{a}{a+1}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式因式分解；分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的运算顺序与约分规则，解题时需注意先处理括号内的运算，将除法转化为乘法后再进行约分，计算过程中要正确对多项式因式分解，避免因通分、因式分解错误导致失分。
【难度系数】
0.8

2. 化简：$(1 - \dfrac{2}{m+3}) ÷ \dfrac{m^2 -1}{m^2 +6m +9} =$ 。

解：
先计算括号内的运算：
$1-\dfrac{2}{m+3}=\dfrac{m+3}{m+3}-\dfrac{2}{m+3}=\dfrac{m+3-2}{m+3}=\dfrac{m+1}{m+3}$
对分式的分子分母因式分解：
$m^2-1=(m+1)(m-1),\quad m^2+6m+9=(m+3)^2$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{m+1}{m+3} × \dfrac{(m+3)^2}{(m+1)(m-1)}\\&=\dfrac{m+3}{m-1}\end{aligned}$
最终结果：$\dfrac{m+3}{m-1}$

【分析】
解决分式混合运算类题目，首先遵循运算顺序：有括号先计算括号内的运算，再计算乘除。第一步处理括号内的减法：将整数1通分转化为分母为m+3的分式，再和括号内的分式做同分母减法计算。第二步处理除法运算：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，此时先对除式的分子、分母分别因式分解（利用平方差公式、完全平方公式），再将除法转化为乘法，最后约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
【解析】
第一步：计算括号内的运算：
$1-\dfrac{2}{m+3}=\dfrac{m+3}{m+3}-\dfrac{2}{m+3}=\dfrac{m+3-2}{m+3}=\dfrac{m+1}{m+3}$
第二步：对分式的分子分母因式分解：
$m^2-1=(m+1)(m-1)$，$m^2+6m+9=(m+3)^2$
第三步：将除法转化为乘法运算，再约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{m+1}{m+3} × \dfrac{(m+3)^2}{(m+1)(m-1)}\\&=\dfrac{m+3}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{m+3}{m-1}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查运算顺序的掌握、因式分解公式的应用以及约分规则，计算时要注意通分、因式分解的准确性，避免因因式分解错误或漏约分导致结果出错。
【难度系数】
0.8

任务二 用分式的运算解决实际问题
【阅读】
我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一。所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，可求出它们的差$M-N$，若$M-N＞0$，则$M＞N$；若$M-N=0$，则$M=N$；若$M-N＜0$，则$M＜N$。
【运用】
利用“作差法”解决下列问题：
探究1：小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了$m$ kg商品，小颖两次购买商品均花费$n$元。已知第一次购买该商品的价格为$a$元/千克，第二次购买该商品的价格为$b$元/千克($a$，$b$是整数，且$a≠b$)，试比较小丽和小颖两次购买该商品的平均价格的高低。

解：
小丽两次购买商品的总花费为 $ma + mb$ 元，总购买量为 $2m$ kg，
则小丽两次购买的平均价格为：
$\frac{ma+mb}{2m} = \frac{a+b}{2} \mathrm{（元/千克）}$
小颖两次购买商品的总花费为 $2n$ 元，总购买量为 $\frac{n}{a} + \frac{n}{b}$ kg，
则小颖两次购买的平均价格为：
$\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}} = \frac{2n}{\frac{n(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} \mathrm{（元/千克）}$
作差比较两者平均价格：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} &= \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知 $a＞0$，$b＞0$，因此 $2(a+b)＞0$，
又因为 $a ≠ b$，所以 $(a-b)^2 ＞ 0$，
因此 $\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} ＞ 0$，即 $\frac{a+b}{2} ＞ \frac{2ab}{a+b}$。
答：小丽两次购买该商品的平均价格高于小颖两次购买该商品的平均价格。

【分析】
要比较小丽和小颖两次购买商品的平均价格，首先需要根据“平均价格=总花费÷总购买量”的公式，分别求出两人的平均价格，再利用题干给出的“作差法”，计算两个平均价格的差，通过化简差并结合已知条件判断差的符号，最终确定两者平均价格的高低。
【解析】
首先计算小丽两次购买的平均价格：
小丽两次购买的总花费为$ma+mb$元，总购买量为$2m$kg，因此平均价格为：
$\frac{ma+mb}{2m}=\frac{a+b}{2}$（元/千克）
再计算小颖两次购买的平均价格：
小颖两次购买的总花费为$2n$元，总购买量为$\frac{n}{a}+\frac{n}{b}$kg，因此平均价格为：
$\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2n}{\frac{n(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$（元/千克）
接下来用作差法比较两个平均价格的大小：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}&=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)}\\&=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
由实际意义可知$a＞0$，$b＞0$，因此分母$2(a+b)＞0$；又因为$a≠b$，所以分子$(a-b)^2＞0$，因此$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$。
【答案】
小丽两次购买该商品的平均价格高于小颖两次购买该商品的平均价格。
【知识点】
1.分式的混合运算
2.作差法比较大小
3.平均数计算
【点评】
本题结合生活中的购物场景，将分式运算与大小比较结合考查，解题的核心是先正确推导两人的平均价格，再通过作差、配方化简判断差的符号，能有效提升学生运用数学方法解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6