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探究2：奶奶提一篮子玉米到集贸市场去兑换大米，每2 kg玉米兑换1 kg大米，商贩用秤称得连篮子带玉米恰好20 kg，于是商贩连篮子带大米给奶奶共10 kg，在这个过程中谁吃亏？并说明理由。
答案
解：设篮子的质量为$ x \, \mathrm{kg} $，且$ x＞0 $。
奶奶的玉米实际质量为$ (20 - x) \, \mathrm{kg} $，
按兑换规则，奶奶应得的大米质量为$ \frac{20 - x}{2} \, \mathrm{kg} $。
商贩实际交付给奶奶的大米质量为$ (10 - x) \, \mathrm{kg} $。
计算应得大米质量与实得大米质量的差：
$\frac{20 - x}{2} - (10 - x) = 10 - \frac{x}{2} - 10 + x = \frac{x}{2}$
因为$ x＞0 $，所以$ \frac{x}{2} ＞ 0 $，说明奶奶实际得到的大米比按规则应得的大米少了$ \frac{x}{2} \, \mathrm{kg} $。
答：这个过程中奶奶吃亏。
奶奶的玉米实际质量为$ (20 - x) \, \mathrm{kg} $，
按兑换规则，奶奶应得的大米质量为$ \frac{20 - x}{2} \, \mathrm{kg} $。
商贩实际交付给奶奶的大米质量为$ (10 - x) \, \mathrm{kg} $。
计算应得大米质量与实得大米质量的差：
$\frac{20 - x}{2} - (10 - x) = 10 - \frac{x}{2} - 10 + x = \frac{x}{2}$
因为$ x＞0 $，所以$ \frac{x}{2} ＞ 0 $，说明奶奶实际得到的大米比按规则应得的大米少了$ \frac{x}{2} \, \mathrm{kg} $。
答：这个过程中奶奶吃亏。
解析
【分析】
要判断谁吃亏，核心是比较奶奶按兑换规则应得的大米净重和实际拿到的大米净重的大小。我们可以先设篮子的质量为x kg（x＞0），第一步计算奶奶的玉米净重：连篮子带玉米共20kg，所以玉米净重为(20-x)kg；第二步根据兑换规则计算应得大米净重：每2kg玉米换1kg大米，所以应得大米为$\frac{20-x}{2}$kg；第三步计算实际拿到的大米净重：商贩给的连篮子带大米共10kg，所以实得大米净重为(10-x)kg；最后用应得大米净重减去实得大米净重，根据差值的正负判断谁吃亏，差值为正则说明实得更少，奶奶吃亏。
【解析】
解：设篮子的质量为$ x \, \mathrm{kg} $，且$ x＞0 $。
奶奶的玉米实际质量为$ (20 - x) \, \mathrm{kg} $，
按兑换规则，奶奶应得的大米质量为$ \frac{20 - x}{2} \, \mathrm{kg} $。
商贩实际交付给奶奶的大米质量为$ (10 - x) \, \mathrm{kg} $。
计算应得大米质量与实得大米质量的差：
$\frac{20 - x}{2} - (10 - x) = 10 - \frac{x}{2} - 10 + x = \frac{x}{2}$
因为$ x＞0 $，所以$ \frac{x}{2} ＞ 0 $，说明奶奶实际得到的大米比按规则应得的大米少了$ \frac{x}{2} \, \mathrm{kg} $。
【答案】
奶奶吃亏
【知识点】
列代数式；作差法比较大小；整式的加减运算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，解题关键是引入未知数表示篮子质量，将隐含的净重关系用代数式表示出来，通过作差比较大小得出结论，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断谁吃亏，核心是比较奶奶按兑换规则应得的大米净重和实际拿到的大米净重的大小。我们可以先设篮子的质量为x kg（x＞0），第一步计算奶奶的玉米净重：连篮子带玉米共20kg，所以玉米净重为(20-x)kg；第二步根据兑换规则计算应得大米净重：每2kg玉米换1kg大米，所以应得大米为$\frac{20-x}{2}$kg；第三步计算实际拿到的大米净重：商贩给的连篮子带大米共10kg，所以实得大米净重为(10-x)kg；最后用应得大米净重减去实得大米净重，根据差值的正负判断谁吃亏，差值为正则说明实得更少，奶奶吃亏。
【解析】
解：设篮子的质量为$ x \, \mathrm{kg} $，且$ x＞0 $。
奶奶的玉米实际质量为$ (20 - x) \, \mathrm{kg} $，
按兑换规则，奶奶应得的大米质量为$ \frac{20 - x}{2} \, \mathrm{kg} $。
商贩实际交付给奶奶的大米质量为$ (10 - x) \, \mathrm{kg} $。
计算应得大米质量与实得大米质量的差：
$\frac{20 - x}{2} - (10 - x) = 10 - \frac{x}{2} - 10 + x = \frac{x}{2}$
因为$ x＞0 $，所以$ \frac{x}{2} ＞ 0 $，说明奶奶实际得到的大米比按规则应得的大米少了$ \frac{x}{2} \, \mathrm{kg} $。
【答案】
奶奶吃亏
【知识点】
列代数式；作差法比较大小；整式的加减运算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，解题关键是引入未知数表示篮子质量，将隐含的净重关系用代数式表示出来，通过作差比较大小得出结论，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
如图，有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度，从中抽出1 m长的电线，称出它的质量为m，再称剩余主电线和轴芯的质量为n，已知轴芯的质量为c，则这捆电线的总长度是
$(1+\dfrac{n-c}{m})$
m。答案
$(1+\dfrac{n-c}{m})$
解析
【分析】
要计算这捆电线的总长度，首先明确粗细均匀的电线单位长度的质量是固定的。我们先根据1m电线的质量得到每米电线的质量；再用剩余主电线和轴芯的总质量减去轴芯的质量，得到剩余电线的总质量；用剩余电线的总质量除以每米电线的质量，算出剩余电线的长度，最后加上已经抽出的1m，就是这捆电线的总长度。
【解析】
解：已知1m长的电线质量为m，因此该电线每米的质量为m。
剩余电线的质量 = 剩余主电线和轴芯的总质量 - 轴芯质量 = $n-c$
剩余电线的长度 = 剩余电线的质量÷每米电线的质量 = $\dfrac{n-c}{m}$
因此这捆电线的总长度 = 抽出的1m + 剩余电线的长度 = $1+\dfrac{n-c}{m}$
【答案】
$\boxed{1+\dfrac{n-c}{m}}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 分式的实际应用
3. 正比例关系应用
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的列写，解题关键是理清各个数量之间的对应关系，要注意不要遗漏已经抽出的1m长度，避免误将剩余长度当作总长度。
【难度系数】
0.7
要计算这捆电线的总长度，首先明确粗细均匀的电线单位长度的质量是固定的。我们先根据1m电线的质量得到每米电线的质量；再用剩余主电线和轴芯的总质量减去轴芯的质量，得到剩余电线的总质量；用剩余电线的总质量除以每米电线的质量，算出剩余电线的长度，最后加上已经抽出的1m，就是这捆电线的总长度。
【解析】
解：已知1m长的电线质量为m，因此该电线每米的质量为m。
剩余电线的质量 = 剩余主电线和轴芯的总质量 - 轴芯质量 = $n-c$
剩余电线的长度 = 剩余电线的质量÷每米电线的质量 = $\dfrac{n-c}{m}$
因此这捆电线的总长度 = 抽出的1m + 剩余电线的长度 = $1+\dfrac{n-c}{m}$
【答案】
$\boxed{1+\dfrac{n-c}{m}}$
【知识点】
1. 列代数式
2. 分式的实际应用
3. 正比例关系应用
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的列写，解题关键是理清各个数量之间的对应关系，要注意不要遗漏已经抽出的1m长度，避免误将剩余长度当作总长度。
【难度系数】
0.7
例 先化简，再求值：$( \dfrac{x^2 -1}{x+2} -x +1 ) ÷ \dfrac{x-1}{x^2 +4x +4}$，其中$x=-4$。
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务。
解：原式$=[ \dfrac{x^2 -1}{x+2} - \dfrac{(x+1)(x+2)}{x+2} ] · \dfrac{x^2 +4x +4}{x-1}$…第一步
$=\dfrac{-3x -3}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x-1}$…第二步
$=\dfrac{(-3x -3)(x+2)}{x-1}$…第三步
$=-\dfrac{3(x+1)(x+2)}{x-1}$。…第四步
（1）填空：①以上化简步骤中，第________步是约分得到的，约分的依据是________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________。
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值。
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务。
解：原式$=[ \dfrac{x^2 -1}{x+2} - \dfrac{(x+1)(x+2)}{x+2} ] · \dfrac{x^2 +4x +4}{x-1}$…第一步
$=\dfrac{-3x -3}{x+2} · \dfrac{(x+2)^2}{x-1}$…第二步
$=\dfrac{(-3x -3)(x+2)}{x-1}$…第三步
$=-\dfrac{3(x+1)(x+2)}{x-1}$。…第四步
（1）填空：①以上化简步骤中，第________步是约分得到的，约分的依据是________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________。
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值。
答案
(1) ① 三 分式的基本性质
② 一 添括号时，括号里面的第二项没有变号
(2)$(\dfrac{x^2 -1}{x+2} -x +1) ÷ \dfrac{x-1}{x^2 +4x +4} = -x-2$。
当$x=-4$时，原式$=-(-4)-2=4-2=2$。
② 一 添括号时，括号里面的第二项没有变号
(2)$(\dfrac{x^2 -1}{x+2} -x +1) ÷ \dfrac{x-1}{x^2 +4x +4} = -x-2$。
当$x=-4$时，原式$=-(-4)-2=4-2=2$。
解析
【分析】
这道题包含分式化简过程辨析和正确化简求值两部分。解答第一问时，首先明确约分是约去分子分母公因式的变形，结合步骤可找到对应约分步骤，依据是分式的基本性质；再逐一核对每步运算规则，发现第一步处理$-x+1$通分时，添括号后符号出错。解答第二问时，先修正第一步的通分错误，再按照“先算括号内通分、除法转乘法、因式分解约分”的顺序化简，最后代入$x=-4$计算即可。
【解析】
(1) ① 观察步骤：第二步到第三步，将前一个分式分母的$x+2$和后一个因式的$(x+2)^2$约去公因式$x+2$，因此第三步是约分得到的，约分依据是分式的基本性质。
② 第一步通分处理$-x+1$时，$-x+1=-(x-1)$，通分后应为$-\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}$，小宇错误写成$-\dfrac{(x+1)(x+2)}{x+2}$，错误原因是添括号时括号前为负号，括号内第二项没有变号，因此第一步开始出错。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x^2-1}{x+2}-(x-1)]·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=[\dfrac{x^2-1}{x+2}-\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}]·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{x^2-1-(x^2+x-2)}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{-x+1}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{-(x-1)}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=-(x+2)=-x-2\end{aligned}$
当$x=-4$时，代入得：原式$=-(-4)-2=4-2=2$。
【答案】
(1) ① 三；分式的基本性质 ② 一；添括号时，括号里面的第二项没有变号
(2) 化简后的正确结果为$-x-2$，当$x=-4$时，原式的值为2
【知识点】
分式的基本性质；分式化简求值；添括号法则
【点评】
本题围绕分式运算的常见易错点设题，需要熟练掌握通分、约分、符号处理的运算规则，做题时要细致核对每一步的变形是否符合运算法则，避免因符号疏漏失分。
【难度系数】
0.7
这道题包含分式化简过程辨析和正确化简求值两部分。解答第一问时，首先明确约分是约去分子分母公因式的变形，结合步骤可找到对应约分步骤，依据是分式的基本性质；再逐一核对每步运算规则，发现第一步处理$-x+1$通分时，添括号后符号出错。解答第二问时，先修正第一步的通分错误，再按照“先算括号内通分、除法转乘法、因式分解约分”的顺序化简，最后代入$x=-4$计算即可。
【解析】
(1) ① 观察步骤：第二步到第三步，将前一个分式分母的$x+2$和后一个因式的$(x+2)^2$约去公因式$x+2$，因此第三步是约分得到的，约分依据是分式的基本性质。
② 第一步通分处理$-x+1$时，$-x+1=-(x-1)$，通分后应为$-\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}$，小宇错误写成$-\dfrac{(x+1)(x+2)}{x+2}$，错误原因是添括号时括号前为负号，括号内第二项没有变号，因此第一步开始出错。
(2) 正确化简过程：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x^2-1}{x+2}-(x-1)]·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=[\dfrac{x^2-1}{x+2}-\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+2}]·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{x^2-1-(x^2+x-2)}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{-x+1}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=\dfrac{-(x-1)}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{x-1}\\&=-(x+2)=-x-2\end{aligned}$
当$x=-4$时，代入得：原式$=-(-4)-2=4-2=2$。
【答案】
(1) ① 三；分式的基本性质 ② 一；添括号时，括号里面的第二项没有变号
(2) 化简后的正确结果为$-x-2$，当$x=-4$时，原式的值为2
【知识点】
分式的基本性质；分式化简求值；添括号法则
【点评】
本题围绕分式运算的常见易错点设题，需要熟练掌握通分、约分、符号处理的运算规则，做题时要细致核对每一步的变形是否符合运算法则，避免因符号疏漏失分。
【难度系数】
0.7
先化简，再求值：$( \dfrac{3}{a+1} - a + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1}$，然后从－2，－1，0，2中选一个你认为合适的数作为$a$的值代入求值。
答案
解：$(\dfrac{3}{a+1} - a + 1) ÷ \dfrac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} = -a -1$。
$\because a+1≠0$，$a^2 -4≠0$，$\therefore a≠-1$，$a≠\pm2$。
$\therefore$ 当$a=0$时，原式$=-0 -1 = -1$。
$\because a+1≠0$，$a^2 -4≠0$，$\therefore a≠-1$，$a≠\pm2$。
$\therefore$ 当$a=0$时，原式$=-0 -1 = -1$。
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分三步：第一步先化简分式，先处理括号内的运算，将整式部分转化为分母为1的式子，和括号内的分式通分后进行减法运算；再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果。第二步确定a的合法取值：根据分式有意义的条件（分母不为0，除式不为0），排除给定数值中使分式无意义的数。第三步将合法的a值代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式 $=[\dfrac{3}{a+1} - (a-1)] ÷ \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a+1)^2}$
通分计算括号内的式子：
$=\dfrac{3 - (a-1)(a+1)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
利用平方差公式计算分子：
$=\dfrac{3 - (a^2 - 1)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{4 - a^2}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
将分子变形并因式分解：
$=\dfrac{-(a^2 - 4)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{-(a+2)(a-2)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
约分后得：
$=-(a+1) = -a-1$
根据分式有意义的条件：$a+1≠0$，$a^2 -4≠0$，解得$a≠-1$，$a≠\pm2$。
因此给定的数中只能选$a=0$，代入得：原式$=-0 -1 = -1$。
【答案】
化简结果为$-a-1$，当$a=0$时，原式的值为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，易错点是忽略分式有意义的条件，直接选取题目给出的数值代入导致错误，解题时要先确定字母的取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路分三步：第一步先化简分式，先处理括号内的运算，将整式部分转化为分母为1的式子，和括号内的分式通分后进行减法运算；再将分式除法转化为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果。第二步确定a的合法取值：根据分式有意义的条件（分母不为0，除式不为0），排除给定数值中使分式无意义的数。第三步将合法的a值代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式 $=[\dfrac{3}{a+1} - (a-1)] ÷ \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a+1)^2}$
通分计算括号内的式子：
$=\dfrac{3 - (a-1)(a+1)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
利用平方差公式计算分子：
$=\dfrac{3 - (a^2 - 1)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{4 - a^2}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
将分子变形并因式分解：
$=\dfrac{-(a^2 - 4)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
$=\dfrac{-(a+2)(a-2)}{a+1} × \dfrac{(a+1)^2}{(a+2)(a-2)}$
约分后得：
$=-(a+1) = -a-1$
根据分式有意义的条件：$a+1≠0$，$a^2 -4≠0$，解得$a≠-1$，$a≠\pm2$。
因此给定的数中只能选$a=0$，代入得：原式$=-0 -1 = -1$。
【答案】
化简结果为$-a-1$，当$a=0$时，原式的值为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，易错点是忽略分式有意义的条件，直接选取题目给出的数值代入导致错误，解题时要先确定字母的取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
分式的混合运算
顺序
先算
次进行计算，计算结果要化为
应用
分式的混合运算
顺序
先算
乘方
，再算乘除
，最后算加减
，有括号的先算括号里面的
，同一级运算应该按照从左到右
的顺序次进行计算，计算结果要化为最简分式
或整式
应用
答案
1. 乘方
2. 乘除
3. 加减
4. 括号里面的
5. 从左到右
6. 最简分式
7. 整式
2. 乘除
3. 加减
4. 括号里面的
5. 从左到右
6. 最简分式
7. 整式
解析
【分析】
本题考查分式混合运算的运算顺序及结果规范，解题时可以类比已经学过的有理数混合运算顺序记忆：运算优先级上，乘方高于乘除，乘除高于加减；如果式子中有括号，要优先计算括号内部的内容；属于同一级的运算按从左到右的顺序计算，最终结果必须为最简形式，也就是整式或者不能再约分的最简分式。
【解析】
根据分式混合运算的相关规则逐一填空：
1. 运算优先级最高的是乘方，因此先算乘方；
2. 乘除属于二级运算，优先级次之，因此再算乘除；
3. 加减属于一级运算，优先级最低，因此最后算加减；
4. 有括号的要优先计算括号里面的；
5. 同一级运算需要按照从左到右的顺序依次计算；
6. 计算完成后的结果要化为最简形式，包括最简分式和整式两类。
【答案】
乘方；乘除；加减；括号里面的；从左到右；最简分式；整式
【知识点】
分式混合运算顺序，分式化简规范
【点评】
本题属于基础概念记忆类题目，是分式运算的核心基础规则，熟练掌握该知识点是正确进行分式混合运算的前提，要牢记规则避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.9
本题考查分式混合运算的运算顺序及结果规范，解题时可以类比已经学过的有理数混合运算顺序记忆：运算优先级上，乘方高于乘除，乘除高于加减；如果式子中有括号，要优先计算括号内部的内容；属于同一级的运算按从左到右的顺序计算，最终结果必须为最简形式，也就是整式或者不能再约分的最简分式。
【解析】
根据分式混合运算的相关规则逐一填空：
1. 运算优先级最高的是乘方，因此先算乘方；
2. 乘除属于二级运算，优先级次之，因此再算乘除；
3. 加减属于一级运算，优先级最低，因此最后算加减；
4. 有括号的要优先计算括号里面的；
5. 同一级运算需要按照从左到右的顺序依次计算；
6. 计算完成后的结果要化为最简形式，包括最简分式和整式两类。
【答案】
乘方；乘除；加减；括号里面的；从左到右；最简分式；整式
【知识点】
分式混合运算顺序，分式化简规范
【点评】
本题属于基础概念记忆类题目，是分式运算的核心基础规则，熟练掌握该知识点是正确进行分式混合运算的前提，要牢记规则避免运算顺序出错。
【难度系数】
0.9
