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8. (★)若$x$为正整数,则表示$(x+\dfrac{2x}{x-1})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x-1}$的值的点落在如图所示的区域
【】
A.①
B.②
C.③
D.④
【】
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
【分析】
解题时先对分式混合运算的式子进行化简，再结合x是正整数、分式有意义的隐含条件确定x的取值范围，进而求出化简后代数式的取值范围，最后对照数轴上的四个区域确定落点即可。注意运算顺序：先算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分，不要忽略分母不能为0的要求。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(x+\dfrac{2x}{x-1})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x-1}\\=&(\dfrac{x(x-1)}{x-1}+\dfrac{2x}{x-1})×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x^2+x}{x-1}×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x(x+1)}{x-1}×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x}{x+1}\end{aligned}$
2. 确定x的取值：
分式有意义要求分母$x-1≠0$，即$x≠1$，结合x是正整数，可得$x≥2$且x为整数。
3. 求代数式的取值范围：
$\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$，当$x=2$时，代数式的值为$\dfrac{2}{3}\approx0.67$；x越大，代数式的值越接近1，因此取值范围为$\dfrac{2}{3}≤\dfrac{x}{x+1}＜1$。
4. 对照数轴区域：
该取值范围落在区间0.45~1.05内，对应区域②。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式取值判断
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式运算的法则，注意不要遗漏分母不为0的隐含条件，结合自变量的取值范围确定代数式的范围即可快速匹配对应区间。
【难度系数】
0.7
解题时先对分式混合运算的式子进行化简，再结合x是正整数、分式有意义的隐含条件确定x的取值范围，进而求出化简后代数式的取值范围，最后对照数轴上的四个区域确定落点即可。注意运算顺序：先算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分，不要忽略分母不能为0的要求。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(x+\dfrac{2x}{x-1})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x-1}\\=&(\dfrac{x(x-1)}{x-1}+\dfrac{2x}{x-1})×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x^2+x}{x-1}×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x(x+1)}{x-1}×\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\\=&\dfrac{x}{x+1}\end{aligned}$
2. 确定x的取值：
分式有意义要求分母$x-1≠0$，即$x≠1$，结合x是正整数，可得$x≥2$且x为整数。
3. 求代数式的取值范围：
$\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$，当$x=2$时，代数式的值为$\dfrac{2}{3}\approx0.67$；x越大，代数式的值越接近1，因此取值范围为$\dfrac{2}{3}≤\dfrac{x}{x+1}＜1$。
4. 对照数轴区域：
该取值范围落在区间0.45~1.05内，对应区域②。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，代数式取值判断
【点评】
本题核心考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式运算的法则，注意不要遗漏分母不为0的隐含条件，结合自变量的取值范围确定代数式的范围即可快速匹配对应区间。
【难度系数】
0.7
9. (★★)若化简$(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4})÷\dfrac{△}{x^2-16}$的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是
【】
A.$4x$
B.$4-x$
C.$x+4$
D.$-2x$
【】
A.$4x$
B.$4-x$
C.$x+4$
D.$-2x$
答案
D
解析
【分析】
本题是分式化简类选择题，解题思路如下：第一步先利用分式加法法则计算括号内的部分，通分时注意公分母为$(x-4)(x+4)$；第二步将分式除法转化为乘法，同时对$x^2-16$因式分解为$(x-4)(x+4)$，约分后得到最简形式；第三步将四个选项逐一代入最简式，判断结果是否为整数即可选出正确答案。
【解析】
先化简原式：
1. 计算括号内的分式加法：
$\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{(x+4)+(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\dfrac{2x}{x^2-16}$
2. 将除法转化为乘法计算：
$(\dfrac{2x}{x^2-16})÷\dfrac{△}{x^2-16}=\dfrac{2x}{x^2-16}×\dfrac{x^2-16}{△}=\dfrac{2x}{△}$
3. 代入各选项验证（默认分式有意义）：
A. 若$△=4x$，则$\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}{2}$，不是整数，不符合要求；
B. 若$△=4-x$，则$\dfrac{2x}{4-x}$为分式，不是整数，不符合要求；
C. 若$△=x+4$，则$\dfrac{2x}{x+4}$为分式，不是整数，不符合要求；
D. 若$△=-2x$，则$\dfrac{2x}{-2x}=-1$，$-1$是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先将原式化简到最简形式再代入选项验证，熟练掌握分式运算法则就能快速解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简类选择题，解题思路如下：第一步先利用分式加法法则计算括号内的部分，通分时注意公分母为$(x-4)(x+4)$；第二步将分式除法转化为乘法，同时对$x^2-16$因式分解为$(x-4)(x+4)$，约分后得到最简形式；第三步将四个选项逐一代入最简式，判断结果是否为整数即可选出正确答案。
【解析】
先化简原式：
1. 计算括号内的分式加法：
$\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{(x+4)+(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\dfrac{2x}{x^2-16}$
2. 将除法转化为乘法计算：
$(\dfrac{2x}{x^2-16})÷\dfrac{△}{x^2-16}=\dfrac{2x}{x^2-16}×\dfrac{x^2-16}{△}=\dfrac{2x}{△}$
3. 代入各选项验证（默认分式有意义）：
A. 若$△=4x$，则$\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}{2}$，不是整数，不符合要求；
B. 若$△=4-x$，则$\dfrac{2x}{4-x}$为分式，不是整数，不符合要求；
C. 若$△=x+4$，则$\dfrac{2x}{x+4}$为分式，不是整数，不符合要求；
D. 若$△=-2x$，则$\dfrac{2x}{-2x}=-1$，$-1$是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是先将原式化简到最简形式再代入选项验证，熟练掌握分式运算法则就能快速解答。
【难度系数】
0.7
10. (★★) 试卷上一个正确的式子 $( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} ) ÷ ◯ = \frac{2}{a+b}$ 被小颖同学滴上了墨汁,则被墨汁遮住部分的代数式为 。
答案
解：设被墨汁遮住部分的代数式为A。
$\begin{aligned}A&=(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}·\frac{a+b}{2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{a}{a-b}}$。
$\begin{aligned}A&=(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}·\frac{a+b}{2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{a}{a-b}}$。
解析
【分析】
要计算被墨汁遮住的代数式，首先根据除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商。我们可以设被遮住的部分为A，先化简作为被除数的分式加法部分，再按照分式除法的运算法则，将除法转化为乘法约分计算，即可求出A的表达式。
【解析】
解：设被墨汁遮住部分的代数式为A。
$\begin{aligned}A&=(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}·\frac{a+b}{2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{a}{a-b}}$
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是利用除法各部分的关系将未知部分转化为可计算的分式化简问题，计算时要注意通分时分母的确定和约分的正确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算被墨汁遮住的代数式，首先根据除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商。我们可以设被遮住的部分为A，先化简作为被除数的分式加法部分，再按照分式除法的运算法则，将除法转化为乘法约分计算，即可求出A的表达式。
【解析】
解：设被墨汁遮住部分的代数式为A。
$\begin{aligned}A&=(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b})÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}÷\frac{2}{a+b}\\&=\frac{2a}{(a+b)(a-b)}·\frac{a+b}{2}\\&=\frac{a}{a-b}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{a}{a-b}}$
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是利用除法各部分的关系将未知部分转化为可计算的分式化简问题，计算时要注意通分时分母的确定和约分的正确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
11. (★★) 若 $x^2 + x - 2 = 0$，则代数式 $(x + \frac{2x+1}{x}) ÷ \frac{x+1}{x^2}$ 的值为。
答案
解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}(x + \frac{2x+1}{x}) ÷ \frac{x+1}{x^2} &= \frac{x^2 + 2x + 1}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= \frac{(x+1)^2}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= x(x+1) \\&= x^2 + x\end{aligned}$
由 $x^2 + x - 2 = 0$，可得 $x^2 + x = 2$。
因此该代数式的值为$\boldsymbol{2}$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}(x + \frac{2x+1}{x}) ÷ \frac{x+1}{x^2} &= \frac{x^2 + 2x + 1}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= \frac{(x+1)^2}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= x(x+1) \\&= x^2 + x\end{aligned}$
由 $x^2 + x - 2 = 0$，可得 $x^2 + x = 2$。
因此该代数式的值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
对于这类已知方程求代数式值的题目，通常先化简目标代数式，避免直接代入求解未知数的复杂运算。第一步先处理分式的混合运算：先计算括号内的异分母分式加法，通分后合并，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解、约分得到最简结果，最后观察最简结果和已知方程的关系，利用整体代入的方法计算出最终值即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(x + \frac{2x+1}{x}) ÷ \frac{x+1}{x^2} &= \frac{x^2 + 2x + 1}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= \frac{(x+1)^2}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= x(x+1) \\&= x^2 + x\end{aligned}$
已知$x^2 + x - 2 = 0$，移项可得$x^2 + x = 2$。
将$x^2 + x = 2$代入化简后的代数式，得原式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式的混合运算 2. 完全平方公式 3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，核心考查分式运算的基本法则，同时渗透整体代入的数学思想，无需解出未知数的具体取值，通过化简后整体代入可大大简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
对于这类已知方程求代数式值的题目，通常先化简目标代数式，避免直接代入求解未知数的复杂运算。第一步先处理分式的混合运算：先计算括号内的异分母分式加法，通分后合并，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解、约分得到最简结果，最后观察最简结果和已知方程的关系，利用整体代入的方法计算出最终值即可。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}(x + \frac{2x+1}{x}) ÷ \frac{x+1}{x^2} &= \frac{x^2 + 2x + 1}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= \frac{(x+1)^2}{x} · \frac{x^2}{x+1} \\&= x(x+1) \\&= x^2 + x\end{aligned}$
已知$x^2 + x - 2 = 0$，移项可得$x^2 + x = 2$。
将$x^2 + x = 2$代入化简后的代数式，得原式的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 分式的混合运算 2. 完全平方公式 3. 整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，核心考查分式运算的基本法则，同时渗透整体代入的数学思想，无需解出未知数的具体取值，通过化简后整体代入可大大简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
12. (★★)计算：
(1) $\frac{x-1}{x+2} ÷ \frac{x^2 -2x +1}{$
$} + \frac{1}{x-1}$；
(2) $\frac{3x+6}{x+1} - \frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x}$；
(3) $\frac{a+1}{a^2 -2a +1} ÷ (1 + \frac{2}{a-1})$；
(4) $(a+1 - \frac{4a-5}{$
$}) ÷ (\frac{1}{a} - \frac{1}{a^2 -a})$；
(1) $\frac{x-1}{x+2} ÷ \frac{x^2 -2x +1}{$
$} + \frac{1}{x-1}$；(2) $\frac{3x+6}{x+1} - \frac{x-1}{x} ÷ \frac{x^2 -1}{x^2 +2x}$；
(3) $\frac{a+1}{a^2 -2a +1} ÷ (1 + \frac{2}{a-1})$；
(4) $(a+1 - \frac{4a-5}{$
$}) ÷ (\frac{1}{a} - \frac{1}{a^2 -a})$；答案
解：
(1) 先对多项式因式分解：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x-1}{x+2}÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2+1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x=x(x+2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{3x+6-x-2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先对多项式因式分解：
$a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷(\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1})\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷\frac{a+1}{a-1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}·\frac{a-1}{a+1}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
(4) 先分别计算两个括号内的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{第一个括号：}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{第二个括号：}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
(1) 先对多项式因式分解：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x-1}{x+2}÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2+1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x=x(x+2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{3x+6-x-2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先对多项式因式分解：
$a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷(\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1})\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷\frac{a+1}{a-1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}·\frac{a-1}{a+1}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
(4) 先分别计算两个括号内的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{第一个括号：}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{第二个括号：}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，解题遵循通用思路：①明确运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；②遇到分式除法，先转化为乘以除数的倒数，将除法转为乘法运算；③对分子、分母中的多项式先因式分解，便于后续约分简化计算；④约分后，分式加减运算先通分再合并分子，最后将结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x-1}{x+2}÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2+1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x=x(x+2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{3x+6-x-2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先对多项式因式分解：$a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷(\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1})\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷\frac{a+1}{a-1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}·\frac{a-1}{a+1}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
(4) 先分别计算两个括号内的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{第一个括号：}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{第二个括号：}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{\dfrac{2x+4}{x+1}}$
(3) $\boxed{\dfrac{1}{a-1}}$
(4) $\boxed{a^2-2a}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分与通分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，核心考察分式运算法则和因式分解的应用，解题时优先约分再计算可大幅降低出错概率，需注意运算顺序的优先级和符号处理，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算类题目，解题遵循通用思路：①明确运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；②遇到分式除法，先转化为乘以除数的倒数，将除法转为乘法运算；③对分子、分母中的多项式先因式分解，便于后续约分简化计算；④约分后，分式加减运算先通分再合并分子，最后将结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x-1}{x+2}÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x+2}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{x-2+1}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x=x(x+2)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}÷\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x}·\frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}\\&=\frac{3x+6-x-2}{x+1}\\&=\frac{2x+4}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先对多项式因式分解：$a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷(\frac{a-1}{a-1}+\frac{2}{a-1})\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}÷\frac{a+1}{a-1}\\&=\frac{a+1}{(a-1)^2}·\frac{a-1}{a+1}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
(4) 先分别计算两个括号内的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{第一个括号：}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)-(4a-5)}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{第二个括号：}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{\dfrac{2x+4}{x+1}}$
(3) $\boxed{\dfrac{1}{a-1}}$
(4) $\boxed{a^2-2a}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分与通分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，核心考察分式运算法则和因式分解的应用，解题时优先约分再计算可大幅降低出错概率，需注意运算顺序的优先级和符号处理，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
