13. (★★)若$A=\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} ÷ ( \dfrac{a}{a - b} - 1 )$，请从小刚和小雪的对话中确定$a,b$的值，并对$A$进行化简求值.

解：
先化简$A$：
$\begin{aligned}A&=\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} ÷ ( \frac{a}{a-b} - 1 )\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2} ÷ ( \frac{a}{a-b} - \frac{a-b}{a-b} )\\&=\frac{a+b}{a-b} ÷ \frac{b}{a-b}\\&=\frac{a+b}{a-b} · \frac{a-b}{b}\\&=\frac{a+b}{b}\end{aligned}$
由题意得：
3的算术平方根为$\sqrt{3}$，因此$a=\sqrt{3}-2$。
因为$1＜b＜\sqrt{5}$，且$b$为整数，$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$b=2$。
验证：当$a=\sqrt{3}-2$，$b=2$时，$a-b≠0$，$b≠0$，分式有意义。
将$a=\sqrt{3}-2$，$b=2$代入$A=\frac{a+b}{b}$：
$A=\frac{(\sqrt{3}-2)+2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
最终结果：$A=\frac{\sqrt{3}}{2}$

14. (★★★)通过小学的学习,我们知道,
$\frac{8}{3}=\frac{6+2}{3}=2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}.$
类似地,在分式中,$\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2x+2+2}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}.$
(1)探索:若$\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,则$m=$;
若$\frac{3x-1}{x+1}=3+\frac{n}{x+1}$,则$n=$.
(2)总结:若$\frac{ax+b}{x-c}=a+\frac{d}{x-c}$(其中$a,b,c$为常数),求$d$的值.(用含$a,b,c$的代数式表示)
(3)应用:若代数式$\frac{2x-1}{x+1}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值.

解：
(1)
$\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3(x+1)+1}{x+1}=3+\frac{1}{x+1}$，得$m=1$；
$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-4}{x+1}=3+\frac{-4}{x+1}$，得$n=-4$。
(2)
$\frac{ax+b}{x-c}=\frac{a(x-c)+ac+b}{x-c}=a+\frac{ac+b}{x-c}$
对比$\frac{ax+b}{x-c}=a+\frac{d}{x-c}$，可得$d=ac+b$。
(3)
对代数式变形：
$\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$
∵代数式的值为整数，且$x$为整数，
∴$\frac{3}{x+1}$为整数，即$x+1$是3的整数因数。
3的整数因数为$\pm1,\pm3$：
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
答：满足条件的整数$x$的值为0，-2，2，-4。