登录
8.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序,排列正确的是（
A.③①④②
B.③②①④
C.③④①②
D.②④①③
C
）A.③①④②
B.③②①④
C.③④①②
D.②④①③
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先回忆北半球一天中太阳光下影子的变化规律：太阳东升西落，影子朝向与太阳方位相反，因此影子朝向的变化顺序为西→西北→北→东北→东；同时影子长度随时间变化规律为：清晨最长，之后逐渐变短，正午时最短，下午又逐渐变长，傍晚时再次变为最长。先确定最早和最晚的两个时刻的影子，再判断中间时刻的顺序即可得到结果。
【解析】
图中方位遵循上北下南、左西右东的规则：
1. 最早时刻：太阳刚从东边升起时，影子朝向正西且长度最长，对应图③，因此③排最前；
2. 最晚时刻：太阳即将从西边落下时，影子朝向正东且长度最长，对应图②，因此②排最后；
3. 中间时刻：影子从正西向正东转动的过程中，先经过偏西南的朝向（图④），再经过偏东南的朝向（图①），且图④的影子长度比图①更长，说明④的时间早于①。
综上，时间先后顺序为③④①②。
【答案】
C
【知识点】
平行投影的规律、方位判断
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的变化规律，解题核心是牢记北半球一天内影子的朝向、长度随时间的变化特点，也可结合日常观察到的影子变化辅助推导，难度较低，贴近生活。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆北半球一天中太阳光下影子的变化规律：太阳东升西落，影子朝向与太阳方位相反，因此影子朝向的变化顺序为西→西北→北→东北→东；同时影子长度随时间变化规律为：清晨最长，之后逐渐变短，正午时最短，下午又逐渐变长，傍晚时再次变为最长。先确定最早和最晚的两个时刻的影子，再判断中间时刻的顺序即可得到结果。
【解析】
图中方位遵循上北下南、左西右东的规则：
1. 最早时刻：太阳刚从东边升起时，影子朝向正西且长度最长，对应图③，因此③排最前；
2. 最晚时刻：太阳即将从西边落下时，影子朝向正东且长度最长，对应图②，因此②排最后；
3. 中间时刻：影子从正西向正东转动的过程中，先经过偏西南的朝向（图④），再经过偏东南的朝向（图①），且图④的影子长度比图①更长，说明④的时间早于①。
综上，时间先后顺序为③④①②。
【答案】
C
【知识点】
平行投影的规律、方位判断
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的变化规律，解题核心是牢记北半球一天内影子的朝向、长度随时间的变化特点，也可结合日常观察到的影子变化辅助推导，难度较低，贴近生活。
【难度系数】
0.7
9.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量学校旗杆AB的高度.他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=16米，斜坡坡面上的影长CD=10米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°角，求旗杆AB的高度.($\sqrt{3}\approx1.7$，结果精确到1米)
答案
9.解:过点 D 作 DE ⊥ BC 交 BC 的延长线于点 E,过点 E 作 EF // AD 交 AB 于点 F.在 Rt△CDE 中,CD=10,
∴DE=5,$CE=5\sqrt{3}$,
∴BE=16+5√3.
在 Rt△BFE 中,∠B=90°,
∠FEB=30°,BE=16+5√3,
∴$BF=BE· \tan∠ FEB=\frac{16\sqrt{3}}{3}+5$.
又可证四边形 AFED 为平行四边形,
∴$AB=AF+BF=5+\frac{16\sqrt{3}}{3}+5\approx19$(米).
即旗杆 AB 的高度约为 19 米.
解析
【分析】
本题是结合投影的实际测量问题，解题思路如下：首先，旗杆影子分为水平地面、斜坡两部分，无法直接计算旗杆高度，需要构造辅助线转化条件：①先处理斜坡上的影长CD，过D作DE垂直BC的延长线，解直角三角形CDE得到CD对应的竖直高度DE和水平长度CE；②利用太阳光线平行的特点，作EF平行于AD，可证四边形AFED是平行四边形，因此AF=DE，仅需要再求出BF的长度即可；③EF和水平地面的夹角等于太阳光线与地面的夹角30°，在Rt△BEF中利用三角函数求出BF，最后AB=AF+BF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过点E作EF//AD交AB于点F。
在Rt△CDE中，CD=10米，∠DCE=30°，
∴$DE=CD·\sin30°=10×\frac{1}{2}=5$米，$CE=CD·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$米，
∴$BE=BC+CE=16+5\sqrt{3}$米。
在Rt△BFE中，∠B=90°，∠FEB=30°，$BE=16+5\sqrt{3}$，
∴$BF=BE·\tan∠FEB=(16+5\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}+5$。
∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴AF//DE，又
∵EF//AD，
∴四边形AFED为平行四边形，
∴$AF=DE=5$米，
∴$AB=AF+BF=5+\frac{16\sqrt{3}}{3}+5\approx10+\frac{16×1.7}{3}\approx19$米。
【答案】
旗杆AB的高度约为19米。
【知识点】
解直角三角形应用、平行四边形的性质、投影的性质
【点评】
本题将实际测量问题与几何计算结合，解题核心是通过合理构造辅助线，把斜坡上的影长转化为可计算的几何量，同时利用平行四边形的性质转化边的关系，既考查了三角函数的实际应用，也考查了辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合投影的实际测量问题，解题思路如下：首先，旗杆影子分为水平地面、斜坡两部分，无法直接计算旗杆高度，需要构造辅助线转化条件：①先处理斜坡上的影长CD，过D作DE垂直BC的延长线，解直角三角形CDE得到CD对应的竖直高度DE和水平长度CE；②利用太阳光线平行的特点，作EF平行于AD，可证四边形AFED是平行四边形，因此AF=DE，仅需要再求出BF的长度即可；③EF和水平地面的夹角等于太阳光线与地面的夹角30°，在Rt△BEF中利用三角函数求出BF，最后AB=AF+BF，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过点E作EF//AD交AB于点F。
在Rt△CDE中，CD=10米，∠DCE=30°，
∴$DE=CD·\sin30°=10×\frac{1}{2}=5$米，$CE=CD·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$米，
∴$BE=BC+CE=16+5\sqrt{3}$米。
在Rt△BFE中，∠B=90°，∠FEB=30°，$BE=16+5\sqrt{3}$，
∴$BF=BE·\tan∠FEB=(16+5\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}+5$。
∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴AF//DE，又
∵EF//AD，
∴四边形AFED为平行四边形，
∴$AF=DE=5$米，
∴$AB=AF+BF=5+\frac{16\sqrt{3}}{3}+5\approx10+\frac{16×1.7}{3}\approx19$米。
【答案】
旗杆AB的高度约为19米。
【知识点】
解直角三角形应用、平行四边形的性质、投影的性质
【点评】
本题将实际测量问题与几何计算结合，解题核心是通过合理构造辅助线，把斜坡上的影长转化为可计算的几何量，同时利用平行四边形的性质转化边的关系，既考查了三角函数的实际应用，也考查了辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
10.某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图1，已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成$30°$夹角.
(1)求出树高AB.
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化.假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树的最大影长.(用图2解答)
(1)求出树高AB.
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化.假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树的最大影长.(用图2解答)
答案
10.解:(1)$AB=AC· \tan30°=12× \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$(米).
答:树高约为$4\sqrt{3}$米.
(2)如图,当树与地面成 60°角时影长最大为 $AC_2$(或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为 AB 的$\odot A$相切时影长最大),
$AC_2=2AB_2=8\sqrt{3}$米.
答:树的最大影长为 $8\sqrt{3}$米.
解析
【分析】
(1) 第一问可将树AB、地面AC、太阳光线BC看作直角三角形的三条边，其中∠BAC=90°，太阳光线与地面夹角为30°即∠C=30°，已知邻边AC的长度，要求对边AB，直接利用锐角三角函数中正切的定义即可求解。
(2) 第二问树倾倒的过程中，树的长度始终不变，因此树顶端B的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆。要使树的影长最大，需找到太阳光线与该圆相切的临界位置，此时构成的直角三角形中30°角所对直角边为树长，影长为斜边，利用直角三角形30°角的性质即可求出最大影长。
【解析】
(1) 由题意得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∠C=30°，AC=12米。
根据锐角三角函数定义：$\tan C=\frac{AB}{AC}$，代入数值计算得：
$AB=AC·\tan30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$（米）
(2) 树倾倒过程中长度不变，故顶端B的运动轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。当太阳光线与$\odot A$相切时，树的影长最大，此时树为$AB_2$，影长为$AC_2$，且$AB_2⊥ B_2C_2$。
在$Rt△ AB_2C_2$中，$∠ AC_2B_2=30°$，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$AC_2=2AB_2=2AB=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$（米）
【答案】
(1) 树高为$4\sqrt{3}$米；
(2)
树的最大影长为$8\sqrt{3}$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，切线的性质，平行投影
【点评】
本题结合投影的实际场景考查几何知识的应用，解题核心是明确树倾倒时端点的运动轨迹，找到影长最大的临界情况，能够有效考查学生对动态几何问题的分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问可将树AB、地面AC、太阳光线BC看作直角三角形的三条边，其中∠BAC=90°，太阳光线与地面夹角为30°即∠C=30°，已知邻边AC的长度，要求对边AB，直接利用锐角三角函数中正切的定义即可求解。
(2) 第二问树倾倒的过程中，树的长度始终不变，因此树顶端B的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆。要使树的影长最大，需找到太阳光线与该圆相切的临界位置，此时构成的直角三角形中30°角所对直角边为树长，影长为斜边，利用直角三角形30°角的性质即可求出最大影长。
【解析】
(1) 由题意得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∠C=30°，AC=12米。
根据锐角三角函数定义：$\tan C=\frac{AB}{AC}$，代入数值计算得：
$AB=AC·\tan30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$（米）
(2) 树倾倒过程中长度不变，故顶端B的运动轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。当太阳光线与$\odot A$相切时，树的影长最大，此时树为$AB_2$，影长为$AC_2$，且$AB_2⊥ B_2C_2$。
在$Rt△ AB_2C_2$中，$∠ AC_2B_2=30°$，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$AC_2=2AB_2=2AB=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$（米）
【答案】
(1) 树高为$4\sqrt{3}$米；
(2)
树的最大影长为$8\sqrt{3}$米。
【知识点】
解直角三角形的应用，切线的性质，平行投影
【点评】
本题结合投影的实际场景考查几何知识的应用，解题核心是明确树倾倒时端点的运动轨迹，找到影长最大的临界情况，能够有效考查学生对动态几何问题的分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
