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10. (★)(2025·安徽)下列方程有两个不相等的实数根的是 【 】
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此我们只需分别计算四个选项中方程的判别式，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，牢记判别式与根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到根的判别式。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此我们只需分别计算四个选项中方程的判别式，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×1 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，牢记判别式与根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
11. (★)如果关于x的一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么m的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m ＞ \dfrac{1}{8}}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们只需要先确定题中方程对应的$a、b、c$的值，代入$\Delta＜0$列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：在一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$。
$\because$ 该方程没有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入$a、b、c$的值得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
解得：$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【答案】
$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的三种对应关系是解题的关键，计算量小，掌握对应知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们只需要先确定题中方程对应的$a、b、c$的值，代入$\Delta＜0$列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：在一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$。
$\because$ 该方程没有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
代入$a、b、c$的值得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$8m ＞ 1$
解得：$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【答案】
$m ＞ \dfrac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判别式与方程根的三种对应关系是解题的关键，计算量小，掌握对应知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
12. (★★)若关于x的一元二次方程$kx^2 -2x +3=0$有两个实数根,则k的取值范围是.
答案
解：
∵ 方程$kx^2 -2x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ $k ≠ 0$。
又∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 · k · 3 ≥ 0$，
即$4 - 12k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k ≤ \frac{1}{3}且k ≠ 0}$。
∵ 方程$kx^2 -2x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ $k ≠ 0$。
又∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 · k · 3 ≥ 0$，
即$4 - 12k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$\boldsymbol{k ≤ \frac{1}{3}且k ≠ 0}$。
解析
【分析】
要解决本题，需同时满足两个核心条件：一是题目明确方程是一元二次方程，要符合一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ需大于等于0。我们先分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分就是最终的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$。
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4 · k · 3 ≥ 0$，
即$4 - 12k ≥ 0$，
移项化简解得$k ≤ \frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$。
【答案】
$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式求解导致结果出错，解题时要先确认方程类型的限制条件，再结合根的情况列式计算，考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需同时满足两个核心条件：一是题目明确方程是一元二次方程，要符合一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，判别式Δ需大于等于0。我们先分别求出两个条件下k的取值范围，再取公共部分就是最终的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 -2x +3=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数$k ≠ 0$。
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4 · k · 3 ≥ 0$，
即$4 - 12k ≥ 0$，
移项化简解得$k ≤ \frac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$。
【答案】
$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式求解导致结果出错，解题时要先确认方程类型的限制条件，再结合根的情况列式计算，考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
13. (★)方程$x^2 - x -1=0$的一个根是
【 】
A.$x=1-\sqrt{5}$
B.$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C.$x=-1+\sqrt{5}$
D.$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
【 】
A.$x=1-\sqrt{5}$
B.$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
C.$x=-1+\sqrt{5}$
D.$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题第一步先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的存在性，第三步代入求根公式计算根，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
对于方程$x^2 - x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，对比选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确记忆求根公式，同时要注意准确识别方程各项的系数符号，避免代入计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程的根，可采用公式法求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题第一步先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的存在性，第三步代入求根公式计算根，最后和选项比对即可得到答案。
【解析】
对于方程$x^2 - x -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，对比选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确记忆求根公式，同时要注意准确识别方程各项的系数符号，避免代入计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
14. (★★)关于$x$的一元二次方程$x^2 - px - q = 0$(方程有解)的两个根是 【 】
答案
解：在一元二次方程$x^2 - px - q = 0$中，
$a=1$，$b=-p$，$c=-q$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4×1×(-q) = p^2 + 4q$。
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-(-p)\pm\sqrt{p^2+4q}}{2×1}=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}$。
答案选$\boldsymbol{C}$。
$a=1$，$b=-p$，$c=-q$。
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4×1×(-q) = p^2 + 4q$。
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-(-p)\pm\sqrt{p^2+4q}}{2×1}=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}$。
答案选$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
要解决本题需运用一元二次方程求根公式，思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题干方程中对应确定系数$a、b、c$的取值，注意不要弄错系数的符号；其次计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，题干已说明方程有解，可直接代入计算；最后将系数代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简，对比选项即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - px - q = 0$，对应标准形式可得：
$a=1$，$b=-p$，$c=-q$
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4×1×(-q) = p^2 + 4q$
将$a、b、\Delta$代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-p)\pm\sqrt{p^2+4q}}{2×1}=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点考察学生对求根公式的掌握程度，解题的易错点在于提取系数时容易忽略符号，以及求根公式中$-b$的运算容易出错，计算时要重点关注符号问题。
【难度系数】
0.7
要解决本题需运用一元二次方程求根公式，思路如下：首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题干方程中对应确定系数$a、b、c$的取值，注意不要弄错系数的符号；其次计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，题干已说明方程有解，可直接代入计算；最后将系数代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简，对比选项即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - px - q = 0$，对应标准形式可得：
$a=1$，$b=-p$，$c=-q$
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4×1×(-q) = p^2 + 4q$
将$a、b、\Delta$代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-p)\pm\sqrt{p^2+4q}}{2×1}=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4q}}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式
3. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点考察学生对求根公式的掌握程度，解题的易错点在于提取系数时容易忽略符号，以及求根公式中$-b$的运算容易出错，计算时要重点关注符号问题。
【难度系数】
0.7
15. (★★)方程$2x^2 -6x -1=0$的负实数根为。
答案
解：
对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，
可得$a=2$，$b=-6$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6\pm\sqrt{44}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$，
因为$\sqrt{11}＞3$，所以$3+\sqrt{11}＞0$，$3-\sqrt{11}＜0$，
因此方程的负实数根为$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$。
对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，
可得$a=2$，$b=-6$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$，
由一元二次方程求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6\pm\sqrt{44}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$，
因为$\sqrt{11}＞3$，所以$3+\sqrt{11}＞0$，$3-\sqrt{11}＜0$，
因此方程的负实数根为$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$。
解析
【分析】
要求该一元二次方程的负实数根，首先需通过根的判别式判断方程是否有实数根；若有实根，再用求根公式求出两个根，最后判断根的正负，筛选出负的实数根即可。
【解析】
对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 36+8=44 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6\pm\sqrt{44}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$。
因为$\sqrt{11}＞3$，所以$3+\sqrt{11}＞0$，对应正根；$3-\sqrt{11}＜0$，对应负根。
【答案】
$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；实数大小比较
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题时需注意准确识别方程各项系数，避免符号运算错误，求出根后要结合题干要求筛选符合条件的根。
【难度系数】
0.7
要求该一元二次方程的负实数根，首先需通过根的判别式判断方程是否有实数根；若有实根，再用求根公式求出两个根，最后判断根的正负，筛选出负的实数根即可。
【解析】
对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-6$，常数项$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 36+8=44 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6\pm\sqrt{44}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$。
因为$\sqrt{11}＞3$，所以$3+\sqrt{11}＞0$，对应正根；$3-\sqrt{11}＜0$，对应负根。
【答案】
$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；实数大小比较
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题时需注意准确识别方程各项系数，避免符号运算错误，求出根后要结合题干要求筛选符合条件的根。
【难度系数】
0.7
16. (★★)用公式法解下列一元二次方程：
(1)$2x^2 - x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + 1.5 = -3x$；
(3)$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$；
(4)$(3y - 2)(y + 1) = -1$。
(1)$2x^2 - x + 1 = 0$；
(2)$x^2 + 1.5 = -3x$；
(3)$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$；
(4)$(3y - 2)(y + 1) = -1$。
答案
解：
(1) 对于方程$2x^2 - x + 1 = 0$，
$a=2$，$b=-1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(2) 将方程整理为一般形式：$x^2 + 3x + 1.5 = 0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1.5$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1.5 = 9 - 6 = 3 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$，
$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2} = 2 - 2 = 0$，
代入求根公式，得
$x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 将方程整理为一般形式：$3y^2 + y - 1 = 0$，
$a=3$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×3×(-1) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
(1) 对于方程$2x^2 - x + 1 = 0$，
$a=2$，$b=-1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(2) 将方程整理为一般形式：$x^2 + 3x + 1.5 = 0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1.5$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1.5 = 9 - 6 = 3 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$，
$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2} = 2 - 2 = 0$，
代入求根公式，得
$x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 将方程整理为一般形式：$3y^2 + y - 1 = 0$，
$a=3$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×3×(-1) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程已是一般形式可跳过该步；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上对应符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＜0$时方程无实数根，$\Delta≥0$时方程有实数根；④若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根即可。四个小题均按照该思路依次求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - x + 1 = 0$，
$a=2$，$b=-1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(2) 将方程整理为一般形式：$x^2 + 3x + 1.5 = 0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1.5$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1.5 = 9 - 6 = 3 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$，
$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2} = 2 - 2 = 0$，
代入求根公式，得
$x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 将方程左边展开并整理为一般形式：$3y^2 + y - 1 = 0$，
$a=3$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×3×(-1) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) 无实数根；
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$；
(3) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(4) $y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式解法的基础训练题，核心是掌握公式法解题的标准步骤，解题时需注意先将非一般形式的方程整理为一般形式，确定系数时要注意符号，计算判别式和求根时要保证运算准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程已是一般形式可跳过该步；②确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上对应符号；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＜0$时方程无实数根，$\Delta≥0$时方程有实数根；④若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根即可。四个小题均按照该思路依次求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - x + 1 = 0$，
$a=2$，$b=-1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
(2) 将方程整理为一般形式：$x^2 + 3x + 1.5 = 0$，
$a=1$，$b=3$，$c=1.5$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1.5 = 9 - 6 = 3 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$，
$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2} = 2 - 2 = 0$，
代入求根公式，得
$x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(4) 将方程左边展开并整理为一般形式：$3y^2 + y - 1 = 0$，
$a=3$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×3×(-1) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$，
$\therefore y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1) 无实数根；
(2) $x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$；
(3) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(4) $y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程公式解法的基础训练题，核心是掌握公式法解题的标准步骤，解题时需注意先将非一般形式的方程整理为一般形式，确定系数时要注意符号，计算判别式和求根时要保证运算准确，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
