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17. (★★★)在平面直角坐标系中,若直线$y=-x+m$不经过第一象限,则关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$的实数根的个数为【 】
A.0
B.1
C.2
D.1或2
A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案
D
解析
【分析】
首先根据一次函数的图像性质，由直线不经过第一象限求出m的取值范围，再分情况讨论方程的类型：当最高次项系数为0时，方程是一次方程，直接判断根的个数；当最高次项系数不为0时，方程是二次方程，用判别式判断根的个数，最终汇总结果即可。
【解析】
第一步：求m的取值范围
直线$y=-x+m$的斜率为$-1＜0$，若直线不经过第一象限，则其与y轴的交点在非正半轴，可得截距$m≤0$。
第二步：分情况讨论方程的实根个数
1. 当$m=0$时，方程化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，方程为一元二次方程，其中$a=m$，$b=1$，$c=1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4× m×1=1-4m$。
因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，因此$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质；一元二次方程根的判别式；含参方程分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略$m=0$的情况，直接将方程默认为二次方程计算，遇到最高次项系数含参数的方程时，要先分类讨论方程类型，再结合对应性质求解。
【难度系数】
0.6
首先根据一次函数的图像性质，由直线不经过第一象限求出m的取值范围，再分情况讨论方程的类型：当最高次项系数为0时，方程是一次方程，直接判断根的个数；当最高次项系数不为0时，方程是二次方程，用判别式判断根的个数，最终汇总结果即可。
【解析】
第一步：求m的取值范围
直线$y=-x+m$的斜率为$-1＜0$，若直线不经过第一象限，则其与y轴的交点在非正半轴，可得截距$m≤0$。
第二步：分情况讨论方程的实根个数
1. 当$m=0$时，方程化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，方程为一元二次方程，其中$a=m$，$b=1$，$c=1$，判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4× m×1=1-4m$。
因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，因此$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1或2。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质；一元二次方程根的判别式；含参方程分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略$m=0$的情况，直接将方程默认为二次方程计算，遇到最高次项系数含参数的方程时，要先分类讨论方程类型，再结合对应性质求解。
【难度系数】
0.6
18. (★★★)在等腰三角形ABC中,三边长分别为a,b,c,其中a=5.若关于x的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根,求△ABC的周长.
答案
解：
∵关于x的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
解得：$b_1=2$，$b_2=-10$。
∵b是三角形的边长，$b＞0$，
∴$b=2$。
∵△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为5时，三边长分别为5，5，2。
∵$2+5＞5$，满足三角形三边关系，
∴此时△ABC的周长为$5+5+2=12$。
② 当腰长为2时，三边长分别为2，2，5。
∵$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，△ABC的周长为12。
∵关于x的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
解得：$b_1=2$，$b_2=-10$。
∵b是三角形的边长，$b＞0$，
∴$b=2$。
∵△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为5时，三边长分别为5，5，2。
∵$2+5＞5$，满足三角形三边关系，
∴此时△ABC的周长为$5+5+2=12$。
② 当腰长为2时，三边长分别为2，2，5。
∵$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，△ABC的周长为12。
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据方程有两个相等的实数根，可知一元二次方程的判别式Δ=0，据此列方程求出b的可能取值；第二步，结合三角形边长为正数的要求，舍去不符合的负根，得到b的有效值；第三步，因为△ABC是等腰三角形，已知a=5，所以需要分腰长为a和腰长为b两种情况讨论；第四步，对每种情况的三边长用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合要求的再计算周长。
【解析】
∵关于x的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
解得：$b_1=2$，$b_2=-10$。
∵b是三角形的边长，$b＞0$，
∴$b=2$。
∵△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为5时，三边长分别为5，5，2。
∵$2+5＞5$，满足三角形三边关系，
∴此时△ABC的周长为$5+5+2=12$。
② 当腰长为2时，三边长分别为2，2，5。
∵$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意易错点：一是求得的边长要符合正数的要求，需舍去负根；二是等腰三角形未明确腰和底边时，要分类讨论所有可能的情况，且每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免错解。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据方程有两个相等的实数根，可知一元二次方程的判别式Δ=0，据此列方程求出b的可能取值；第二步，结合三角形边长为正数的要求，舍去不符合的负根，得到b的有效值；第三步，因为△ABC是等腰三角形，已知a=5，所以需要分腰长为a和腰长为b两种情况讨论；第四步，对每种情况的三边长用三角形三边关系验证是否能构成三角形，符合要求的再计算周长。
【解析】
∵关于x的方程$x^2+(b+2)x+6-b=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(b+2)^2 - 4×1×(6-b)=0$，
展开整理得：$b^2 + 8b - 20 = 0$，
解得：$b_1=2$，$b_2=-10$。
∵b是三角形的边长，$b＞0$，
∴$b=2$。
∵△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为5时，三边长分别为5，5，2。
∵$2+5＞5$，满足三角形三边关系，
∴此时△ABC的周长为$5+5+2=12$。
② 当腰长为2时，三边长分别为2，2，5。
∵$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意易错点：一是求得的边长要符合正数的要求，需舍去负根；二是等腰三角形未明确腰和底边时，要分类讨论所有可能的情况，且每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免错解。
【难度系数】
0.6
