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1. (★)把下列各式分解因式:
(1)$4x^2 - 1 =$;
(2)$x^2 - 6x + 9 =$;
(3)$3x^2 - 12x =$;
(4)$x(x + 2) + 3(x + 2) =$.
(1)$4x^2 - 1 =$;
(2)$x^2 - 6x + 9 =$;
(3)$3x^2 - 12x =$;
(4)$x(x + 2) + 3(x + 2) =$.
答案
解：
(1) 利用平方差公式分解：
$4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x+1)(2x-1)$
(2) 利用完全平方公式分解：
$x^2-6x+9=x^2-2· x· 3+3^2=(x-3)^2$
(3) 提取公因式$3x$：
$3x^2-12x=3x(x-4)$
(4) 提取公因式$(x+2)$：
$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$
(1) 利用平方差公式分解：
$4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x+1)(2x-1)$
(2) 利用完全平方公式分解：
$x^2-6x+9=x^2-2· x· 3+3^2=(x-3)^2$
(3) 提取公因式$3x$：
$3x^2-12x=3x(x-4)$
(4) 提取公因式$(x+2)$：
$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：首先观察多项式是否存在公因式，有公因式优先提取；再判断剩余部分是否符合平方差、完全平方等公式的结构特征，匹配对应公式分解；最后检查分解是否彻底。
各小题的思考方向：
(1) 原式为两项，可转化为两个整式的平方差形式，匹配平方差公式分解即可；
(2) 原式为三项，符合完全平方公式的结构特征，匹配完全平方公式分解即可；
(3) 原式两项含有公因式3x，直接提取公因式即可；
(4) 原式两项含有整体公因式(x+2)，将(x+2)看作整体提取公因式即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
$4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x+1)(2x-1)$
(2) 利用完全平方公式分解：
$x^2-6x+9=x^2-2·x·3+3^2=(x-3)^2$
(3) 提取公因式$3x$：
$3x^2-12x=3x(x-4)$
(4) 提取公因式$(x+2)$：
$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$
【答案】
(1)$(2x+1)(2x-1)$；(2)$(x-3)^2$；(3)$3x(x-4)$；(4)$(x+2)(x+3)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 平方差公式分解因式
3. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查因式分解基本方法的应用，解题的关键是准确识别式子的结构特征，熟练掌握各类因式分解方法的适用场景和公式的结构特点。
【难度系数】
0.9
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：首先观察多项式是否存在公因式，有公因式优先提取；再判断剩余部分是否符合平方差、完全平方等公式的结构特征，匹配对应公式分解；最后检查分解是否彻底。
各小题的思考方向：
(1) 原式为两项，可转化为两个整式的平方差形式，匹配平方差公式分解即可；
(2) 原式为三项，符合完全平方公式的结构特征，匹配完全平方公式分解即可；
(3) 原式两项含有公因式3x，直接提取公因式即可；
(4) 原式两项含有整体公因式(x+2)，将(x+2)看作整体提取公因式即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
$4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x+1)(2x-1)$
(2) 利用完全平方公式分解：
$x^2-6x+9=x^2-2·x·3+3^2=(x-3)^2$
(3) 提取公因式$3x$：
$3x^2-12x=3x(x-4)$
(4) 提取公因式$(x+2)$：
$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$
【答案】
(1)$(2x+1)(2x-1)$；(2)$(x-3)^2$；(3)$3x(x-4)$；(4)$(x+2)(x+3)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 平方差公式分解因式
3. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查因式分解基本方法的应用，解题的关键是准确识别式子的结构特征，熟练掌握各类因式分解方法的适用场景和公式的结构特点。
【难度系数】
0.9
2. (★)若实数$a,b$满足$ab=0$,则有$a=$或$b=$.
答案
解：根据实数乘法的零乘积性质，若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0，因此当$ab=0$时，有$a=0$或$b=0$。
答案依次为：$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{0}$
答案依次为：$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干给出的条件：两个实数a、b的乘积为0，此时需要回忆实数乘法的相关性质。我们已知0乘任意实数的结果都是0，因此当两个实数的乘积为0时，只要其中任意一个数为0，就能满足乘积为0的要求，顺着这个思路就能推出a、b的取值。
【解析】
根据实数乘法的零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0。
已知实数a、b满足$ab=0$，因此可推出$a=0$或$b=0$，两个空均填0。
【答案】
$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{0}$
【知识点】
零乘积性质；实数乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对实数乘法中零乘积规律的掌握情况，该性质是后续学习因式分解解方程等内容的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.95
解题时首先观察题干给出的条件：两个实数a、b的乘积为0，此时需要回忆实数乘法的相关性质。我们已知0乘任意实数的结果都是0，因此当两个实数的乘积为0时，只要其中任意一个数为0，就能满足乘积为0的要求，顺着这个思路就能推出a、b的取值。
【解析】
根据实数乘法的零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0。
已知实数a、b满足$ab=0$，因此可推出$a=0$或$b=0$，两个空均填0。
【答案】
$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{0}$
【知识点】
零乘积性质；实数乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对实数乘法中零乘积规律的掌握情况，该性质是后续学习因式分解解方程等内容的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.95
3. (★)解方程$2x - x^2 = 0$时，可以先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，即，再使这两个一次式分别等于0，即或，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
答案
解：
$x(2-x)=0$
$x=0$
$2-x=0$
$x(2-x)=0$
$x=0$
$2-x=0$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆因式分解法解一元二次方程的核心思路：先将方程整理为右边为0的形式，再把左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，把二次方程降为两个一次方程求解。本题中方程右边已经是0，只需对左边的$2x-x^2$提取公因式$x$，就能得到两个一次因式的乘积，再分别令两个一次因式为0即可。
【解析】
第一步：对原方程左边的多项式提取公因式$x$，可将方程变形为两个一次式乘积为0的形式：$x(2-x)=0$；
第二步：根据零乘积的性质，两个因式的乘积为0时，每个因式都可能为0，因此分别令两个一次式等于0，可得：$x=0$或$2-x=0$，即可实现将二次方程降为一次方程的目的。
【答案】
$x(2-x)=0$；$x=0$；$2-x=0$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础概念题，主要考察对因式分解法降次逻辑的理解，熟练掌握公因式提取和零乘积性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆因式分解法解一元二次方程的核心思路：先将方程整理为右边为0的形式，再把左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，把二次方程降为两个一次方程求解。本题中方程右边已经是0，只需对左边的$2x-x^2$提取公因式$x$，就能得到两个一次因式的乘积，再分别令两个一次因式为0即可。
【解析】
第一步：对原方程左边的多项式提取公因式$x$，可将方程变形为两个一次式乘积为0的形式：$x(2-x)=0$；
第二步：根据零乘积的性质，两个因式的乘积为0时，每个因式都可能为0，因此分别令两个一次式等于0，可得：$x=0$或$2-x=0$，即可实现将二次方程降为一次方程的目的。
【答案】
$x(2-x)=0$；$x=0$；$2-x=0$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础概念题，主要考察对因式分解法降次逻辑的理解，熟练掌握公因式提取和零乘积性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. (★) 、
适用于所有一元二次方程，
只在解某些一元二次
方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基
本思路是：先将二次方程化为两个
，即降次，再分别解两个
。
适用于所有一元二次方程，
只在解某些一元二次
方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基
本思路是：先将二次方程化为两个
，即降次，再分别解两个
。
答案
解：
依次填入：
配方法
公式法
都
直接开平方法、
因式分解法
一次式的乘积
等于0的形式
一元一次
方程
依次填入：
配方法
公式法
都
直接开平方法、
因式分解法
一次式的乘积
等于0的形式
一元一次
方程
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的常用解法及各自的适用范围，再结合解一元二次方程的核心思路（降次）对应填空即可：①先明确配方法、公式法是没有适用限制的通用解法，直接开平方法、因式分解法有适用前提，仅对部分方程简便；②再明确降次的具体操作是将二次方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最终转化为解一元一次方程。
【解析】
我们逐个分析空格对应的知识点：
1. 一元二次方程的通用解法为配方法和公式法，二者对所有一元二次方程都适用，因此前三个空依次填配方法、公式法、都；
2. 直接开平方法仅适用于可化为$(x+m)^2=n(n≥0)$形式的方程，因式分解法仅适用于可将方程整理为“左边是两个一次因式乘积、右边是0”的方程，二者仅在解部分一元二次方程时简便，因此接下来的空填直接开平方法、因式分解法；
3. 解一元二次方程的核心思路是降次：即将二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”的原理，分别解两个一元一次方程，因此剩余空依次填一次式的乘积、等于0的形式、一元一次、方程。
【答案】
配方法；公式法；都；直接开平方法、因式分解法；一次式的乘积；等于0的形式；一元一次；方程
【知识点】
一元二次方程的解法；解一元二次方程的基本思路
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕一元二次方程的解法分类、适用范围和核心求解思路设置，熟练掌握基础概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程的常用解法及各自的适用范围，再结合解一元二次方程的核心思路（降次）对应填空即可：①先明确配方法、公式法是没有适用限制的通用解法，直接开平方法、因式分解法有适用前提，仅对部分方程简便；②再明确降次的具体操作是将二次方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最终转化为解一元一次方程。
【解析】
我们逐个分析空格对应的知识点：
1. 一元二次方程的通用解法为配方法和公式法，二者对所有一元二次方程都适用，因此前三个空依次填配方法、公式法、都；
2. 直接开平方法仅适用于可化为$(x+m)^2=n(n≥0)$形式的方程，因式分解法仅适用于可将方程整理为“左边是两个一次因式乘积、右边是0”的方程，二者仅在解部分一元二次方程时简便，因此接下来的空填直接开平方法、因式分解法；
3. 解一元二次方程的核心思路是降次：即将二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”的原理，分别解两个一元一次方程，因此剩余空依次填一次式的乘积、等于0的形式、一元一次、方程。
【答案】
配方法；公式法；都；直接开平方法、因式分解法；一次式的乘积；等于0的形式；一元一次；方程
【知识点】
一元二次方程的解法；解一元二次方程的基本思路
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕一元二次方程的解法分类、适用范围和核心求解思路设置，熟练掌握基础概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
5. (★)方程$(x-1)(x+2)=0$的两根分别为
【 】
A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
【 】
A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题思路基于“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质。不需要将方程展开为一般形式，只需要分别令两个一次因式等于0，求解得到的两个一元一次方程的根就是原一元二次方程的两个根。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的依据：若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
已知$(x-1)(x+2)=0$，可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是熟练掌握因式分解法的适用条件和解题逻辑，注意不要混淆因式的常数项符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题思路基于“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质。不需要将方程展开为一般形式，只需要分别令两个一次因式等于0，求解得到的两个一元一次方程的根就是原一元二次方程的两个根。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的依据：若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。
已知$(x-1)(x+2)=0$，可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是熟练掌握因式分解法的适用条件和解题逻辑，注意不要混淆因式的常数项符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
6. (★)方程$x^2=2x$的解是 【 】
A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时需注意不可直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的解。正确思路为：先将方程移项，使等号右侧为0，再对左侧多项式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$x^2 - 2x = 0$
对左侧提取公因式x因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x - 2 = 0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，易错点是直接两边除以x造成丢根，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，解题时需注意不可直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的解。正确思路为：先将方程移项，使等号右侧为0，再对左侧多项式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$x^2 - 2x = 0$
对左侧提取公因式x因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x - 2 = 0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，易错点是直接两边除以x造成丢根，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. (★)方程$x-3+x(x-3)=0$的解是
【 】
A.$x=3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x=-1$
D.$x_1=3,x_2=-1$
【 】
A.$x=3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x=-1$
D.$x_1=3,x_2=-1$
答案
D
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的题目，观察方程左边的结构，两项都含有公因式$(x-3)$，因此优先选择因式分解法求解，无需将方程展开为一般式，能简化计算。解题思路为：第一步提取公因式$(x-3)$，将原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得到两个一元一次方程；第三步分别解这两个一次方程，即可得到原方程的两个解，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：原方程为 $x - 3 + x(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，可得：
$(x - 3)(1 + x) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x - 3 = 0$ 或 $1 + x = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x - 3 = 0$时，$x_1 = 3$；
当$1 + x = 0$时，$x_2 = -1$。
因此原方程的解为$x_1=3,x_2=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的解法，选择合适的解法（因式分解法）能大幅提升解题效率，解题时要注意提取公因式不要漏项，避免出现丢根的情况。
【难度系数】
0.8
这是一道求解一元二次方程的题目，观察方程左边的结构，两项都含有公因式$(x-3)$，因此优先选择因式分解法求解，无需将方程展开为一般式，能简化计算。解题思路为：第一步提取公因式$(x-3)$，将原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得到两个一元一次方程；第三步分别解这两个一次方程，即可得到原方程的两个解，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：原方程为 $x - 3 + x(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，可得：
$(x - 3)(1 + x) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x - 3 = 0$ 或 $1 + x = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x - 3 = 0$时，$x_1 = 3$；
当$1 + x = 0$时，$x_2 = -1$。
因此原方程的解为$x_1=3,x_2=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的解法，选择合适的解法（因式分解法）能大幅提升解题效率，解题时要注意提取公因式不要漏项，避免出现丢根的情况。
【难度系数】
0.8
8. (★)对于嘉嘉与淇淇两人解方程$6(x-1)=(x-1)^2$的过程,下列判断正确的是【 】
A.嘉嘉对,淇淇错
B.嘉嘉错,淇淇对
C.两人都对
D.两人都错
A.嘉嘉对,淇淇错
B.嘉嘉错,淇淇对
C.两人都对
D.两人都错
答案
D
解析
【分析】
判断两人解法是否正确需分两步：①分析嘉嘉的操作：等式两边同时除以含未知数的整式时，必须保证该整式不为0，否则会丢失根，嘉嘉未考虑x-1=0的情况直接除以(x-1)，做法错误；②分析淇淇的操作：移项步骤正确，但提取公因式后去括号时符号出错，导致求解结果错误，因此两人解法均错误。
【解析】
1. 分析嘉嘉的解法：
根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。嘉嘉直接将方程两边除以(x-1)，未考虑x-1=0的情况，丢失了x=1这个根，因此嘉嘉的解法错误。
2. 分析淇淇的解法：
移项得$6(x-1)-(x-1)^2=0$是正确的，提取公因式$(x-1)$后，原式应为$(x-1)[6-(x-1)]=0$，去括号得$(x-1)(7-x)=0$，解得$x_1=1,x_2=7$。淇淇去括号时未正确处理符号，错误将$6-(x-1)$化简为$6-x-1$，导致解出的$x_2=5$错误，因此淇淇的解法也错误。
综上两人的解法都错误。
【答案】
D
【知识点】
解一元二次方程，等式的性质，因式分解
【点评】
本题是解方程类易错题，提醒我们解含公因式的方程时，不要随意除以含未知数的整式避免丢根，去括号时要注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
判断两人解法是否正确需分两步：①分析嘉嘉的操作：等式两边同时除以含未知数的整式时，必须保证该整式不为0，否则会丢失根，嘉嘉未考虑x-1=0的情况直接除以(x-1)，做法错误；②分析淇淇的操作：移项步骤正确，但提取公因式后去括号时符号出错，导致求解结果错误，因此两人解法均错误。
【解析】
1. 分析嘉嘉的解法：
根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。嘉嘉直接将方程两边除以(x-1)，未考虑x-1=0的情况，丢失了x=1这个根，因此嘉嘉的解法错误。
2. 分析淇淇的解法：
移项得$6(x-1)-(x-1)^2=0$是正确的，提取公因式$(x-1)$后，原式应为$(x-1)[6-(x-1)]=0$，去括号得$(x-1)(7-x)=0$，解得$x_1=1,x_2=7$。淇淇去括号时未正确处理符号，错误将$6-(x-1)$化简为$6-x-1$，导致解出的$x_2=5$错误，因此淇淇的解法也错误。
综上两人的解法都错误。
【答案】
D
【知识点】
解一元二次方程，等式的性质，因式分解
【点评】
本题是解方程类易错题，提醒我们解含公因式的方程时，不要随意除以含未知数的整式避免丢根，去括号时要注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
