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10.已知$y=3xy+x$，求代数式$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}$的值。
答案
解:因为$y=3xy+x$,所以$x-y=-3xy$。
当$x-y=-3xy$时，
$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}=\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy}=\frac{2(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy}=\frac{3}{5}$。
当$x-y=-3xy$时，
$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}=\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy}=\frac{2(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy}=\frac{3}{5}$。
解析
【分析】
本题无法直接求出x、y的具体数值，因此采用整体代入的思路求解。首先对已知等式进行移项变形，得到x与y的差和xy的数量关系；再将所求代数式的分子、分母分别分组整理，凑出含有x-y的整体结构，最后将变形后的关系整体代入，约分化简即可得到结果，解题时需注意隐含条件xy≠0，保证分式有意义。
【解析】
解：由已知$y=3xy+x$，移项可得：$x - y = -3xy$（由题意可知$xy≠0$，否则原等式及所求分式无意义）。
将所求代数式变形，分子提取公因式2，分母整理得：
$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}=\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy}$
把$x-y=-3xy$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{2×(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy}=\frac{-6xy+3xy}{-5xy}=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，等式变形
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，无需单独求解x、y的取值，只需通过变形已知条件得到整体的对应关系，再代入所求代数式化简即可，解题的关键是对所求分式进行合理拆分，凑出与已知变形后一致的整体结构。
【难度系数】
0.65
本题无法直接求出x、y的具体数值，因此采用整体代入的思路求解。首先对已知等式进行移项变形，得到x与y的差和xy的数量关系；再将所求代数式的分子、分母分别分组整理，凑出含有x-y的整体结构，最后将变形后的关系整体代入，约分化简即可得到结果，解题时需注意隐含条件xy≠0，保证分式有意义。
【解析】
解：由已知$y=3xy+x$，移项可得：$x - y = -3xy$（由题意可知$xy≠0$，否则原等式及所求分式无意义）。
将所求代数式变形，分子提取公因式2，分母整理得：
$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}=\frac{2(x-y)+3xy}{(x-y)-2xy}$
把$x-y=-3xy$代入上式：
$\mathrm{原式}=\frac{2×(-3xy)+3xy}{-3xy-2xy}=\frac{-6xy+3xy}{-5xy}=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
整体代入求值，分式化简，等式变形
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，无需单独求解x、y的取值，只需通过变形已知条件得到整体的对应关系，再代入所求代数式化简即可，解题的关键是对所求分式进行合理拆分，凑出与已知变形后一致的整体结构。
【难度系数】
0.65
11. 下列分式中,哪些是最简分式,哪些不是最简分式?如果不是最简分式,请你将其化成最简分式。
(1)$\frac{1}{2ab}$；
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$；
(3)$\frac{m^2 - 2m + 1}{1 - m^2}$。
(1)$\frac{1}{2ab}$；
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$；
(3)$\frac{m^2 - 2m + 1}{1 - m^2}$。
答案
解:(1)$\frac{1}{2ab}$是最简分式。
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$不是最简分式,化简过程及结果如下：
$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}=-\frac{2a}{b^2c}$。
(3)$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}$不是最简分式,化简过程及结果如下：
$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}=\frac{(m-1)^2}{-(m+1)(m-1)}=-\frac{m-1}{m+1}$。
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$不是最简分式,化简过程及结果如下：
$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}=-\frac{2a}{b^2c}$。
(3)$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}$不是最简分式,化简过程及结果如下：
$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}=\frac{(m-1)^2}{-(m+1)(m-1)}=-\frac{m-1}{m+1}$。
解析
【分析】
解题前首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路如下：1. 先判断分式的分子、分母形式：若为单项式，直接找系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，确定是否存在公因式；若为多项式，先对分子、分母分别因式分解，再判断是否有公因式。2. 无公因式则为最简分式，有公因式的约去所有公因式，即可化为最简分式，约分时注意负号的处理。
【解析】
(1) 分式$\frac{1}{2ab}$的分子为1，分母为$2ab$，分子和分母不存在公因式，因此是最简分式。
(2) 分式$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$的分子、分母都是单项式，公因式为$5a^2bc$，存在公因式，因此不是最简分式。
化简：$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}=\frac{10a^3bc÷5a^2bc}{-5a^2b^3c^2÷5a^2bc}=-\frac{2a}{b^2c}$。
(3) 分式$\frac{m^2 - 2m + 1}{1 - m^2}$的分子、分母都是多项式，先因式分解：分子$m^2-2m+1=(m-1)^2$，分母$1-m^2=(1-m)(1+m)=-(m-1)(m+1)$，二者有公因式$(m-1)$，因此不是最简分式。
化简：$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}=\frac{(m-1)^2}{-(m+1)(m-1)}=-\frac{m-1}{m+1}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2ab}$是最简分式。
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$不是最简分式，化简结果为$-\frac{2a}{b^2c}$。
(3)$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}$不是最简分式，化简结果为$-\frac{m-1}{m+1}$。
【知识点】
最简分式的判定、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查对最简分式概念的理解和约分的基本方法，解题的易错点为：处理多项式形式的分子分母时未先因式分解直接约分，或者约分时忽略符号处理导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路如下：1. 先判断分式的分子、分母形式：若为单项式，直接找系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，确定是否存在公因式；若为多项式，先对分子、分母分别因式分解，再判断是否有公因式。2. 无公因式则为最简分式，有公因式的约去所有公因式，即可化为最简分式，约分时注意负号的处理。
【解析】
(1) 分式$\frac{1}{2ab}$的分子为1，分母为$2ab$，分子和分母不存在公因式，因此是最简分式。
(2) 分式$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$的分子、分母都是单项式，公因式为$5a^2bc$，存在公因式，因此不是最简分式。
化简：$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}=\frac{10a^3bc÷5a^2bc}{-5a^2b^3c^2÷5a^2bc}=-\frac{2a}{b^2c}$。
(3) 分式$\frac{m^2 - 2m + 1}{1 - m^2}$的分子、分母都是多项式，先因式分解：分子$m^2-2m+1=(m-1)^2$，分母$1-m^2=(1-m)(1+m)=-(m-1)(m+1)$，二者有公因式$(m-1)$，因此不是最简分式。
化简：$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}=\frac{(m-1)^2}{-(m+1)(m-1)}=-\frac{m-1}{m+1}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2ab}$是最简分式。
(2)$\frac{10a^3bc}{-5a^2b^3c^2}$不是最简分式，化简结果为$-\frac{2a}{b^2c}$。
(3)$\frac{m^2 -2m +1}{1 -m^2}$不是最简分式，化简结果为$-\frac{m-1}{m+1}$。
【知识点】
最简分式的判定、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查对最简分式概念的理解和约分的基本方法，解题的易错点为：处理多项式形式的分子分母时未先因式分解直接约分，或者约分时忽略符号处理导致结果错误。
【难度系数】
0.8
1.分式乘法、除法的法则是两个分式相乘，把
分子相乘
作为积的分子，把分母相乘
作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置
再与被除式相乘
。答案
1.分子相乘 分母相乘 颠倒位置 相乘
解析
【分析】
这道题属于基础识记类题型，考查分式乘除法的基本概念，解题时只需回忆课本中分式乘法、除法的法则原文，逐空对应填写即可。先回忆分式乘法法则内容确定前两个空，再回忆分式除法法则内容确定后两个空。
【解析】
根据分式乘除法的运算法则：
1. 分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的结果作为积的分子，把分母相乘的结果作为积的分母；
2. 分式除法法则：两个分式相除，相当于乘以除式的倒数，也就是把除式的分子和分母颠倒位置，再与被除式相乘。
按照上述法则对应填写空缺内容即可。
【答案】
分子相乘 分母相乘 颠倒位置 相乘
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题是对分式乘除基本运算法则的直接考查，属于基础概念题，牢记相关法则即可快速作答，掌握该知识点是后续进行分式复杂运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
这道题属于基础识记类题型，考查分式乘除法的基本概念，解题时只需回忆课本中分式乘法、除法的法则原文，逐空对应填写即可。先回忆分式乘法法则内容确定前两个空，再回忆分式除法法则内容确定后两个空。
【解析】
根据分式乘除法的运算法则：
1. 分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的结果作为积的分子，把分母相乘的结果作为积的分母；
2. 分式除法法则：两个分式相除，相当于乘以除式的倒数，也就是把除式的分子和分母颠倒位置，再与被除式相乘。
按照上述法则对应填写空缺内容即可。
【答案】
分子相乘 分母相乘 颠倒位置 相乘
【知识点】
分式乘法法则；分式除法法则
【点评】
本题是对分式乘除基本运算法则的直接考查，属于基础概念题，牢记相关法则即可快速作答，掌握该知识点是后续进行分式复杂运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
2.这一法则可以用式子表示为：
$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} =$
3.进行分式的乘法、除法运算时，结果应当是
$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} =$
$\frac{bd}{ac}$
，$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} =$ $\frac{bc}{ad}$
。3.进行分式的乘法、除法运算时，结果应当是
最简分式
或 整式
。答案
2.$\frac{bd}{ac}$ $\frac{bc}{ad}$
3.最简分式 整式
3.最简分式 整式
解析
【分析】
解决本题需要回忆分式乘除的运算法则及运算结果的规范要求：1. 对于分式乘法，直接按照“分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母”的规则计算即可；对于分式除法，先依据“除以一个数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法，再按乘法法则计算。2. 分式运算的最终结果需要约分至不能再约分，根据约分后是否保留分母可分为两类结果。
【解析】
2. 根据分式乘法法则：两个分式相乘，分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母，可得$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} = \frac{b× d}{a× c}=\frac{bd}{ac}$；
根据分式除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，可得$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a}× \frac{c}{d}=\frac{bc}{ad}$。
3. 进行分式乘除运算时，最终结果需要约分化简至分子和分母没有公因式，若化简后仍含有分母，则结果为最简分式；若化简后分母为1，则结果为整式，因此运算结果应当是最简分式或整式。
【答案】
2.$\frac{bd}{ac}$；$\frac{bc}{ad}$
3.最简分式；整式
【知识点】
1. 分式乘法法则
2. 分式除法法则
3. 分式运算化简要求
【点评】
本题属于分式运算的基础概念题，侧重对基础运算法则和结果规范的考查，是开展复杂分式混合运算的前提，需要熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.9
解决本题需要回忆分式乘除的运算法则及运算结果的规范要求：1. 对于分式乘法，直接按照“分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母”的规则计算即可；对于分式除法，先依据“除以一个数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法，再按乘法法则计算。2. 分式运算的最终结果需要约分至不能再约分，根据约分后是否保留分母可分为两类结果。
【解析】
2. 根据分式乘法法则：两个分式相乘，分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母，可得$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} = \frac{b× d}{a× c}=\frac{bd}{ac}$；
根据分式除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，可得$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a}× \frac{c}{d}=\frac{bc}{ad}$。
3. 进行分式乘除运算时，最终结果需要约分化简至分子和分母没有公因式，若化简后仍含有分母，则结果为最简分式；若化简后分母为1，则结果为整式，因此运算结果应当是最简分式或整式。
【答案】
2.$\frac{bd}{ac}$；$\frac{bc}{ad}$
3.最简分式；整式
【知识点】
1. 分式乘法法则
2. 分式除法法则
3. 分式运算化简要求
【点评】
本题属于分式运算的基础概念题，侧重对基础运算法则和结果规范的考查，是开展复杂分式混合运算的前提，需要熟练掌握相关规则。
【难度系数】
0.9
