登录
|变式训练2| 分式$\frac{x^2 -2x +1}{(x+2)(x^2 -1)}$是最简分式吗？若不是最简分式，请把它化为最简分式，并求出$x=2$时此分式的值。
答案
解:分式$\frac{x^2 -2x +1}{(x+2)(x^2 -1)}$不是最简分式。
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$,
当$x=2$时,原式$=\frac{2-1}{(2+2)(2+1)}=\frac{1}{12}$。
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$,
当$x=2$时,原式$=\frac{2-1}{(2+2)(2+1)}=\frac{1}{12}$。
解析
【分析】
要判断分式是否为最简分式，核心是看分子和分母是否存在除1外的公因式，解题按3步思考：第一步，分别对分子、分母因式分解；第二步，对比分子分母的因式，若有公因式则不是最简分式，约去公因式得到最简分式；第三步，代入x=2计算，先确认x=2可使原分式分母不为0，再代入最简式求值即可。
【解析】
解：该分式不是最简分式，化简及求值过程如下：
1. 因式分解分子：根据完全平方公式，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
2. 因式分解分母中的二次项：根据平方差公式，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则原分式可改写为：
$\frac{x^2 -2x +1}{(x+2)(x^2 -1)}=\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x+1)(x-1)}$
3. 约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$，否则原分式无意义），得最简分式：
$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$
4. 代入$x=2$计算：
将$x=2$代入最简分式，得$\frac{2-1}{(2+2)×(2+1)}=\frac{1}{4×3}=\frac{1}{12}$
【答案】
该分式不是最简分式，最简分式为$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$，当$x=2$时此分式的值为$\frac{1}{12}$。
【知识点】
最简分式判定，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式基础运算题，解题核心是熟练运用乘法公式对分子分母因式分解，约分后再代值计算可简化运算，注意代值前要确认所给的x的取值可使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
要判断分式是否为最简分式，核心是看分子和分母是否存在除1外的公因式，解题按3步思考：第一步，分别对分子、分母因式分解；第二步，对比分子分母的因式，若有公因式则不是最简分式，约去公因式得到最简分式；第三步，代入x=2计算，先确认x=2可使原分式分母不为0，再代入最简式求值即可。
【解析】
解：该分式不是最简分式，化简及求值过程如下：
1. 因式分解分子：根据完全平方公式，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
2. 因式分解分母中的二次项：根据平方差公式，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则原分式可改写为：
$\frac{x^2 -2x +1}{(x+2)(x^2 -1)}=\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x+1)(x-1)}$
3. 约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$，否则原分式无意义），得最简分式：
$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$
4. 代入$x=2$计算：
将$x=2$代入最简分式，得$\frac{2-1}{(2+2)×(2+1)}=\frac{1}{4×3}=\frac{1}{12}$
【答案】
该分式不是最简分式，最简分式为$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)}$，当$x=2$时此分式的值为$\frac{1}{12}$。
【知识点】
最简分式判定，因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式基础运算题，解题核心是熟练运用乘法公式对分子分母因式分解，约分后再代值计算可简化运算，注意代值前要确认所给的x的取值可使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
1. 下列分式的变形中,正确的是 (
A.$\frac{a^2 + b^2}{a + b} = a + b$
B.$\frac{-x + y}{x + y} = -1$
C.$\frac{a}{b} = \frac{am}{bm}$
D.$\frac{(n - m)^3}{(m - n)^2} = n - m$
D
)A.$\frac{a^2 + b^2}{a + b} = a + b$
B.$\frac{-x + y}{x + y} = -1$
C.$\frac{a}{b} = \frac{am}{bm}$
D.$\frac{(n - m)^3}{(m - n)^2} = n - m$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心是牢记分式的基本性质和约分规则：1.分式的分子、分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值才不变；2.约分的前提是分子、分母有公因式。我们只需逐个验证每个选项的变形是否符合规则即可，首先判断每个选项的分子分母有没有公因式，涉及乘除同一个整式的要注意是否有不为0的限制条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2+b^2$无法分解为$(a+b)^2$，分子和分母没有公因式$a+b$，不能直接约分，该变形错误；
B选项：分子$-x+y=-(x-y)$，分母为$x+y$，分子分母没有公因式，无法约分得到$-1$，该变形错误；
C选项：根据分式的基本性质，分子分母同乘$m$时，必须满足$m≠0$，选项未说明$m$不为0，变形不成立，该选项错误；
D选项：由平方的性质可得$(m-n)^2=(n-m)^2$，且$(m-n)^2$是分式的分母，必然不为0，因此分子分母同时除以公因式$(n-m)^2$，可得$\frac{(n - m)^3}{(m - n)^2}=\frac{(n - m)^3}{(n - m)^2}=n - m$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式变形的基础题，易错点有两个：一是忽略分式基本性质中“同乘或除的整式不能为0”的前提，误选C；二是对因式分解掌握不牢，随意对没有公因式的分子分母约分，误选A或B。解题时要注意逐个排查易错点，确保变形符合规则。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心是牢记分式的基本性质和约分规则：1.分式的分子、分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值才不变；2.约分的前提是分子、分母有公因式。我们只需逐个验证每个选项的变形是否符合规则即可，首先判断每个选项的分子分母有没有公因式，涉及乘除同一个整式的要注意是否有不为0的限制条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2+b^2$无法分解为$(a+b)^2$，分子和分母没有公因式$a+b$，不能直接约分，该变形错误；
B选项：分子$-x+y=-(x-y)$，分母为$x+y$，分子分母没有公因式，无法约分得到$-1$，该变形错误；
C选项：根据分式的基本性质，分子分母同乘$m$时，必须满足$m≠0$，选项未说明$m$不为0，变形不成立，该选项错误；
D选项：由平方的性质可得$(m-n)^2=(n-m)^2$，且$(m-n)^2$是分式的分母，必然不为0，因此分子分母同时除以公因式$(n-m)^2$，可得$\frac{(n - m)^3}{(m - n)^2}=\frac{(n - m)^3}{(n - m)^2}=n - m$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题是分式变形的基础题，易错点有两个：一是忽略分式基本性质中“同乘或除的整式不能为0”的前提，误选C；二是对因式分解掌握不牢，随意对没有公因式的分子分母约分，误选A或B。解题时要注意逐个排查易错点，确保变形符合规则。
【难度系数】
0.7
2.若把分式$\frac{3xy}{x-y}$（$x,y$均不为0）中的$x$和$y$都扩大3倍，则原分式的值（
A.扩大3倍
B.缩小至原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.缩小至原来的$\frac{1}{9}$
A
）A.扩大3倍
B.缩小至原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.缩小至原来的$\frac{1}{9}$
答案
2.A
解析
【分析】
解决这类分式值随变量变化的问题，思路分为三步：第一步，明确“x和y都扩大3倍”的含义，即把原式中的x替换为3x，y替换为3y；第二步，将替换后的变量代入原分式，通过计算、约分化简新的分式；第三步，把化简后的新分式和原分式对比，判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入可得新分式：
$\frac{3×(3x)×(3y)}{3x - 3y}$
先计算分子：$3×(3x)×(3y)=27xy$
再对分母提取公因式：$3x - 3y=3(x - y)$
因此新分式可化简为：
$\frac{27xy}{3(x - y)}=\frac{9xy}{x - y}$
原分式为$\frac{3xy}{x - y}$，对比可得：$\frac{9xy}{x - y}=3×\frac{3xy}{x - y}$，即新分式的值是原分式值的3倍，也就是原分式的值扩大3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用，解题核心是准确替换扩大后的变量，再通过约分化简新分式，计算时要注意分子中多个变量都扩大倍数时不要漏乘，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
解决这类分式值随变量变化的问题，思路分为三步：第一步，明确“x和y都扩大3倍”的含义，即把原式中的x替换为3x，y替换为3y；第二步，将替换后的变量代入原分式，通过计算、约分化简新的分式；第三步，把化简后的新分式和原分式对比，判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入可得新分式：
$\frac{3×(3x)×(3y)}{3x - 3y}$
先计算分子：$3×(3x)×(3y)=27xy$
再对分母提取公因式：$3x - 3y=3(x - y)$
因此新分式可化简为：
$\frac{27xy}{3(x - y)}=\frac{9xy}{x - y}$
原分式为$\frac{3xy}{x - y}$，对比可得：$\frac{9xy}{x - y}=3×\frac{3xy}{x - y}$，即新分式的值是原分式值的3倍，也就是原分式的值扩大3倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的典型基础应用，解题核心是准确替换扩大后的变量，再通过约分化简新分式，计算时要注意分子中多个变量都扩大倍数时不要漏乘，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
3.化简$\frac{x^2 -1}{1 -x}$的结果是（
A.$x-1$
B.$-x+1$
C.$x+1$
D.$-x-1$
D
）A.$x-1$
B.$-x+1$
C.$x+1$
D.$-x-1$
答案
3.D
解析
【分析】
要化简该分式，需遵循分式化简的常规思路：先对分子、分母因式分解，再约去公因式得到结果。首先观察分子$x^2-1$，符合平方差公式的结构，可以分解为$(x+1)(x-1)$；再看分母$1-x$，和分子中的因式$x-1$互为相反数，可将分母变形为$-(x-1)$，之后约去公因式即可，注意约分的前提是公因式不为0，即$x≠1$。
【解析】
解：第一步，利用平方差公式分解分子：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
第二步，对分母做符号变形：
$1-x=-(x-1)$
将上述变形代入原式，可得：
$\frac{x^2 -1}{1 -x}=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}$
根据分式有意义的条件，$1-x≠0$即$x≠1$，因此可以约去公因式$(x-1)$，计算得：
原式$=-(x+1)=-x-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；分式约分；符号变形
【点评】
本题是分式化简的基础题，主要考查因式分解的运用和分式约分时的符号处理，易错点是将$1-x$与$x-1$约分时遗漏负号，解题时要注意互为相反数的两个整式约分后需保留负号。
【难度系数】
0.7
要化简该分式，需遵循分式化简的常规思路：先对分子、分母因式分解，再约去公因式得到结果。首先观察分子$x^2-1$，符合平方差公式的结构，可以分解为$(x+1)(x-1)$；再看分母$1-x$，和分子中的因式$x-1$互为相反数，可将分母变形为$-(x-1)$，之后约去公因式即可，注意约分的前提是公因式不为0，即$x≠1$。
【解析】
解：第一步，利用平方差公式分解分子：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
第二步，对分母做符号变形：
$1-x=-(x-1)$
将上述变形代入原式，可得：
$\frac{x^2 -1}{1 -x}=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}$
根据分式有意义的条件，$1-x≠0$即$x≠1$，因此可以约去公因式$(x-1)$，计算得：
原式$=-(x+1)=-x-1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；分式约分；符号变形
【点评】
本题是分式化简的基础题，主要考查因式分解的运用和分式约分时的符号处理，易错点是将$1-x$与$x-1$约分时遗漏负号，解题时要注意互为相反数的两个整式约分后需保留负号。
【难度系数】
0.7
4. 在分式$\frac{b}{8a}$，$\frac{a+b}{a-b}$，$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$，$\frac{x+y}{x^2 + 2xy + y^2}$中，最简分式有
2
个。答案
4.2
解析
【分析】
首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需对四个分式逐一分析，先将各分式的分子、分母能因式分解的先因式分解，再判断是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，最后统计最简分式的总个数即可。
【解析】
根据最简分式的定义逐个判断：
1. 分式$\frac{b}{8a}$：分子为$b$，分母为$8a$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
2. 分式$\frac{a+b}{a-b}$：分子为$a+b$，分母为$a-b$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
3. 分式$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$：对分母因式分解得$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分子分母存在公因式$x-y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不属于最简分式；
4. 分式$\frac{x+y}{x^2 + 2xy + y^2}$：对分母因式分解得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，分子分母存在公因式$x+y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不属于最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题核心是掌握最简分式的定义，熟练运用因式分解的方法查找分子分母的公因式，注意判断前要先完成分子分母的因式分解，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.7
首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需对四个分式逐一分析，先将各分式的分子、分母能因式分解的先因式分解，再判断是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，最后统计最简分式的总个数即可。
【解析】
根据最简分式的定义逐个判断：
1. 分式$\frac{b}{8a}$：分子为$b$，分母为$8a$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
2. 分式$\frac{a+b}{a-b}$：分子为$a+b$，分母为$a-b$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
3. 分式$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$：对分母因式分解得$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分子分母存在公因式$x-y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不属于最简分式；
4. 分式$\frac{x+y}{x^2 + 2xy + y^2}$：对分母因式分解得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，分子分母存在公因式$x+y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不属于最简分式。
综上，最简分式共有2个。
【答案】
2
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题核心是掌握最简分式的定义，熟练运用因式分解的方法查找分子分母的公因式，注意判断前要先完成分子分母的因式分解，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.7
5. 在①$\frac{x+2}{x^2+4}$，②$\frac{x-2}{x^2-4}$，③$\frac{2x}{4x+4}$，④$\frac{4}{x+4}$中，属于最简分式的是
①④
（填序号）。答案
5.①④
解析
【分析】
要判断哪些是最简分式，首先明确最简分式的判定标准：分式的分子和分母没有非零次的公因式即为最简分式。解题时需逐个对4个分式的分子、分母进行因式分解，再检查是否存在公因式，有公因式的就不是最简分式，无公因式的就是最简分式。
【解析】
我们逐个分析四个分式：
1. 对①$\frac{x+2}{x^2+4}$：分母$x^2+4$无法因式分解，分子为$x+2$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
2. 对②$\frac{x-2}{x^2-4}$：利用平方差公式分解分母得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，分子为$x-2$，分子分母有公因式$x-2$，可约分为$\frac{1}{x+2}$，不属于最简分式；
3. 对③$\frac{2x}{4x+4}$：提取公因式分解分母得$4x+4=4(x+1)$，分子为$2x$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{x}{2x+2}$，不属于最简分式；
4. 对④$\frac{4}{x+4}$：分子为常数4，分母为$x+4$，二者没有公因式，属于最简分式。
综上，属于最简分式的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，核心是熟练掌握最简分式的定义，准确对分子分母进行因式分解排查公因式，是分式相关概念的基础应用题型，掌握基础概念和因式分解的常用方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是最简分式，首先明确最简分式的判定标准：分式的分子和分母没有非零次的公因式即为最简分式。解题时需逐个对4个分式的分子、分母进行因式分解，再检查是否存在公因式，有公因式的就不是最简分式，无公因式的就是最简分式。
【解析】
我们逐个分析四个分式：
1. 对①$\frac{x+2}{x^2+4}$：分母$x^2+4$无法因式分解，分子为$x+2$，分子和分母没有公因式，属于最简分式；
2. 对②$\frac{x-2}{x^2-4}$：利用平方差公式分解分母得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，分子为$x-2$，分子分母有公因式$x-2$，可约分为$\frac{1}{x+2}$，不属于最简分式；
3. 对③$\frac{2x}{4x+4}$：提取公因式分解分母得$4x+4=4(x+1)$，分子为$2x$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{x}{2x+2}$，不属于最简分式；
4. 对④$\frac{4}{x+4}$：分子为常数4，分母为$x+4$，二者没有公因式，属于最简分式。
综上，属于最简分式的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，核心是熟练掌握最简分式的定义，准确对分子分母进行因式分解排查公因式，是分式相关概念的基础应用题型，掌握基础概念和因式分解的常用方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.约分：$\frac{35a^2b^2}{15a^3b}=$
$\frac{7b}{3a}$
。答案
6.$\frac{7b}{3a}$
解析
【分析】
要对分式进行约分，首先明确约分的依据是分式的基本性质，解题思路可分为三步：第一步找分子、分母系数的最大公约数，第二步找分子、分母中相同字母的最低次幂，第三步将两部分组合得到公因式，最后分子分母同时除以公因式即可得到最简分式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：分子系数为35，分母系数为15，二者的最大公约数是5；
2. 确定相同字母的最低次幂：分子分母共有的字母为a和b，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b$；
3. 得到公因式为$5a^2b$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的$5a^2b$：
$\frac{35a^2b^2}{15a^3b}=\frac{35a^2b^2÷5a^2b}{15a^3b÷5a^2b}=\frac{7b}{3a}$
【答案】
$\frac{7b}{3a}$
【知识点】
1. 分式约分
2. 公因式的确定
3. 分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察约分的操作方法，只要熟练掌握公因式的确定规则，结合分式基本性质即可顺利求解，是后续学习分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
要对分式进行约分，首先明确约分的依据是分式的基本性质，解题思路可分为三步：第一步找分子、分母系数的最大公约数，第二步找分子、分母中相同字母的最低次幂，第三步将两部分组合得到公因式，最后分子分母同时除以公因式即可得到最简分式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：分子系数为35，分母系数为15，二者的最大公约数是5；
2. 确定相同字母的最低次幂：分子分母共有的字母为a和b，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b$；
3. 得到公因式为$5a^2b$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的$5a^2b$：
$\frac{35a^2b^2}{15a^3b}=\frac{35a^2b^2÷5a^2b}{15a^3b÷5a^2b}=\frac{7b}{3a}$
【答案】
$\frac{7b}{3a}$
【知识点】
1. 分式约分
2. 公因式的确定
3. 分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察约分的操作方法，只要熟练掌握公因式的确定规则，结合分式基本性质即可顺利求解，是后续学习分式四则运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
7.化简：$\dfrac{2a - 6}{a^2 - 6a + 9} =$
$\frac{2}{a-3}$
。答案
7.$\frac{2}{a-3}$
解析
【分析】
本题是分式化简题，遵循分式化简的常规思路求解：第一步先分别对分子、分母进行因式分解，第二步找出分子分母的公因式，第三步约去公因式得到最简分式。首先观察分子是一次二项式，可通过提取公因式分解；观察分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，可用完全平方公式分解，再约分即可得到结果。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$2a - 6 = 2(a - 3)$
分母：$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$（利用完全平方公式）
将分解结果代入原式：
$\dfrac{2a - 6}{a^2 - 6a + 9} = \dfrac{2(a - 3)}{(a - 3)^2}$
当$a ≠ 3$时，约去分子分母的公因式$(a - 3)$，可得：
原式$= \dfrac{2}{a - 3}$
【答案】
$\dfrac{2}{a-3}$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解的应用和分式约分的规则，解题的关键是准确识别分母的完全平方结构，正确分解分子分母，约分时要保证所约的公因式不为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简题，遵循分式化简的常规思路求解：第一步先分别对分子、分母进行因式分解，第二步找出分子分母的公因式，第三步约去公因式得到最简分式。首先观察分子是一次二项式，可通过提取公因式分解；观察分母是二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，可用完全平方公式分解，再约分即可得到结果。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$2a - 6 = 2(a - 3)$
分母：$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$（利用完全平方公式）
将分解结果代入原式：
$\dfrac{2a - 6}{a^2 - 6a + 9} = \dfrac{2(a - 3)}{(a - 3)^2}$
当$a ≠ 3$时，约去分子分母的公因式$(a - 3)$，可得：
原式$= \dfrac{2}{a - 3}$
【答案】
$\dfrac{2}{a-3}$
【知识点】
因式分解；完全平方公式；分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解的应用和分式约分的规则，解题的关键是准确识别分母的完全平方结构，正确分解分子分母，约分时要保证所约的公因式不为0。
【难度系数】
0.8
8.下列分式中,不属于最简分式的,请在横线上写出化简后的结果;属于最简分式的,请在横线上打“√”。
(1)$\frac{4}{2x}$;
(2)$\frac{2x}{x^2+1}$;
(3)$\frac{x-1}{x^2-1}$;
(4)$\frac{1-x}{x-1}$;
(5)$\frac{a^2+b^2}{a+b}$。
(1)$\frac{4}{2x}$;
$\frac{2}{x}$
(2)$\frac{2x}{x^2+1}$;
√
(3)$\frac{x-1}{x^2-1}$;
$\frac{1}{x+1}$
(4)$\frac{1-x}{x-1}$;
-1
(5)$\frac{a^2+b^2}{a+b}$。
√
答案
8.(1)$\frac{2}{x}$ (2)√ (3)$\frac{1}{x+1}$ (4)-1 (5)√
解析
【分析】
首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析每个分式的分子、分母是否存在公因式：若存在公因式，就根据分式的基本性质约去公因式得到化简结果；若不存在公因式，则该分式是最简分式，直接打√即可。
【解析】
(1) 分式$\frac{4}{2x}$的分子和分母有公因式2，根据分式的基本性质，分子分母同时除以2，得$\frac{4÷2}{2x÷2}=\frac{2}{x}$。
(2) 分式$\frac{2x}{x^2+1}$的分母$x^2+1$无法因式分解，分子$2x$与分母$x^2+1$没有公因式，属于最简分式。
(3) 先对分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子和分母有公因式$x-1$（$x≠1$，原分式有意义的前提下），约去公因式得$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1}$。
(4) 变形分子得$1-x=-(x-1)$，分子和分母有公因式$x-1$（$x≠1$），约去公因式得$\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$。
(5) 分子$a^2+b^2$无法因式分解，和分母$a+b$没有公因式，属于最简分式。
【答案】
(1)$\frac{2}{x}$ (2)√ (3)$\frac{1}{x+1}$ (4)-1 (5)√
【知识点】
最简分式的判断，分式的约分，因式分解
【点评】
本题核心考查最简分式的判定方法和分式约分的规则，解题的关键是先对分子、分母进行因式分解，再判断是否有公因式，约分过程中要注意符号变化和分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析每个分式的分子、分母是否存在公因式：若存在公因式，就根据分式的基本性质约去公因式得到化简结果；若不存在公因式，则该分式是最简分式，直接打√即可。
【解析】
(1) 分式$\frac{4}{2x}$的分子和分母有公因式2，根据分式的基本性质，分子分母同时除以2，得$\frac{4÷2}{2x÷2}=\frac{2}{x}$。
(2) 分式$\frac{2x}{x^2+1}$的分母$x^2+1$无法因式分解，分子$2x$与分母$x^2+1$没有公因式，属于最简分式。
(3) 先对分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子和分母有公因式$x-1$（$x≠1$，原分式有意义的前提下），约去公因式得$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1}$。
(4) 变形分子得$1-x=-(x-1)$，分子和分母有公因式$x-1$（$x≠1$），约去公因式得$\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$。
(5) 分子$a^2+b^2$无法因式分解，和分母$a+b$没有公因式，属于最简分式。
【答案】
(1)$\frac{2}{x}$ (2)√ (3)$\frac{1}{x+1}$ (4)-1 (5)√
【知识点】
最简分式的判断，分式的约分，因式分解
【点评】
本题核心考查最简分式的判定方法和分式约分的规则，解题的关键是先对分子、分母进行因式分解，再判断是否有公因式，约分过程中要注意符号变化和分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
9.先化简,再求值:
$\frac{a^3 -4ab^2}{a^3 -4a^2b +4ab^2},$其中$a=2,b=-\frac{1}{2}$。
$\frac{a^3 -4ab^2}{a^3 -4a^2b +4ab^2},$其中$a=2,b=-\frac{1}{2}$。
答案
解:原式$=\frac{a(a^2 -4b^2)}{a(a^2 -4ab +4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}$
$=\frac{a+2b}{a-2b}$,
当$a=2,b=-\frac{1}{2}$时,原式$=\frac{2+2×(-\frac{1}{2})}{2-2×(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$。
$=\frac{a+2b}{a-2b}$,
当$a=2,b=-\frac{1}{2}$时,原式$=\frac{2+2×(-\frac{1}{2})}{2-2×(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先对分式的分子、分母分别因式分解，先提取公因式$a$，再观察剩余部分的结构，分子剩余的$a^2-4b^2$符合平方差公式特征，分母剩余的$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方公式特征；接着对分解后的分式约分，约去分子分母的公因式，得到最简分式；最后将$a$、$b$的数值代入最简分式计算，代入时注意符号不要出错，同时要保证原分式分母不为0。
【解析】
先对原式因式分解并约分：
原式$=\frac{a(a^2 -4b^2)}{a(a^2 -4ab +4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2,b=-\frac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\frac{2+2×(-\frac{1}{2})}{2-2×(-\frac{1}{2})}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式的化简运算能力，解题的关键是熟练运用提公因式法、公式法对分子分母正确分解，约分时注意公因式不能为0，代入数值计算时要格外注意符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先对分式的分子、分母分别因式分解，先提取公因式$a$，再观察剩余部分的结构，分子剩余的$a^2-4b^2$符合平方差公式特征，分母剩余的$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方公式特征；接着对分解后的分式约分，约去分子分母的公因式，得到最简分式；最后将$a$、$b$的数值代入最简分式计算，代入时注意符号不要出错，同时要保证原分式分母不为0。
【解析】
先对原式因式分解并约分：
原式$=\frac{a(a^2 -4b^2)}{a(a^2 -4ab +4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=2,b=-\frac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\frac{2+2×(-\frac{1}{2})}{2-2×(-\frac{1}{2})}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式的化简运算能力，解题的关键是熟练运用提公因式法、公式法对分子分母正确分解，约分时注意公因式不能为0，代入数值计算时要格外注意符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
