知识点一 分式的基本性质
1.分式的分子与分母都同一个的,分式的值。
2.分式的基本性质可以用式子表示为。

1. 乘(或除以) 不等于零 整式 不变
2. $\frac{b}{a}=\frac{b· m}{a· m},\frac{b}{a}=\frac{b÷ m}{a÷ m}(m≠0)$

【分析】
本题考查分式基本性质的基础识记，解题思路如下：1.回忆分式基本性质的文字表述：要注意运算类型只能是乘或除以，且运算的对象必须是不为0的整式，避免分母为0导致分式无意义，满足这些条件时分式的值保持不变；2.将文字性质转化为字母式子表示时，要特别标注乘除的整式m≠0的前提条件，保证等式两边的分式都有意义。
【解析】
1. 根据分式基本性质的文字定义：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，依次填入对应内容即可。
2. 用字母表示该性质时，设原分式为$\frac{b}{a}$（$a≠0$），分子分母同时乘或除以的整式为m，需满足$m≠0$，因此可写为$\frac{b}{a}=\frac{b· m}{a· m}$，$\frac{b}{a}=\frac{b÷ m}{a÷ m}(m≠0)$。
【答案】
1. 乘(或除以) 不等于零 整式 不变
2. $\frac{b}{a}=\frac{b· m}{a· m},\frac{b}{a}=\frac{b÷ m}{a÷ m}(m≠0)$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，是分式运算的核心基础，需要准确记忆性质的限制条件（乘除的整式不为0），避免后续分式化简运算时出错。
【难度系数】
0.9

知识点二 约分
把一个分式的分子和分母的
约去，这种变形称为分式的约分。

公因式

【分析】
这道题考查分式约分的基础定义，属于识记类基础题型，解题时只需要回忆教材中关于分式约分的概念内容，直接对应定义的空缺部分填写即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据分式约分的定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，因此空缺处应填写公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
分式约分的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对课本基础定义的记忆掌握，牢记教材核心概念是快速解答这类题目的核心。
【难度系数】
0.9

知识点三 最简分式
1.当分式的分子和分母，这样的分式称为分式。
2.化简分式时，通常要使结果成为或。

1. 没有公因式 最简
2. 最简分式 整式

【分析】
这道题考查最简分式的相关基础概念，解题时只需回忆对应定义和分式化简的要求即可作答。第1小问对应最简分式的定义：判断最简分式的核心依据是分子与分母是否存在除1外的公因式，若没有公因式就符合最简分式的要求。第2小问对应分式化简的最终要求：化简分式时必须保证结果不能再约分，若约分后仍保留分母，结果为最简分式；若分母可全部约去，结果就为整式。
【解析】
1. 根据最简分式的定义，当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，因此两个空依次填“没有公因式”“最简”。
2. 分式化简的结果需要达到最简形式，若约分后仍含有分母，结果为最简分式；若约分后不含分母，结果为整式，因此两个空依次填“最简分式”“整式”。
【答案】
1. 没有公因式 最简
2. 最简分式 整式
【知识点】
1. 最简分式的定义
2. 分式化简要求
【点评】
本题是对分式基础概念的直接考查，属于识记类题目，是后续学习分式约分、四则运算的基础，需要熟练掌握相关概念。
【难度系数】
0.9

例1 在括号内填入适当的单项式，使等式成立：$\frac{1}{xy}=\frac{(\quad)}{2xy^2}$。
[点拨] 对于这类填空题，解题关键是观察分母(或分子)的变化：看括号处所在的分母(或分子)与原分母(或分子)相比，乘了什么整式(或除以了什么公因式)，然后对原分子(或分母)进行相同的乘法(或除法)运算，即可得出应填的单项式。注意系数与字母指数要分别计算准确。
[解] $\frac{1}{xy}=\frac{(2y)}{2xy^2}$。

解：观察等式两边的分母，右边的分母$2xy^2$是由左边分式的分母$xy$乘$2y$得到的。
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变，
将左边的分子1也乘$2y$，可得$1× 2y=2y$。
因此括号内应填入的单项式是$2y$。

【分析】
这是利用分式基本性质求解的分式变形题，解题思路如下：第一步先观察等式两边分式的分母，对比右侧分母$2xy^2$和左侧分母$xy$，找到右侧分母相对左侧分母乘的整式；第二步依据分式的基本性质，给左侧的分子也乘同一个整式，计算后即可得到括号内应填的单项式，计算时要分别核对系数和字母的指数，避免出错。
【解析】
观察等式两边的分母，右边的分母$2xy^2$是由左边分式的分母$xy$乘$2y$得到的。
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变，
将左边的分子1也乘$2y$，可得$1× 2y=2y$。
因此括号内应填入的单项式是$2y$。
【答案】
$2y$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.单项式乘法运算
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心考查对分式基本性质的理解和应用，解题的关键是准确找到分子或分母的变化规律，熟练掌握这类题型可为后续分式通分、约分的学习打好基础。
【难度系数】
0.9

| 变式训练1 | 若把分式$\frac{xy}{x-y}$中的x，y都扩大5倍，则分式的值。

扩大5倍

【分析】
要判断x、y都扩大5倍后分式的值的变化情况，解题思路为：第一步，把原分式中的x替换为5x、y替换为5y，得到变化后的新分式；第二步，利用分式的运算规则化简新分式；第三步，将化简后的结果和原分式对比，即可得出分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x、y分别替换为5x、5y，代入得新分式：
$\frac{(5x)·(5y)}{5x-5y}$
先分别计算分子、分母：
分子：$5x·5y=25xy$
分母：$5x-5y=5(x-y)$
对新分式约分：
$\frac{25xy}{5(x-y)}=5×\frac{xy}{x-y}$
对比原分式$\frac{xy}{x-y}$，可知变化后的分式值是原分式值的5倍。
【答案】
扩大5倍
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式的运算规则，解题的关键是准确代入扩大后的变量，正确化简新分式后与原分式对比即可得出结论，熟练掌握分式的基本运算就能快速解答。
【难度系数】
0.8

例2 先约分,再求值:
$\frac{x^2 -4xy +4y^2}{x^2 -4y^2}$,其中$x=-2,y=-\frac{1}{2}$。
[点拨] 先把分子、分母因式分解,再约分得到原式$=\frac{x-2y}{x+2y}$,最后把$x,y$的值代入计算即可。
[解] 原式$=\frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)}=\frac{x-2y}{x+2y}$。
当$x=-2,y=-\frac{1}{2}$时,

解：
原式$=\frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)}=\frac{x-2y}{x+2y}$
当$x=-2,y=-\frac{1}{2}$时，
原式$=\frac{-2 - 2×(-\frac{1}{2})}{-2 + 2×(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}$

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题可分三步进行：第一步先对分式的分子、分母分别因式分解，分子符合完全平方公式特征，分母符合平方差公式特征，分解后可确定公因式；第二步约去分子分母的公因式，得到最简分式，注意需保证公因式不为0才可约分，本题代入数值后公因式$x-2y≠0$，可正常约分；第三步将$x$、$y$的取值代入最简分式，按照有理数运算法则计算即可得到结果。
【解析】
1. 因式分解并约分：
分子$x^2-4xy+4y^2$是完全平方式，分解为$(x-2y)^2$；
分母$x^2-4y^2$是平方差形式，分解为$(x+2y)(x-2y)$；
因此原式$=\frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)}=\frac{x-2y}{x+2y}$。
2. 代入数值计算：
当$x=-2$，$y=-\frac{1}{2}$时，
分子：$x-2y=-2 - 2×(-\frac{1}{2})=-2+1=-1$，
分母：$x+2y=-2 + 2×(-\frac{1}{2})=-2-1=-3$，
故原式$=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心思路是先化简再代入求值，能够有效简化计算过程。解题时要注意因式分解的正确性，以及代入计算时的符号处理，避免因符号运算失误丢分。
【难度系数】
0.8