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8.已知当$x=1$时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义；当$x=4$时，分式的值为零。求$a+b$的值。
答案
8.解:根据题意得$1-a=0$,
解得$a=1$。
$\because x=4$时,分式的值为零,
$\therefore 4+2b=0$,
解得$b=-2$,
$\therefore a+b=-1$。
解得$a=1$。
$\because x=4$时,分式的值为零,
$\therefore 4+2b=0$,
解得$b=-2$,
$\therefore a+b=-1$。
解析
【分析】
解题时先回忆分式的相关性质：①分式无意义的等价条件是分母等于0；②分式的值为0的等价条件是分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=1时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵当x=1时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义
∴此时分母为0，即$1-a=0$
解得$a=1$
∵当x=4时，分式的值为零
∴此时分子为0，且分母不为0
先代入分子得：$4+2b=0$
解得$b=-2$
验证此时分母：$4-a=4-1=3≠0$，符合分式值为0的条件
∴$a+b=1+(-2)=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，解题关键是牢记分式无意义、值为0对应的限制条件，尤其注意分式值为0时要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，避免遗漏分母的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆分式的相关性质：①分式无意义的等价条件是分母等于0；②分式的值为0的等价条件是分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=1时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵当x=1时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义
∴此时分母为0，即$1-a=0$
解得$a=1$
∵当x=4时，分式的值为零
∴此时分子为0，且分母不为0
先代入分子得：$4+2b=0$
解得$b=-2$
验证此时分母：$4-a=4-1=3≠0$，符合分式值为0的条件
∴$a+b=1+(-2)=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，解题关键是牢记分式无意义、值为0对应的限制条件，尤其注意分式值为0时要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，避免遗漏分母的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
9.若$a,b$为实数，且$\dfrac{(a-2)^2 + |b^2 -16|}{b+4}=0$，求$3a - b$的值。
答案
9.解:$\because \frac{(a-2)^2 + |b^2 -16|}{b+4}=0$,
$\therefore \begin{cases}a-2=0,\\b^2-16=0,\\b+4≠0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=4.\end{cases}$
$\therefore 3a-b=6-4=2$。
$\therefore \begin{cases}a-2=0,\\b^2-16=0,\\b+4≠0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=4.\end{cases}$
$\therefore 3a-b=6-4=2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆两个核心知识点：一是分式值为0的条件，二是非负数的性质。解题思路如下：第一步，分式值为0需要同时满足“分子等于0”和“分母不等于0”两个要求，不能遗漏分母不为0的限制；第二步，分子是平方与绝对值的和，平方和绝对值都属于非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须为0，据此列出关于a、b的方程；第三步，结合分母不为0的条件筛选出b的合法取值，最后将a、b的值代入3a-b计算即可。
【解析】
解：$\because \dfrac{(a-2)^2 + |b^2 -16|}{b+4}=0$，
$\therefore$ 需同时满足：$\begin{cases}(a-2)^2 + |b^2 -16|=0 \\b+4≠ 0\end{cases}$
又$\because (a-2)^2≥0$，$|b^2 -16|≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
$\therefore \begin{cases}a-2=0 \\b^2 -16=0 \\b+4≠ 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=4\end{cases}$（$b=-4$时分母为0，舍去）
将$a=2$，$b=4$代入$3a-b$得：
$3a-b=3×2 -4=6-4=2$
【答案】
2
【知识点】
分式值为零的条件；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，错误取$b=-4$导致结果错误，解题时要注意先考虑分式有意义的前提，再结合非负数的性质求解未知数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆两个核心知识点：一是分式值为0的条件，二是非负数的性质。解题思路如下：第一步，分式值为0需要同时满足“分子等于0”和“分母不等于0”两个要求，不能遗漏分母不为0的限制；第二步，分子是平方与绝对值的和，平方和绝对值都属于非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须为0，据此列出关于a、b的方程；第三步，结合分母不为0的条件筛选出b的合法取值，最后将a、b的值代入3a-b计算即可。
【解析】
解：$\because \dfrac{(a-2)^2 + |b^2 -16|}{b+4}=0$，
$\therefore$ 需同时满足：$\begin{cases}(a-2)^2 + |b^2 -16|=0 \\b+4≠ 0\end{cases}$
又$\because (a-2)^2≥0$，$|b^2 -16|≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
$\therefore \begin{cases}a-2=0 \\b^2 -16=0 \\b+4≠ 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=4\end{cases}$（$b=-4$时分母为0，舍去）
将$a=2$，$b=4$代入$3a-b$得：
$3a-b=3×2 -4=6-4=2$
【答案】
2
【知识点】
分式值为零的条件；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，错误取$b=-4$导致结果错误，解题时要注意先考虑分式有意义的前提，再结合非负数的性质求解未知数。
【难度系数】
0.7
10. 甲、乙两地之间的空中航线全程s km，飞行时间需用a h；两地之间的铁路线全长是空中航线全程的m倍，火车运行的时间为b h。那么飞机速度是火车速度的多少倍？
答案
10.解:飞机的速度为$\frac{s}{a}$ km/h,火车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h,
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{b}{am}$。
所以飞机的速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{b}{am}$。
所以飞机的速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，回忆行程问题的基本公式“速度=路程÷时间”，明确需要先分别求出飞机和火车的速度；第二步，梳理两种交通工具对应的路程和时间：飞机的飞行路程是s km，飞行时间是a h；火车的行驶路程是空中航线全长的m倍即ms km，运行时间是b h，代入公式即可分别表示出两者的速度；第三步，求飞机速度是火车速度的几倍，只需用飞机速度除以火车速度，再按照分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
解：根据“速度=路程÷时间”可得：
飞机的速度为$\frac{s}{a}$ km/h，
两地铁路线全长为$m· s=ms$ km，因此火车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h，
求飞机速度是火车速度的倍数，列式计算为：
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$
【答案】
飞机的速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
【知识点】
行程问题基本公式，分式的除法运算，列代数式
【点评】
本题属于基础应用型计算题，解题的关键是准确梳理两种交通工具对应的路程、时间参数，正确列出速度的代数式，计算时注意分式除法要转化为乘法再约分，避免混淆被除数和除数。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，回忆行程问题的基本公式“速度=路程÷时间”，明确需要先分别求出飞机和火车的速度；第二步，梳理两种交通工具对应的路程和时间：飞机的飞行路程是s km，飞行时间是a h；火车的行驶路程是空中航线全长的m倍即ms km，运行时间是b h，代入公式即可分别表示出两者的速度；第三步，求飞机速度是火车速度的几倍，只需用飞机速度除以火车速度，再按照分式除法的运算法则化简即可得到结果。
【解析】
解：根据“速度=路程÷时间”可得：
飞机的速度为$\frac{s}{a}$ km/h，
两地铁路线全长为$m· s=ms$ km，因此火车的速度为$\frac{ms}{b}$ km/h，
求飞机速度是火车速度的倍数，列式计算为：
$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$
【答案】
飞机的速度是火车速度的$\frac{b}{am}$倍。
【知识点】
行程问题基本公式，分式的除法运算，列代数式
【点评】
本题属于基础应用型计算题，解题的关键是准确梳理两种交通工具对应的路程、时间参数，正确列出速度的代数式，计算时注意分式除法要转化为乘法再约分，避免混淆被除数和除数。
【难度系数】
0.8
11.有这样一个问题:计算代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$(其中$x≠0$)的值后填入下表。根据表格所反映出的$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$(其中$x≠0$)的值与$x$之间的变化规律进行探究。
下面是小东计算代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$(其中$x≠0$)的值后填入表格,并根据表格进行探究的过程,请回答下列问题:
(1)直接写出$x=10$时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值为
(2)随着$x$值的增大,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值
(3)当$x$值无限增大时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值无限趋近于一个数,这个数是
下面是小东计算代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$(其中$x≠0$)的值后填入表格,并根据表格进行探究的过程,请回答下列问题:
(1)直接写出$x=10$时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值为
$\frac{1}{20}$
;(2)随着$x$值的增大,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值
减小
(填“增大”或“减小”);(3)当$x$值无限增大时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值无限趋近于一个数,这个数是
0
。答案
11.(1)$\frac{1}{20}$
解析:当$x=10$时,$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{9}{20}=\frac{1}{20}$。
(2)减小
解析:随着$x$值的增大,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值减小。
(3)0
解析:当$x$值无限增大时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值无限趋近于一个数,这个数是0。
解析:当$x=10$时,$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{9}{20}=\frac{1}{20}$。
(2)减小
解析:随着$x$值的增大,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值减小。
(3)0
解析:当$x$值无限增大时,代数式$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}$的值无限趋近于一个数,这个数是0。
解析
【分析】
解题时可先对代数式进行化简，简化后续计算与规律分析：①第(1)问将x=10直接代入化简后的代数式计算即可；②第(2)问根据化简后代数式的形式，结合x增大时分母的变化，判断代数式值的变化趋势；③第(3)问分析x无限增大时，化简后代数式的取值趋近值即可。
【解析】
首先化简原式：
$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}=\frac{x}{2x}-\frac{x-1}{2x}=\frac{x-(x-1)}{2x}=\frac{1}{2x}$
(1)当$x=10$时，代入化简后的式子得：$\frac{1}{2×10}=\frac{1}{20}$；
(2)化简后代数式为$\frac{1}{2x}$，当x取正值且逐渐增大时，分母$2x$逐渐增大，因此$\frac{1}{2x}$的值逐渐减小，即代数式的值随x增大而减小；
(3)当x值无限增大时，分母$2x$也无限增大，分数$\frac{1}{2x}$的值会无限趋近于0，因此代数式的值无限趋近于0。
【答案】
(1)$\frac{1}{20}$；(2)减小；(3)0
【知识点】
代数式求值，分式化简，变量变化规律
【点评】
本题属于基础类题型，通过先化简代数式再进行计算和规律分析，可大幅降低解题难度，减少计算出错概率，解题时养成先化简再运算的习惯能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时可先对代数式进行化简，简化后续计算与规律分析：①第(1)问将x=10直接代入化简后的代数式计算即可；②第(2)问根据化简后代数式的形式，结合x增大时分母的变化，判断代数式值的变化趋势；③第(3)问分析x无限增大时，化简后代数式的取值趋近值即可。
【解析】
首先化简原式：
$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2x}=\frac{x}{2x}-\frac{x-1}{2x}=\frac{x-(x-1)}{2x}=\frac{1}{2x}$
(1)当$x=10$时，代入化简后的式子得：$\frac{1}{2×10}=\frac{1}{20}$；
(2)化简后代数式为$\frac{1}{2x}$，当x取正值且逐渐增大时，分母$2x$逐渐增大，因此$\frac{1}{2x}$的值逐渐减小，即代数式的值随x增大而减小；
(3)当x值无限增大时，分母$2x$也无限增大，分数$\frac{1}{2x}$的值会无限趋近于0，因此代数式的值无限趋近于0。
【答案】
(1)$\frac{1}{20}$；(2)减小；(3)0
【知识点】
代数式求值，分式化简，变量变化规律
【点评】
本题属于基础类题型，通过先化简代数式再进行计算和规律分析，可大幅降低解题难度，减少计算出错概率，解题时养成先化简再运算的习惯能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
