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变式训练2 若式子$\dfrac{x}{x-3}+(x-4)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是
$x≠3$且$x≠4$
。答案
$x≠3$且$x≠4$
解析
【分析】
要使给定的代数式有意义，需分别满足组成该式的两类代数式的有意义条件：第一类是分式，要求分母不为0；第二类是零指数幂，要求底数不为0。我们先分别求出两类限制条件对应的x的取值范围，再取它们的公共部分，就是最终x的取值范围。
【解析】
1. 分析分式$\dfrac{x}{x-3}$的有意义条件：
分式有意义的要求是分母不为0，因此可得：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
2. 分析零指数幂$(x-4)^0$的有意义条件：
零指数幂$a^0$（$a≠0$）有意义的要求是底数不为0，因此可得：
$x-4≠0$，解得$x≠4$。
3. 综合两个限制条件，x需同时满足上述两个要求，即$x≠3$且$x≠4$。
【答案】
$x≠3$且$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件；零指数幂有意义的条件
【点评】
本题属于代数式有意义的基础题型，解题时要注意拆分代数式的不同组成部分，逐一梳理对应的限制要求，避免遗漏零指数幂的底数限制条件。
【难度系数】
0.8
要使给定的代数式有意义，需分别满足组成该式的两类代数式的有意义条件：第一类是分式，要求分母不为0；第二类是零指数幂，要求底数不为0。我们先分别求出两类限制条件对应的x的取值范围，再取它们的公共部分，就是最终x的取值范围。
【解析】
1. 分析分式$\dfrac{x}{x-3}$的有意义条件：
分式有意义的要求是分母不为0，因此可得：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
2. 分析零指数幂$(x-4)^0$的有意义条件：
零指数幂$a^0$（$a≠0$）有意义的要求是底数不为0，因此可得：
$x-4≠0$，解得$x≠4$。
3. 综合两个限制条件，x需同时满足上述两个要求，即$x≠3$且$x≠4$。
【答案】
$x≠3$且$x≠4$
【知识点】
分式有意义的条件；零指数幂有意义的条件
【点评】
本题属于代数式有意义的基础题型，解题时要注意拆分代数式的不同组成部分，逐一梳理对应的限制要求，避免遗漏零指数幂的底数限制条件。
【难度系数】
0.8
例3 已知分式$\frac{1-3x}{x+2}$。
(1)当$x$取什么值时，该分式有意义？
(2)当$x$取什么值时，该分式的值为零？
[点拨] (1)根据分式有意义的条件可得$x+2≠0$，再解即可。
(2)根据分式的值为零可得$1-3x=0$，且$x+2≠0$，再解即可。
[解] (1)由题意得$x+2≠0$。
解得$x≠-2$。
(2)由题意得$1-3x=0$，且$x+2≠0$。
解得$x=\frac{1}{3}$。
|变式训练3| 当$x=$
A.$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x≠-1$
D.$x＞0$
(1)当$x$取什么值时，该分式有意义？
(2)当$x$取什么值时，该分式的值为零？
[点拨] (1)根据分式有意义的条件可得$x+2≠0$，再解即可。
(2)根据分式的值为零可得$1-3x=0$，且$x+2≠0$，再解即可。
[解] (1)由题意得$x+2≠0$。
解得$x≠-2$。
(2)由题意得$1-3x=0$，且$x+2≠0$。
解得$x=\frac{1}{3}$。
|变式训练3| 当$x=$
$-3$
时，分式$\frac{x^2 -9}{3 -x}$的值为零。A.$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x≠-1$
D.$x＞0$
答案
$-3$
解析
【分析】
要确定使分式的值为零的x的取值，需明确分式值为零的两个必备条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，二者缺一不可。解题时先求解分子等于0对应的方程，得到x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{x^2 -9}{3 -x}$的值为零，需同时满足两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 - 9 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-3)=0$
解得$x=3$或$x=-3$
2. 分母的值不为0：
$3 - x ≠ 0$
解得$x≠3$
综上，舍去不符合条件的$x=3$，可得$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式值为零的条件，因式分解解方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，仅通过分子为0得出错误结果，解题时要牢记两个条件需同时满足，得出结果后注意验证分母是否不为0。
【难度系数】
0.7
要确定使分式的值为零的x的取值，需明确分式值为零的两个必备条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，二者缺一不可。解题时先求解分子等于0对应的方程，得到x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{x^2 -9}{3 -x}$的值为零，需同时满足两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 - 9 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-3)=0$
解得$x=3$或$x=-3$
2. 分母的值不为0：
$3 - x ≠ 0$
解得$x≠3$
综上，舍去不符合条件的$x=3$，可得$x=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
分式值为零的条件，因式分解解方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，仅通过分子为0得出错误结果，解题时要牢记两个条件需同时满足，得出结果后注意验证分母是否不为0。
【难度系数】
0.7
4.下面的分式在实数范围内有意义,则x的取值范围是“x≠1”的是 (
5.下列分式中,其值可以为零的是 ()
6.若分式$\frac{|x|-3}{x^2+x-6}$的值为零,则x的值为 ()
A.0 B.3 C.−3 D.±3
7.已知分式$\frac{4a-3}{3-2a}$。
B
)5.下列分式中,其值可以为零的是 ()
6.若分式$\frac{|x|-3}{x^2+x-6}$的值为零,则x的值为 ()
A.0 B.3 C.−3 D.±3
7.已知分式$\frac{4a-3}{3-2a}$。
答案
4.B
解析
【分析】要解决这道题，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0，否则分式无意义。题目要求选出“分式在实数范围内有意义时，x的取值范围是x≠1”的选项，我们只需要逐一分析每个选项的分母：令分母等于0，解出对应的x值，找到解唯一为x=1的选项即可。
【解析】根据分式有意义的判定规则：分式的分母不等于0时，分式有意义。
对各选项逐一分析：
A选项：若分母为x+1，令x+1=0，解得x=-1，即分式有意义的条件是x≠-1，不符合要求；
B选项：分母为x-1，令x-1=0，解得x=1，即分式有意义的条件是x≠1，符合题意；
C选项：若分母为$(x-1)(x+1)$，令分母为0得$x=\pm1$，即分式有意义的条件是$x≠\pm1$，不符合要求；
D选项：若分母为x，令分母为0得x=0，即分式有意义的条件是x≠0，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题属于基础概念应用题，解题核心是牢记分式有意义的前提是分母不为0，注意不要和分式值为0的判定条件混淆。
【难度系数】0.8
【解析】根据分式有意义的判定规则：分式的分母不等于0时，分式有意义。
对各选项逐一分析：
A选项：若分母为x+1，令x+1=0，解得x=-1，即分式有意义的条件是x≠-1，不符合要求；
B选项：分母为x-1，令x-1=0，解得x=1，即分式有意义的条件是x≠1，符合题意；
C选项：若分母为$(x-1)(x+1)$，令分母为0得$x=\pm1$，即分式有意义的条件是$x≠\pm1$，不符合要求；
D选项：若分母为x，令分母为0得x=0，即分式有意义的条件是x≠0，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题属于基础概念应用题，解题核心是牢记分式有意义的前提是分母不为0，注意不要和分式值为0的判定条件混淆。
【难度系数】0.8
1. 下列式子中，为分式的是 （
A.$\dfrac{a-b}{3}$
B.$\dfrac{4+y}{π}$
C.$\dfrac{x+2}{x}$
D.$1+x$
C
）A.$\dfrac{a-b}{3}$
B.$\dfrac{4+y}{π}$
C.$\dfrac{x+2}{x}$
D.$1+x$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是分式，首先要牢记分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，A、B都是整式，且B中必须含有字母（注意：π是固定的常数，不属于字母），满足这个条件的就是分式。解题时我们只需要逐一检查每个选项的分母是否含有字母，即可快速选出答案。
【解析】
根据分式的定义逐个判断选项：
1. 选项A：$\dfrac{a-b}{3}$的分母是3，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. 选项B：$\dfrac{4+y}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. 选项C：$\dfrac{x+2}{x}$的分母是x，含有字母，符合分式的定义，属于分式；
4. 选项D：$1+x$是多项式，没有分母，属于整式，不是分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义；整式的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式的判断标准，尤其要注意π属于常数，不要误将其当作字母判断，只要抓住“分母含字母”这一核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是分式，首先要牢记分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子，A、B都是整式，且B中必须含有字母（注意：π是固定的常数，不属于字母），满足这个条件的就是分式。解题时我们只需要逐一检查每个选项的分母是否含有字母，即可快速选出答案。
【解析】
根据分式的定义逐个判断选项：
1. 选项A：$\dfrac{a-b}{3}$的分母是3，属于常数，不含字母，是整式，不是分式；
2. 选项B：$\dfrac{4+y}{π}$的分母是π，π是圆周率，属于固定常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. 选项C：$\dfrac{x+2}{x}$的分母是x，含有字母，符合分式的定义，属于分式；
4. 选项D：$1+x$是多项式，没有分母，属于整式，不是分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义；整式的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握分式的判断标准，尤其要注意π属于常数，不要误将其当作字母判断，只要抓住“分母含字母”这一核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在$\frac{x+y}{3}$，$\frac{4x}{π -3}$，$\frac{a}{2x-1}$，$\frac{1}{2}xy$，$\frac{2}{x+y}$，$\frac{5x^2}{x}$中，分式共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】解题首先要明确分式的判定标准：判断一个式子是否为分式，核心看原式的分母中是否含有字母，注意π是固定常数不属于字母，且判定分式要以原式为依据，不能先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的代数式，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】根据分式的定义：若A、B是整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，我们逐个判断：
1. $\frac{x+y}{3}$：分母是3（常数，不含字母），属于整式；
2. $\frac{4x}{π -3}$：π是圆周率，属于固定常数，因此分母$π-3$是常数（不含字母），属于整式；
3. $\frac{a}{2x-1}$：分母$2x-1$含有字母x，符合分式定义，是分式；
4. $\frac{1}{2}xy$：分母为1（不含字母），属于整式；
5. $\frac{2}{x+y}$：分母$x+y$含有字母x、y，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{5x^2}{x}$：原式分母含有字母x，判定分式需看原式形式无需约分，因此属于分式。
综上，分式共有3个，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的定义
【点评】本题是分式基础概念的考查题，易错点主要有两处：一是误将π当作字母判断，二是对$\frac{5x^2}{x}$这类式子判断时提前约分再判定，只要严格按照分式定义从原式分母是否含字母来分析，即可正确解题。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式的定义：若A、B是整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，我们逐个判断：
1. $\frac{x+y}{3}$：分母是3（常数，不含字母），属于整式；
2. $\frac{4x}{π -3}$：π是圆周率，属于固定常数，因此分母$π-3$是常数（不含字母），属于整式；
3. $\frac{a}{2x-1}$：分母$2x-1$含有字母x，符合分式定义，是分式；
4. $\frac{1}{2}xy$：分母为1（不含字母），属于整式；
5. $\frac{2}{x+y}$：分母$x+y$含有字母x、y，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{5x^2}{x}$：原式分母含有字母x，判定分式需看原式形式无需约分，因此属于分式。
综上，分式共有3个，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的定义
【点评】本题是分式基础概念的考查题，易错点主要有两处：一是误将π当作字母判断，二是对$\frac{5x^2}{x}$这类式子判断时提前约分再判定，只要严格按照分式定义从原式分母是否含字母来分析，即可正确解题。
【难度系数】0.7
3. 要使分式$\frac{2}{x+1}$有意义，实数$x$应满足（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
本题考查分式有意义的相关问题，解题思路如下：首先明确分式有意义的核心规则是分母不能为0，因此我们只需要定位到该分式的分母，令分母不等于0，解出x的取值范围后匹配对应选项即可。
【解析】
分式有意义的条件为：分式的分母不为0。
本题中分式$\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，因此可列不等式：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对分式有意义条件的掌握，只要牢记“分式有意义则分母不为0”的规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查分式有意义的相关问题，解题思路如下：首先明确分式有意义的核心规则是分母不能为0，因此我们只需要定位到该分式的分母，令分母不等于0，解出x的取值范围后匹配对应选项即可。
【解析】
分式有意义的条件为：分式的分母不为0。
本题中分式$\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，因此可列不等式：
$x+1≠0$
解得$x≠-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对分式有意义条件的掌握，只要牢记“分式有意义则分母不为0”的规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 下列分式中,其值可以为零的是 (
A.$\dfrac{m^2 + 1}{m + 1}$
B.$\dfrac{m + 1}{m^2 - 1}$
C.$\dfrac{m + 1}{m^2 + 1}$
D.$\dfrac{m^2 + 1}{m - 1}$
C
)A.$\dfrac{m^2 + 1}{m + 1}$
B.$\dfrac{m + 1}{m^2 - 1}$
C.$\dfrac{m + 1}{m^2 + 1}$
D.$\dfrac{m^2 + 1}{m - 1}$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断分式的值能否为0，需依据分式值为0的两个必备条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0，两个条件必须同时满足，缺一不可。我们只需要逐个分析四个选项是否同时满足这两个条件，就能选出正确答案。
【解析】
分式值为0的判定规则：当分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
选项A：分子为$m^2+1$，根据平方的非负性，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1$，分子恒大于0，不可能等于0，故该分式值不可能为0；
选项B：令分子$m+1=0$，解得$m=-1$，代入分母得$m^2-1=(-1)^2-1=0$，此时分式无意义，故该分式值不可能为0；
选项C：令分子$m+1=0$，解得$m=-1$，代入分母得$m^2+1=(-1)^2+1=2≠0$，同时满足分子为0、分母不为0的条件，故该分式的值可以为0；
选项D：分子为$m^2+1$，同理恒大于0，不可能等于0，故该分式值不可能为0。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件、平方的非负性
【点评】
本题属于分式相关的基础题型，解题时需要注意“分母不为0”是分式有意义的前提，判断分式值为0时不能忽略该条件，否则容易误选B选项。
【难度系数】
0.7
要判断分式的值能否为0，需依据分式值为0的两个必备条件：①分子的取值为0；②分母的取值不为0，两个条件必须同时满足，缺一不可。我们只需要逐个分析四个选项是否同时满足这两个条件，就能选出正确答案。
【解析】
分式值为0的判定规则：当分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
选项A：分子为$m^2+1$，根据平方的非负性，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1$，分子恒大于0，不可能等于0，故该分式值不可能为0；
选项B：令分子$m+1=0$，解得$m=-1$，代入分母得$m^2-1=(-1)^2-1=0$，此时分式无意义，故该分式值不可能为0；
选项C：令分子$m+1=0$，解得$m=-1$，代入分母得$m^2+1=(-1)^2+1=2≠0$，同时满足分子为0、分母不为0的条件，故该分式的值可以为0；
选项D：分子为$m^2+1$，同理恒大于0，不可能等于0，故该分式值不可能为0。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件、平方的非负性
【点评】
本题属于分式相关的基础题型，解题时需要注意“分母不为0”是分式有意义的前提，判断分式值为0时不能忽略该条件，否则容易误选B选项。
【难度系数】
0.7
6.若分式$\frac{|x|-3}{x^2 + x -6}$的值为零，则$x$的值为（
A.0
B.3
C.$-3$
D.$\pm3$
B
）A.0
B.3
C.$-3$
D.$\pm3$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决分式值为零的问题，需牢记分式值为零的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$|x|-3=0$
解这个方程：$|x|=3$，得$x=3$或$x=-3$。
2. 分母不为0：$x^2+x-6≠0$
对分母因式分解得：$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$
因此$(x+3)(x-2)≠0$，即$x≠-3$且$x≠2$。
结合上述两个条件，排除$x=-3$，故$x=3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 绝对值的性质
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式部分的基础常考题，易错点是求解时忽略分母不能为0的限制，直接仅根据分子为0选择D选项，因此解题时要牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为零的问题，需牢记分式值为零的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$|x|-3=0$
解这个方程：$|x|=3$，得$x=3$或$x=-3$。
2. 分母不为0：$x^2+x-6≠0$
对分母因式分解得：$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$
因此$(x+3)(x-2)≠0$，即$x≠-3$且$x≠2$。
结合上述两个条件，排除$x=-3$，故$x=3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 绝对值的性质
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式部分的基础常考题，易错点是求解时忽略分母不能为0的限制，直接仅根据分子为0选择D选项，因此解题时要牢记分式相关问题首先要保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
7.已知分式$\frac{4a-3}{3-2a}$。
(1)当$a$满足什么条件时，该分式有意义？
(2)当$a$取什么值时，该分式的值为零？
(1)当$a$满足什么条件时，该分式有意义？
(2)当$a$取什么值时，该分式的值为零？
答案
7.解:(1)当$3-2a≠0$,即$a≠\frac{3}{2}$时,分式有意义；
(2)当$4a-3=0$,且$3-2a≠0$时,解得$a=\frac{3}{4}$时,分式的值为零。
(2)当$4a-3=0$,且$3-2a≠0$时,解得$a=\frac{3}{4}$时,分式的值为零。
解析
【分析】
（1）要解决分式有意义的问题，需回忆分式的核心要求：分式的分母不能为0，因此只需令本题中分式的分母不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
（2）要使分式的值为0，需要同时满足两个条件：第一是分子的取值为0，第二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），因此先求解分子为0时a的值，再验证该值是否满足分母不为0的要求，符合要求的结果就是正确答案。
【解析】
（1）根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$3-2a ≠ 0$
移项计算得：$2a ≠ 3$，即$a ≠ \frac{3}{2}$。
（2）根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
$\begin{cases}4a - 3 = 0 \\3 - 2a ≠ 0\end{cases}$
先解$4a - 3 = 0$，得$a = \frac{3}{4}$；
将$a = \frac{3}{4}$代入$3 - 2a$验证，得$3 - 2×\frac{3}{4} = \frac{3}{2} ≠ 0$，满足分母不为0的要求。
【答案】
(1)当$a ≠ \frac{3}{2}$时，该分式有意义；
(2)当$a = \frac{3}{4}$时，该分式的值为零。
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式的基础概念应用题，解题的关键是牢记分式的相关限制条件，尤其要注意求解分式值为0的问题时，必须同时验证分母不为0，避免遗漏前提导致错误。
【难度系数】
0.9
（1）要解决分式有意义的问题，需回忆分式的核心要求：分式的分母不能为0，因此只需令本题中分式的分母不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
（2）要使分式的值为0，需要同时满足两个条件：第一是分子的取值为0，第二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），因此先求解分子为0时a的值，再验证该值是否满足分母不为0的要求，符合要求的结果就是正确答案。
【解析】
（1）根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$3-2a ≠ 0$
移项计算得：$2a ≠ 3$，即$a ≠ \frac{3}{2}$。
（2）根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
$\begin{cases}4a - 3 = 0 \\3 - 2a ≠ 0\end{cases}$
先解$4a - 3 = 0$，得$a = \frac{3}{4}$；
将$a = \frac{3}{4}$代入$3 - 2a$验证，得$3 - 2×\frac{3}{4} = \frac{3}{2} ≠ 0$，满足分母不为0的要求。
【答案】
(1)当$a ≠ \frac{3}{2}$时，该分式有意义；
(2)当$a = \frac{3}{4}$时，该分式的值为零。
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件
【点评】
本题是分式的基础概念应用题，解题的关键是牢记分式的相关限制条件，尤其要注意求解分式值为0的问题时，必须同时验证分母不为0，避免遗漏前提导致错误。
【难度系数】
0.9
