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19. 市里要举办乒乓球比赛，某校需要组织乒乓球队参加比赛，A班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位:cm)如下:155，162，165，167，169，170，175，185；B班参加乒乓球队选拔的同学的身高(单位:cm)如下:155，158，165，179，181，182，184，190. 根据所给数据绘制A班和B班学生身高的四分位数表及箱线图如下：
(1)A班的上四分位数为
(2)根据四分位数表及箱线图，说明A，B两班参加乒乓球队选拔的同学的身高特点.
(1)A班的上四分位数为
172.5
，B班的下四分位数为161.5
.(2)根据四分位数表及箱线图，说明A，B两班参加乒乓球队选拔的同学的身高特点.
答案
19.解:(1)172.5 161.5
(2)A班参加乒乓球队选拔的同学的身高更集中，但B班中位数比A班更大，且B班的身高集中在180～183 cm的人数更多.
(2)A班参加乒乓球队选拔的同学的身高更集中，但B班中位数比A班更大，且B班的身高集中在180～183 cm的人数更多.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)求四分位数首先要确认数据已按从小到大排序，再根据数据个数计算四分位数对应的位置：n个数据的下四分位数（25%分位数）位置为n×25%，上四分位数（75%分位数）位置为n×75%，若位置为整数，对应分位数为该位置与后一位置数据的平均数；(2)分析身高特点时，可从数据的集中程度、中位数大小、高身高段的人数分布三个角度对比A、B两班的数据特征。
【解析】
(1) A班身高已按从小到大排序，共8个数据：
上四分位数（75%分位数）的位置为$8×75\%=6$，取第6个和第7个数据的平均值：$\frac{170+175}{2}=172.5$；
B班身高已按从小到大排序，共8个数据：
下四分位数（25%分位数）的位置为$8×25\%=2$，取第2个和第3个数据的平均值：$\frac{158+165}{2}=161.5$。
(2) 对比两班数据：A班身高的极差、四分位距均小于B班，说明A班参加选拔的同学身高更集中；计算可得A班身高中位数为168cm，B班身高中位数为180cm，B班中位数远大于A班，且B班75%分位数附近的数据集中在180~183cm区间，说明该区间人数更多。
【答案】
(1)172.5；161.5
(2)A班参加乒乓球队选拔的同学的身高更集中，但B班中位数比A班更大，且B班的身高集中在180～183 cm的人数更多。
【知识点】
四分位数计算，统计数据分析，数据特征描述
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算与数据特征分析，需熟练掌握四分位数的计算规则，学会从多维度对比两组统计数据的异同，是统计知识的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1)求四分位数首先要确认数据已按从小到大排序，再根据数据个数计算四分位数对应的位置：n个数据的下四分位数（25%分位数）位置为n×25%，上四分位数（75%分位数）位置为n×75%，若位置为整数，对应分位数为该位置与后一位置数据的平均数；(2)分析身高特点时，可从数据的集中程度、中位数大小、高身高段的人数分布三个角度对比A、B两班的数据特征。
【解析】
(1) A班身高已按从小到大排序，共8个数据：
上四分位数（75%分位数）的位置为$8×75\%=6$，取第6个和第7个数据的平均值：$\frac{170+175}{2}=172.5$；
B班身高已按从小到大排序，共8个数据：
下四分位数（25%分位数）的位置为$8×25\%=2$，取第2个和第3个数据的平均值：$\frac{158+165}{2}=161.5$。
(2) 对比两班数据：A班身高的极差、四分位距均小于B班，说明A班参加选拔的同学身高更集中；计算可得A班身高中位数为168cm，B班身高中位数为180cm，B班中位数远大于A班，且B班75%分位数附近的数据集中在180~183cm区间，说明该区间人数更多。
【答案】
(1)172.5；161.5
(2)A班参加乒乓球队选拔的同学的身高更集中，但B班中位数比A班更大，且B班的身高集中在180～183 cm的人数更多。
【知识点】
四分位数计算，统计数据分析，数据特征描述
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算与数据特征分析，需熟练掌握四分位数的计算规则，学会从多维度对比两组统计数据的异同，是统计知识的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
20.如图,这是某超市购物车的侧面简化示意图,测得支架$AC=24\ \mathrm{cm},CB=18\ \mathrm{cm}$,两轮中心的距离$AB=30\ \mathrm{cm}$.
(1)判断支架$AC,BC$是否垂直.
(2)求点$C$到$AB$的距离.
(1)判断支架$AC,BC$是否垂直.
(2)求点$C$到$AB$的距离.
答案
20.解:(1)$\because AC^2=24^2=576,CB^2=18^2=324,AB^2=30^2=900$,
$\therefore AB^2=AC^2+CB^2.\therefore △ ACB$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$.
$\therefore$支架$AC,BC$垂直.
(2)过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$.由(1)可知,$△ ACB$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$.
$\therefore AB· CD=AC· BC$,即$30CD=24×18$.
解得$CD=\frac{72}{5}$.$\therefore$点$C$到$AB$的距离为$\frac{72}{5}$ cm.
$\therefore AB^2=AC^2+CB^2.\therefore △ ACB$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$.
$\therefore$支架$AC,BC$垂直.
(2)过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$.由(1)可知,$△ ACB$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$.
$\therefore AB· CD=AC· BC$,即$30CD=24×18$.
解得$CD=\frac{72}{5}$.$\therefore$点$C$到$AB$的距离为$\frac{72}{5}$ cm.
解析
【分析】
(1) 要判断支架AC、BC是否垂直，可验证△ACB是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要计算三边平方，判断AC²+BC²是否等于AB²即可。(2) 求点C到AB的距离，就是求AB边上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方式，通过等面积法列等式求解。
【解析】
(1) 分别计算三边的平方：
$AC^2=24^2=576$，$CB^2=18^2=324$，$AB^2=30^2=900$，
可得$AC^2+CB^2=576+324=900=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ACB是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，因此支架AC、BC垂直。
(2) 过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD的长度即为点C到AB的距离。
由(1)可知△ACB为直角三角形，$∠ ACB=90°$，三角形面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
化简得$AC· BC=AB· CD$，代入数值：
$24×18=30· CD$，
解得$CD=\frac{24×18}{30}=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 支架$AC,BC$垂直；(2) 点$C$到$AB$的距离为$\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，等面积法求高，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景命题，侧重考查基础几何定理的应用能力，解题关键是先通过勾股定理逆定理判定直角三角形，再利用等面积法快速求解斜边上的高，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断支架AC、BC是否垂直，可验证△ACB是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要计算三边平方，判断AC²+BC²是否等于AB²即可。(2) 求点C到AB的距离，就是求AB边上的高，可利用直角三角形面积的两种计算方式，通过等面积法列等式求解。
【解析】
(1) 分别计算三边的平方：
$AC^2=24^2=576$，$CB^2=18^2=324$，$AB^2=30^2=900$，
可得$AC^2+CB^2=576+324=900=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ACB是直角三角形，且$∠ ACB=90°$，因此支架AC、BC垂直。
(2) 过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD的长度即为点C到AB的距离。
由(1)可知△ACB为直角三角形，$∠ ACB=90°$，三角形面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
化简得$AC· BC=AB· CD$，代入数值：
$24×18=30· CD$，
解得$CD=\frac{24×18}{30}=\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 支架$AC,BC$垂直；(2) 点$C$到$AB$的距离为$\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，等面积法求高，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景命题，侧重考查基础几何定理的应用能力，解题关键是先通过勾股定理逆定理判定直角三角形，再利用等面积法快速求解斜边上的高，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.8
21. 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质. 请根据学习一次函数时积累的经验和方法研究函数 $y=-|x+1|+2$ 的图象和性质，并解决问题. 下面是小玉的探究过程，请补充完整：
(1)下表是$y$与$x$的几组对应值：
表中 $m=$
(2)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,描出以表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)根据画出的函数图象,回答下列问题:
①当$x$
②方程 $-|x+1|+2=0$ 有
(1)下表是$y$与$x$的几组对应值：
表中 $m=$
-1
, $n=$ 0
.(2)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,描出以表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)根据画出的函数图象,回答下列问题:
①当$x$
$≤-1$
时,$y$随$x$的增大而增大.②方程 $-|x+1|+2=0$ 有
2
个解.答案
21.解:(1)$-1$ $0$
(2)图略.
(3)①$≤-1$ ②$2$
(2)图略.
(3)①$≤-1$ ②$2$
解析
【分析】
本题考查绝对值函数的图象与性质探究，解题思路如下：
1. 求表中m、n的值：只需将m、n对应的自变量x值代入函数解析式$y=-|x+1|+2$，根据绝对值的运算规则计算即可得到结果。
2. 画函数图象：遵循描点法作图的三个步骤，先描出表中给出的各坐标点，再用平滑的折线顺次连接各点即可，注意该函数含绝对值，图象为以$(-1,2)$为顶点的倒V型折线。
3. 分析函数性质与方程解的个数：①观察画出的函数图象，图象上升的区间即为y随x增大而增大的区间；②方程$-|x+1|+2=0$的解对应函数$y=-|x+1|+2$的图象与x轴（直线$y=0$）交点的横坐标，数出交点个数即可得到方程解的个数。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=-|x+1|+2$，按照绝对值运算规则计算，可得$m=-1$，$n=0$。
(2) 先在平面直角坐标系中准确描出表中各组对应值对应的点，再用平滑的折线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) ①观察画出的函数图象：当$x≤-1$时，图象呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；
②方程$-|x+1|+2=0$的解就是函数$y=-|x+1|+2$的图象与直线$y=0$的交点横坐标，观察图象可知该函数与x轴有2个交点，因此方程有2个解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{0}$
(2) 图略
(3) ①$\boldsymbol{≤ -1}$；②$\boldsymbol{2}$
【知识点】
绝对值函数的图象与性质；描点法画函数图象；函数与方程的关系
【点评】
本题类比一次函数的探究方法考查新函数的研究，核心是数形结合思想的应用，需要掌握从函数图象中提取增减性、交点等信息的方法，是函数探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题考查绝对值函数的图象与性质探究，解题思路如下：
1. 求表中m、n的值：只需将m、n对应的自变量x值代入函数解析式$y=-|x+1|+2$，根据绝对值的运算规则计算即可得到结果。
2. 画函数图象：遵循描点法作图的三个步骤，先描出表中给出的各坐标点，再用平滑的折线顺次连接各点即可，注意该函数含绝对值，图象为以$(-1,2)$为顶点的倒V型折线。
3. 分析函数性质与方程解的个数：①观察画出的函数图象，图象上升的区间即为y随x增大而增大的区间；②方程$-|x+1|+2=0$的解对应函数$y=-|x+1|+2$的图象与x轴（直线$y=0$）交点的横坐标，数出交点个数即可得到方程解的个数。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=-|x+1|+2$，按照绝对值运算规则计算，可得$m=-1$，$n=0$。
(2) 先在平面直角坐标系中准确描出表中各组对应值对应的点，再用平滑的折线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(3) ①观察画出的函数图象：当$x≤-1$时，图象呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；
②方程$-|x+1|+2=0$的解就是函数$y=-|x+1|+2$的图象与直线$y=0$的交点横坐标，观察图象可知该函数与x轴有2个交点，因此方程有2个解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{0}$
(2) 图略
(3) ①$\boldsymbol{≤ -1}$；②$\boldsymbol{2}$
【知识点】
绝对值函数的图象与性质；描点法画函数图象；函数与方程的关系
【点评】
本题类比一次函数的探究方法考查新函数的研究，核心是数形结合思想的应用，需要掌握从函数图象中提取增减性、交点等信息的方法，是函数探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
