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22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场.现有A,B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应$y_1$，B品牌的收费方式对应$y_2$.
(1)当$x=$
(2)求骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式.
(3)请求出相同骑行时间下，A,B两种品牌收费相差1元时$x$的值.
(1)当$x=$
20
min时，A,B两种品牌收费相同，此时收费8
元.(2)求骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式.
(3)请求出相同骑行时间下，A,B两种品牌收费相差1元时$x$的值.
答案
22.解:(1)20 8
(2)设骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=kx+b$.
$\because$点$(10,6),(20,8)$在该函数图象上,
$\therefore \begin{cases} 10k+b=6, \\ 20k+b=8, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=0.2, \\ b=4. \end{cases}$
$\therefore$骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=0.2x+4$.
(3)由图象可知,A品牌共享电动车每分钟收费为$8÷20=0.4$(元).
由题意,得$(0.2x+4)-0.4x=1$或$0.4x-(0.2x+4)=1$,解得$x=15$或$x=25$.
$\therefore$A,B两种品牌收费相差1元时$x$的值为15或25.
(2)设骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=kx+b$.
$\because$点$(10,6),(20,8)$在该函数图象上,
$\therefore \begin{cases} 10k+b=6, \\ 20k+b=8, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=0.2, \\ b=4. \end{cases}$
$\therefore$骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=0.2x+4$.
(3)由图象可知,A品牌共享电动车每分钟收费为$8÷20=0.4$(元).
由题意,得$(0.2x+4)-0.4x=1$或$0.4x-(0.2x+4)=1$,解得$x=15$或$x=25$.
$\therefore$A,B两种品牌收费相差1元时$x$的值为15或25.
解析
【分析】
(1) A、B两种品牌收费相同对应两个函数图象的交点，直接读取交点的横、纵坐标，即可得到对应的骑行时间和收费金额；
(2) 骑行B品牌超过10 min后的收费函数为一次函数，已知图象经过(10,6)、(20,8)两个点，采用待定系数法，先设函数表达式为y=kx+b，将两个点的坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可得到对应的函数表达式；
(3) 先求A品牌的收费函数：A品牌收费对应的函数是过原点的正比例函数，由交点(20,8)可算出每分钟收费为8÷20=0.4元，即y₁=0.4x。收费相差1元需分两种情况讨论：B品牌收费比A品牌多1元，或A品牌收费比B品牌多1元，分别列一元一次方程求解即可，x＜10时B品牌收费恒为6元，A品牌最高收费仅为4元，差值不可能为1，无需考虑该区间。
【解析】
(1) 由图象可知，y₁和y₂的交点坐标为(20,8)，即当x=20min时，两种品牌收费相同，收费为8元。
(2) 设骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=kx+b$，
∵点$(10,6)$、$(20,8)$在该函数图象上，
∴代入得$\begin{cases} 10k+b=6 \\ 20k+b=8 \end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得$10k=2$，解得$k=0.2$，
将$k=0.2$代入$10k+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$，
∴骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=0.2x+4$（$x≥10$）。
(3) 由图象可知，A品牌20min收费8元，因此每分钟收费为$8÷20=0.4$元，即A品牌收费函数为$y_1=0.4x$。
两种品牌收费相差1元，分两种情况：
① B品牌比A品牌多1元：$(0.2x+4)-0.4x=1$，
整理得$-0.2x=-3$，解得$x=15$；
② A品牌比B品牌多1元：$0.4x-(0.2x+4)=1$，
整理得$0.2x=5$，解得$x=25$。
两个解均满足$x≥10$，符合要求。
【答案】
(1) 20，8；
(2) $y=0.2x+4$（$x≥10$）；
(3) 15或25。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题关键是能从函数图象中提取有效点坐标，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，求解收费差值问题时要注意分类讨论两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) A、B两种品牌收费相同对应两个函数图象的交点，直接读取交点的横、纵坐标，即可得到对应的骑行时间和收费金额；
(2) 骑行B品牌超过10 min后的收费函数为一次函数，已知图象经过(10,6)、(20,8)两个点，采用待定系数法，先设函数表达式为y=kx+b，将两个点的坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可得到对应的函数表达式；
(3) 先求A品牌的收费函数：A品牌收费对应的函数是过原点的正比例函数，由交点(20,8)可算出每分钟收费为8÷20=0.4元，即y₁=0.4x。收费相差1元需分两种情况讨论：B品牌收费比A品牌多1元，或A品牌收费比B品牌多1元，分别列一元一次方程求解即可，x＜10时B品牌收费恒为6元，A品牌最高收费仅为4元，差值不可能为1，无需考虑该区间。
【解析】
(1) 由图象可知，y₁和y₂的交点坐标为(20,8)，即当x=20min时，两种品牌收费相同，收费为8元。
(2) 设骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=kx+b$，
∵点$(10,6)$、$(20,8)$在该函数图象上，
∴代入得$\begin{cases} 10k+b=6 \\ 20k+b=8 \end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得$10k=2$，解得$k=0.2$，
将$k=0.2$代入$10k+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$，
∴骑行B品牌共享电动车超过10 min后的函数表达式为$y=0.2x+4$（$x≥10$）。
(3) 由图象可知，A品牌20min收费8元，因此每分钟收费为$8÷20=0.4$元，即A品牌收费函数为$y_1=0.4x$。
两种品牌收费相差1元，分两种情况：
① B品牌比A品牌多1元：$(0.2x+4)-0.4x=1$，
整理得$-0.2x=-3$，解得$x=15$；
② A品牌比B品牌多1元：$0.4x-(0.2x+4)=1$，
整理得$0.2x=5$，解得$x=25$。
两个解均满足$x≥10$，符合要求。
【答案】
(1) 20，8；
(2) $y=0.2x+4$（$x≥10$）；
(3) 15或25。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题关键是能从函数图象中提取有效点坐标，掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，求解收费差值问题时要注意分类讨论两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
23. 已知AB//CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，FG平分∠EFD与直线AB交于点G.
(1)如图1，若∠EGF=26°，则∠AEF的度数是
(2)作EM平分∠GEF，交FG于点M.
①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证:GN//EM.
②如图3，点P是ME的延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP=3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG的数量关系，并说明理由.
(1)如图1，若∠EGF=26°，则∠AEF的度数是
$52°$
.(2)作EM平分∠GEF，交FG于点M.
①如图2，过点G作GN⊥FG，交直线EF于点N，求证:GN//EM.
②如图3，点P是ME的延长线上的一点，连接FP，若2∠CFP=3∠PFG，请写出∠FPM与∠DFG的数量关系，并说明理由.
答案
23.解:(1)$52°$
(2)①证明:$\because EM$平分$∠ GEF$,$\therefore ∠ FEM=∠ GEM=\frac{1}{2}∠ FEG$.
$\because FG$平分$∠ EFD$,$\therefore ∠ EFG=∠ DFG=\frac{1}{2}∠ EFD$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ FEG+∠ EFD=180°$.
$\therefore ∠ FEM+∠ EFG=\frac{1}{2}(∠ FEG+∠ EFD)=90°$.
$\therefore ∠ EMF=90°$.
$\because GN⊥ FG$,$\therefore ∠ NGF=90°$.
$\therefore ∠ NGF=∠ EMF$.
$\therefore GN// EM$.
②$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$.理由如下:
$\because 2∠ CFP=3∠ PFG$,$\therefore ∠ PFG=\frac{2}{5}∠ CFG$.
$\because ∠ EMF=90°$,$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}∠ CFG$.
$\because ∠ CFG=180°-∠ DFG$,$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}(180°-∠ DFG)=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$,即$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$.
(2)①证明:$\because EM$平分$∠ GEF$,$\therefore ∠ FEM=∠ GEM=\frac{1}{2}∠ FEG$.
$\because FG$平分$∠ EFD$,$\therefore ∠ EFG=∠ DFG=\frac{1}{2}∠ EFD$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ FEG+∠ EFD=180°$.
$\therefore ∠ FEM+∠ EFG=\frac{1}{2}(∠ FEG+∠ EFD)=90°$.
$\therefore ∠ EMF=90°$.
$\because GN⊥ FG$,$\therefore ∠ NGF=90°$.
$\therefore ∠ NGF=∠ EMF$.
$\therefore GN// EM$.
②$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$.理由如下:
$\because 2∠ CFP=3∠ PFG$,$\therefore ∠ PFG=\frac{2}{5}∠ CFG$.
$\because ∠ EMF=90°$,$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}∠ CFG$.
$\because ∠ CFG=180°-∠ DFG$,$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}(180°-∠ DFG)=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$,即$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$.
解析
【分析】
(1) 首先利用平行线的内错角相等性质，由$AB// CD$得到$∠ EGF=∠ GFD$，再结合FG平分$∠ EFD$推出$∠ EFD=2∠ GFD$，最后根据平行线内错角相等，得$∠ AEF=∠ EFD$，代入数值即可求解。
(2) ① 要证$GN// EM$，可通过证明同位角相等推导：先根据角平分线定义表示出$∠ FEM$和$∠ EFG$，结合$AB// CD$的同旁内角互补性质，推出$∠ FEM+∠ EFG=90°$，即$∠ EMF=90°$，再结合$GN⊥ FG$得$∠ NGF=90°$，同位角相等即可判定两直线平行。
② 先根据$2∠ CFP=3∠ PFG$将$∠ PFG$用$∠ CFG$表示，再由直角三角形两锐角互余得$∠ FPM=90°-∠ PFG$，最后结合$∠ CFG=180°-∠ DFG$代入化简，即可得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) 解：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ EGF=∠ GFD=26°$，
$\because FG$平分$∠ EFD$，$\therefore ∠ EFD=2∠ GFD=2×26°=52°$，
又$\because AB// CD$，$\therefore ∠ AEF=∠ EFD=52°$。
(2) ① 证明：
$\because EM$平分$∠ GEF$，$\therefore ∠ FEM=∠ GEM=\frac{1}{2}∠ FEG$，
$\because FG$平分$∠ EFD$，$\therefore ∠ EFG=∠ DFG=\frac{1}{2}∠ EFD$，
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ FEG+∠ EFD=180°$，
$\therefore ∠ FEM+∠ EFG=\frac{1}{2}(∠ FEG+∠ EFD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ EMF$中，$∠ EMF=180°-(∠ FEM+∠ EFG)=90°$，
$\because GN⊥ FG$，$\therefore ∠ NGF=90°$，
$\therefore ∠ NGF=∠ EMF$，
$\therefore GN// EM$（同位角相等，两直线平行）。
② 解：$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$，理由如下：
$\because 2∠ CFP=3∠ PFG$，即$∠ CFP=\frac{3}{2}∠ PFG$，
又$\because ∠ CFG=∠ CFP+∠ PFG=\frac{3}{2}∠ PFG+∠ PFG=\frac{5}{2}∠ PFG$，
$\therefore ∠ PFG=\frac{2}{5}∠ CFG$，
由①知$∠ EMF=90°$，在$Rt△ PMF$中，$∠ FPM=90°-∠ PFG$，
$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}∠ CFG$，
$\because ∠ CFG+∠ DFG=180°$，$\therefore ∠ CFG=180°-∠ DFG$，
代入得：$∠ FPM=90°-\frac{2}{5}(180°-∠ DFG)=90°-72°+\frac{2}{5}∠ DFG=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$，
即$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$。
【答案】
(1) $\boxed{52°}$
(2) ① 证明见上述解析；② $\boxed{∠ FPM=\dfrac{2}{5}∠ DFG+18°}$
【知识点】
平行线的性质与判定；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用题，解题核心是熟练运用平行线的性质进行角度转化，结合角平分线的定义推导角度关系，能有效考查学生的逻辑推理能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 首先利用平行线的内错角相等性质，由$AB// CD$得到$∠ EGF=∠ GFD$，再结合FG平分$∠ EFD$推出$∠ EFD=2∠ GFD$，最后根据平行线内错角相等，得$∠ AEF=∠ EFD$，代入数值即可求解。
(2) ① 要证$GN// EM$，可通过证明同位角相等推导：先根据角平分线定义表示出$∠ FEM$和$∠ EFG$，结合$AB// CD$的同旁内角互补性质，推出$∠ FEM+∠ EFG=90°$，即$∠ EMF=90°$，再结合$GN⊥ FG$得$∠ NGF=90°$，同位角相等即可判定两直线平行。
② 先根据$2∠ CFP=3∠ PFG$将$∠ PFG$用$∠ CFG$表示，再由直角三角形两锐角互余得$∠ FPM=90°-∠ PFG$，最后结合$∠ CFG=180°-∠ DFG$代入化简，即可得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) 解：$\because AB// CD$，$\therefore ∠ EGF=∠ GFD=26°$，
$\because FG$平分$∠ EFD$，$\therefore ∠ EFD=2∠ GFD=2×26°=52°$，
又$\because AB// CD$，$\therefore ∠ AEF=∠ EFD=52°$。
(2) ① 证明：
$\because EM$平分$∠ GEF$，$\therefore ∠ FEM=∠ GEM=\frac{1}{2}∠ FEG$，
$\because FG$平分$∠ EFD$，$\therefore ∠ EFG=∠ DFG=\frac{1}{2}∠ EFD$，
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ FEG+∠ EFD=180°$，
$\therefore ∠ FEM+∠ EFG=\frac{1}{2}(∠ FEG+∠ EFD)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ EMF$中，$∠ EMF=180°-(∠ FEM+∠ EFG)=90°$，
$\because GN⊥ FG$，$\therefore ∠ NGF=90°$，
$\therefore ∠ NGF=∠ EMF$，
$\therefore GN// EM$（同位角相等，两直线平行）。
② 解：$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$，理由如下：
$\because 2∠ CFP=3∠ PFG$，即$∠ CFP=\frac{3}{2}∠ PFG$，
又$\because ∠ CFG=∠ CFP+∠ PFG=\frac{3}{2}∠ PFG+∠ PFG=\frac{5}{2}∠ PFG$，
$\therefore ∠ PFG=\frac{2}{5}∠ CFG$，
由①知$∠ EMF=90°$，在$Rt△ PMF$中，$∠ FPM=90°-∠ PFG$，
$\therefore ∠ FPM=90°-\frac{2}{5}∠ CFG$，
$\because ∠ CFG+∠ DFG=180°$，$\therefore ∠ CFG=180°-∠ DFG$，
代入得：$∠ FPM=90°-\frac{2}{5}(180°-∠ DFG)=90°-72°+\frac{2}{5}∠ DFG=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$，
即$∠ FPM=\frac{2}{5}∠ DFG+18°$。
【答案】
(1) $\boxed{52°}$
(2) ① 证明见上述解析；② $\boxed{∠ FPM=\dfrac{2}{5}∠ DFG+18°}$
【知识点】
平行线的性质与判定；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用题，解题核心是熟练运用平行线的性质进行角度转化，结合角平分线的定义推导角度关系，能有效考查学生的逻辑推理能力和角度计算能力。
【难度系数】
0.65
