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1. 甲地6月连续5日的平均气温(单位:℃)为24,30,28,26,22,则甲地平均气温的离差平方和为
40
.答案
40
解析
【分析】
要计算离差平方和，首先需明确离差平方和的定义：一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的总和。因此解题分两步进行：第一步先计算这5日平均气温的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，再将所有平方值相加，即可得到离差平方和。
【解析】
1. 先计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{24+30+28+26+22}{5}=\frac{130}{5}=26$
2. 再计算离差平方和：
离差平方和$=(24-26)^2+(30-26)^2+(28-26)^2+(26-26)^2+(22-26)^2$
$=(-2)^2+4^2+2^2+0^2+(-4)^2$
$=4+16+4+0+16$
$=40$
【答案】
40
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握离差平方和的计算逻辑，计算过程中注意平均数的求解准确性以及平方运算、加法运算的正确性即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算离差平方和，首先需明确离差平方和的定义：一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的总和。因此解题分两步进行：第一步先计算这5日平均气温的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，再将所有平方值相加，即可得到离差平方和。
【解析】
1. 先计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{24+30+28+26+22}{5}=\frac{130}{5}=26$
2. 再计算离差平方和：
离差平方和$=(24-26)^2+(30-26)^2+(28-26)^2+(26-26)^2+(22-26)^2$
$=(-2)^2+4^2+2^2+0^2+(-4)^2$
$=4+16+4+0+16$
$=40$
【答案】
40
【知识点】
平均数的计算、离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握离差平方和的计算逻辑，计算过程中注意平均数的求解准确性以及平方运算、加法运算的正确性即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 已知一个样本数据为2,3,4,5,6,则这组数据的方差和标准差分别是 。
答案
2,$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算这组数据的方差和标准差，需遵循固定计算步骤：首先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，最后对方差开算术平方根即可得到标准差。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差
$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
第三步：计算标准差，标准差是方差的算术平方根
$s=\sqrt{2}$
【答案】
$2,\sqrt{2}$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；标准差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差和标准差的基本计算规则，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算这组数据的方差和标准差，需遵循固定计算步骤：首先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，最后对方差开算术平方根即可得到标准差。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差
$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)$
$=\frac{1}{5}×10=2$
第三步：计算标准差，标准差是方差的算术平方根
$s=\sqrt{2}$
【答案】
$2,\sqrt{2}$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；标准差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差和标准差的基本计算规则，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等，方差分别为$s^{2}_{甲}=6.5$，$s^{2}_{乙}=5.4$，则成绩较稳定的是
乙
（填“甲”或“乙”）。答案
乙
解析
【分析】
要判断谁的成绩更稳定，需结合方差的意义分析。首先明确：在平均数相同的前提下，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此本题只需比较甲、乙两人方差的大小，即可得出结论。
【解析】
方差的性质：当两组数据的平均数相等时，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。
已知甲、乙成绩的平均数相等，且$s^{2}_{甲}=6.5$，$s^{2}_{乙}=5.4$，
因为$6.5＞5.4$，即$s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，
所以乙的成绩波动更小，成绩更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义、数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查方差与数据稳定性的对应关系，熟练掌握方差的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断谁的成绩更稳定，需结合方差的意义分析。首先明确：在平均数相同的前提下，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此本题只需比较甲、乙两人方差的大小，即可得出结论。
【解析】
方差的性质：当两组数据的平均数相等时，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定。
已知甲、乙成绩的平均数相等，且$s^{2}_{甲}=6.5$，$s^{2}_{乙}=5.4$，
因为$6.5＞5.4$，即$s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，
所以乙的成绩波动更小，成绩更稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义、数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查方差与数据稳定性的对应关系，熟练掌握方差的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.如图,这是甲、乙两人5次投篮成绩统计图(每人每次投球10个),则对于方差的描述正确的是 (
A.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
B.$s^2_甲 = s^2_乙$
C.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
D.无法确定
A
)A.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
B.$s^2_甲 = s^2_乙$
C.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大，反之越小。解题思路如下：第一步先从折线统计图中分别提取甲、乙两人5次投篮的成绩；第二步分别计算两人成绩的平均数；第三步根据方差公式分别计算两人成绩的方差；第四步比较两个方差的大小，即可得到结论。也可直接观察折线的起伏程度，乙的成绩起伏明显比甲大，可初步判断乙方差更大，再通过计算验证即可。
【解析】
首先从统计图中读取两人的5次投篮成绩：
甲的成绩：8，7，8，9，8
乙的成绩：7，10，6，7，10
①计算甲的平均数和方差：
$\overline{x}_甲 = \frac{8+7+8+9+8}{5} = 8$
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(8-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2] = \frac{1}{5}×(0+1+0+1+0) = 0.4$
②计算乙的平均数和方差：
$\overline{x}_乙 = \frac{7+10+6+7+10}{5} = 8$
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(7-8)^2 + (10-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2] = \frac{1}{5}×(1+4+4+1+4) = 2.8$
比较得$0.4 ＜ 2.8$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图读取、方差的意义、方差的计算
【点评】
本题结合折线统计图考查方差的相关知识，既可以通过观察数据的波动程度快速判断结果，也可以通过代入方差公式计算得到准确结论，解题时要注意正确提取统计图中的数据，牢记方差的计算方法。
【难度系数】
0.8
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大，反之越小。解题思路如下：第一步先从折线统计图中分别提取甲、乙两人5次投篮的成绩；第二步分别计算两人成绩的平均数；第三步根据方差公式分别计算两人成绩的方差；第四步比较两个方差的大小，即可得到结论。也可直接观察折线的起伏程度，乙的成绩起伏明显比甲大，可初步判断乙方差更大，再通过计算验证即可。
【解析】
首先从统计图中读取两人的5次投篮成绩：
甲的成绩：8，7，8，9，8
乙的成绩：7，10，6，7，10
①计算甲的平均数和方差：
$\overline{x}_甲 = \frac{8+7+8+9+8}{5} = 8$
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(8-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (8-8)^2] = \frac{1}{5}×(0+1+0+1+0) = 0.4$
②计算乙的平均数和方差：
$\overline{x}_乙 = \frac{7+10+6+7+10}{5} = 8$
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(7-8)^2 + (10-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2] = \frac{1}{5}×(1+4+4+1+4) = 2.8$
比较得$0.4 ＜ 2.8$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图读取、方差的意义、方差的计算
【点评】
本题结合折线统计图考查方差的相关知识，既可以通过观察数据的波动程度快速判断结果，也可以通过代入方差公式计算得到准确结论，解题时要注意正确提取统计图中的数据，牢记方差的计算方法。
【难度系数】
0.8
5.八(1)班组织了一次食品安全知识竞赛，甲、乙两队各5人的成绩如下表所示(10分制)。
(1)乙队成绩的众数是
(2)分别计算甲队、乙队的方差，并判断哪队的成绩更稳定.为什么？
(1)乙队成绩的众数是
8
分.(2)分别计算甲队、乙队的方差，并判断哪队的成绩更稳定.为什么？
答案
(1)8
(2)$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}×(8+10+9+6+9)=8.4$,$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(8-8.4)^2+(10-8.4)^2+(9-8.4)^2+(6-8.4)^2+(9-8.4)^2]=1.84$.$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{5}×(10+8+9+7+8)=8.4$,$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(10-8.4)^2+(8-8.4)^2+(9-8.4)^2+(7-8.4)^2+(8-8.4)^2]=1.04$. $\because s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$,$\therefore$乙队的成绩更稳定.
(2)$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}×(8+10+9+6+9)=8.4$,$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(8-8.4)^2+(10-8.4)^2+(9-8.4)^2+(6-8.4)^2+(9-8.4)^2]=1.84$.$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{5}×(10+8+9+7+8)=8.4$,$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(10-8.4)^2+(8-8.4)^2+(9-8.4)^2+(7-8.4)^2+(8-8.4)^2]=1.04$. $\because s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$,$\therefore$乙队的成绩更稳定.
解析
【分析】
(1) 求解乙队成绩的众数，首先明确众数定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，只需统计乙队各成绩的出现次数，找到出现次数最多的数值即可。
(2) 要判断哪队成绩更稳定，需比较两队成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题步骤为：先计算两队成绩的平均数，再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算甲、乙两队的方差，最后比较两个方差的大小得出结论。
【解析】
(1) 乙队的成绩为10、8、9、7、8，其中8出现2次，其余成绩各出现1次，出现次数最多，因此乙队成绩的众数是8分。
(2) 计算甲队平均成绩：
$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}×(8+10+9+6+9)=8.4$
甲队方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(8-8.4)^2+(10-8.4)^2+(9-8.4)^2+(6-8.4)^2+(9-8.4)^2]=1.84$
计算乙队平均成绩：
$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{5}×(10+8+9+7+8)=8.4$
乙队方差：
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(10-8.4)^2+(8-8.4)^2+(9-8.4)^2+(7-8.4)^2+(8-8.4)^2]=1.04$
$\because s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，方差越小成绩稳定性越强，$\therefore$乙队的成绩更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 甲队方差为$\boxed{1.84}$，乙队方差为$\boxed{1.04}$，乙队成绩更稳定，因为乙队成绩的方差更小。
【知识点】
众数的概念；平均数计算；方差的应用
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查众数、平均数、方差的相关计算以及方差的实际意义，牢记相关定义和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解乙队成绩的众数，首先明确众数定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，只需统计乙队各成绩的出现次数，找到出现次数最多的数值即可。
(2) 要判断哪队成绩更稳定，需比较两队成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题步骤为：先计算两队成绩的平均数，再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算甲、乙两队的方差，最后比较两个方差的大小得出结论。
【解析】
(1) 乙队的成绩为10、8、9、7、8，其中8出现2次，其余成绩各出现1次，出现次数最多，因此乙队成绩的众数是8分。
(2) 计算甲队平均成绩：
$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}×(8+10+9+6+9)=8.4$
甲队方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}×[(8-8.4)^2+(10-8.4)^2+(9-8.4)^2+(6-8.4)^2+(9-8.4)^2]=1.84$
计算乙队平均成绩：
$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{5}×(10+8+9+7+8)=8.4$
乙队方差：
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(10-8.4)^2+(8-8.4)^2+(9-8.4)^2+(7-8.4)^2+(8-8.4)^2]=1.04$
$\because s^{2}_{甲}＞s^{2}_{乙}$，方差越小成绩稳定性越强，$\therefore$乙队的成绩更稳定。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 甲队方差为$\boxed{1.84}$，乙队方差为$\boxed{1.04}$，乙队成绩更稳定，因为乙队成绩的方差更小。
【知识点】
众数的概念；平均数计算；方差的应用
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查众数、平均数、方差的相关计算以及方差的实际意义，牢记相关定义和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 某校有甲、乙两个模特队，两队人数一样，队员的平均体重都为50 kg，离差平方和分别是$S^2_甲$，$S^2_乙$，且$S^2_甲 ＞ S^2_乙$，则两个队的队员的体型较整齐的是（
A.甲队
B.两队一样整齐
C.乙队
D.不能确定
C
）A.甲队
B.两队一样整齐
C.乙队
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确离差平方和的作用：它是衡量一组数据波动大小的统计量。首先提取题目已知条件：甲乙两队人数相等、平均体重相同，满足离差平方和比较的前提。此时离差平方和越大，说明数据偏离平均值的程度越大，数据波动越大，整齐度越差；反之离差平方和越小，数据越整齐。再结合给出的$S^2_甲 ＞ S^2_乙$的条件，即可判断出哪队体型更整齐。
【解析】
离差平方和反映一组数据中各数据与平均数的偏离程度，当两组数据的样本容量（人数）相同、平均数相等时，离差平方和越小，说明这组数据的波动越小，整齐度越高。
已知甲乙两队人数一样，平均体重均为50kg，且$S^2_甲 ＞ S^2_乙$，因此乙队的体重波动更小，队员体型更整齐。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
离差平方和的意义；数据离散程度判断
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，核心是理解离差平方和与数据稳定性的对应关系，掌握比较的前提条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确离差平方和的作用：它是衡量一组数据波动大小的统计量。首先提取题目已知条件：甲乙两队人数相等、平均体重相同，满足离差平方和比较的前提。此时离差平方和越大，说明数据偏离平均值的程度越大，数据波动越大，整齐度越差；反之离差平方和越小，数据越整齐。再结合给出的$S^2_甲 ＞ S^2_乙$的条件，即可判断出哪队体型更整齐。
【解析】
离差平方和反映一组数据中各数据与平均数的偏离程度，当两组数据的样本容量（人数）相同、平均数相等时，离差平方和越小，说明这组数据的波动越小，整齐度越高。
已知甲乙两队人数一样，平均体重均为50kg，且$S^2_甲 ＞ S^2_乙$，因此乙队的体重波动更小，队员体型更整齐。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
离差平方和的意义；数据离散程度判断
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，核心是理解离差平方和与数据稳定性的对应关系，掌握比较的前提条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是180,182,184,186,190,194.现用一名身高为188 cm的队员换下场上身高为194 cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高 （
A.平均数变大,方差变大
B.平均数变大,方差变小
C.平均数变小,方差变大
D.平均数变小,方差变小
D
）A.平均数变大,方差变大
B.平均数变大,方差变小
C.平均数变小,方差变大
D.平均数变小,方差变小
答案
D
解析
【分析】
解题时可分两步判断：第一步判断平均数变化：平均数等于数据总和除以数据个数，本题中队员总人数始终为6，换下的194cm队员身高高于换上的188cm队员，因此总身高减少，人数不变，可得平均数变小，直接排除A、B选项。第二步判断方差变化：方差是衡量数据波动大小的量，数据越集中波动越小，方差越小。替换后去掉了原数据中最大的极端值194cm，换成更接近中间值的188cm，数据分布更集中，波动更小，因此方差变小，也可通过分别计算两组数据的方差验证结论，最终确定答案。
【解析】
1. 计算平均数：
换人前总身高：$180+182+184+186+190+194=1116\,\mathrm{cm}$
换人前平均数：$\overline{x}_\mathrm{前}=\frac{1116}{6}=186\,\mathrm{cm}$
换人后总身高：$1116-194+188=1110\,\mathrm{cm}$
换人后平均数：$\overline{x}_\mathrm{后}=\frac{1110}{6}=185\,\mathrm{cm}$
可得$185＜186$，平均数变小。
2. 计算方差：
换人前方差：
$s^2_\mathrm{前}=\frac{1}{6}×[(180-186)^2+(182-186)^2+(184-186)^2+(186-186)^2+(190-186)^2+(194-186)^2]$
$=\frac{1}{6}×(36+16+4+0+16+64)=\frac{136}{6}\approx22.67$
换人后方差：
$s^2_\mathrm{后}=\frac{1}{6}×[(180-185)^2+(182-185)^2+(184-185)^2+(186-185)^2+(190-185)^2+(188-185)^2]$
$=\frac{1}{6}×(25+9+1+1+25+9)=\frac{70}{6}\approx11.67$
可得$11.67＜22.67$，方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的意义；方差的计算
【点评】
本题侧重考查统计量平均数和方差的概念应用，既可以通过公式定量计算得出结论，也可以结合方差的实际意义定性判断，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步判断：第一步判断平均数变化：平均数等于数据总和除以数据个数，本题中队员总人数始终为6，换下的194cm队员身高高于换上的188cm队员，因此总身高减少，人数不变，可得平均数变小，直接排除A、B选项。第二步判断方差变化：方差是衡量数据波动大小的量，数据越集中波动越小，方差越小。替换后去掉了原数据中最大的极端值194cm，换成更接近中间值的188cm，数据分布更集中，波动更小，因此方差变小，也可通过分别计算两组数据的方差验证结论，最终确定答案。
【解析】
1. 计算平均数：
换人前总身高：$180+182+184+186+190+194=1116\,\mathrm{cm}$
换人前平均数：$\overline{x}_\mathrm{前}=\frac{1116}{6}=186\,\mathrm{cm}$
换人后总身高：$1116-194+188=1110\,\mathrm{cm}$
换人后平均数：$\overline{x}_\mathrm{后}=\frac{1110}{6}=185\,\mathrm{cm}$
可得$185＜186$，平均数变小。
2. 计算方差：
换人前方差：
$s^2_\mathrm{前}=\frac{1}{6}×[(180-186)^2+(182-186)^2+(184-186)^2+(186-186)^2+(190-186)^2+(194-186)^2]$
$=\frac{1}{6}×(36+16+4+0+16+64)=\frac{136}{6}\approx22.67$
换人后方差：
$s^2_\mathrm{后}=\frac{1}{6}×[(180-185)^2+(182-185)^2+(184-185)^2+(186-185)^2+(190-185)^2+(188-185)^2]$
$=\frac{1}{6}×(25+9+1+1+25+9)=\frac{70}{6}\approx11.67$
可得$11.67＜22.67$，方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的意义；方差的计算
【点评】
本题侧重考查统计量平均数和方差的概念应用，既可以通过公式定量计算得出结论，也可以结合方差的实际意义定性判断，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.7
8. 一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据 $3x_1+2,3x_2+2,\dots,3x_n+2$ 的标准差是
12
。答案
12
解析
【分析】
解题时首先回忆数据线性变换（即每个数据变为$ax+b$的形式）下统计量的变化规律：给每个数据加上同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差、标准差都不变；给每个数据乘以同一个非零常数$a$，方差变为原来的$a^2$倍，标准差变为原来的$|a|$倍。本题中新数据是原数据每个乘3加2，我们可以先算出原数据的标准差，再根据变换规律直接求新数据的标准差，也可以先求新数据的方差再开方得到标准差。
【解析】
解：已知原数据的方差为16，
先计算原数据的标准差：原标准差$=\sqrt{16}=4$，
当一组数据每个元素都变为$3x_i+2$时，常数项2不改变数据的波动大小，仅系数3会让标准差扩大为原来的3倍，
因此新数据的标准差$=3×4=12$。
也可通过方差计算验证：新数据的方差$=3^2×16=144$，新数据的标准差$=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 方差的性质
2. 标准差的计算
【点评】
本题考查数据线性变换后方差和标准差的变化规律，解题核心是明确常数项不影响数据的波动程度，只有缩放系数会改变方差和标准差的大小，熟练掌握规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆数据线性变换（即每个数据变为$ax+b$的形式）下统计量的变化规律：给每个数据加上同一个常数，数据的波动程度不变，因此方差、标准差都不变；给每个数据乘以同一个非零常数$a$，方差变为原来的$a^2$倍，标准差变为原来的$|a|$倍。本题中新数据是原数据每个乘3加2，我们可以先算出原数据的标准差，再根据变换规律直接求新数据的标准差，也可以先求新数据的方差再开方得到标准差。
【解析】
解：已知原数据的方差为16，
先计算原数据的标准差：原标准差$=\sqrt{16}=4$，
当一组数据每个元素都变为$3x_i+2$时，常数项2不改变数据的波动大小，仅系数3会让标准差扩大为原来的3倍，
因此新数据的标准差$=3×4=12$。
也可通过方差计算验证：新数据的方差$=3^2×16=144$，新数据的标准差$=\sqrt{144}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 方差的性质
2. 标准差的计算
【点评】
本题考查数据线性变换后方差和标准差的变化规律，解题核心是明确常数项不影响数据的波动程度，只有缩放系数会改变方差和标准差的大小，熟练掌握规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
9.某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试.已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同,小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表,并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
|次数|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|
|成绩/分|35|39|
|$a$|40|
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2.$
根据上述信息,解答下列问题:
(1)$a$的值是
(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩,你认为谁的体育成绩更稳定?并说明理由.
(3)如果甲再测试1次,第六次模拟测试成绩为38分,与前5次相比,甲6次模拟测试成绩的标准差
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
|次数|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|
|成绩/分|35|39|
|$a$|40|小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}[(36-38)^{2}+(38-38)^{2}+(37-38)^{2}+(39-38)^{2}+(40-38)^{2}]=2.$
根据上述信息,解答下列问题:
(1)$a$的值是
39
.(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩,你认为谁的体育成绩更稳定?并说明理由.
(3)如果甲再测试1次,第六次模拟测试成绩为38分,与前5次相比,甲6次模拟测试成绩的标准差
变小
.(填“变大”“变小”或“不变”)答案
(1)39
(2)乙的体育成绩更好.理由:$\because \overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}(35+39+37+39+40)=38$(分),$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]=3.2$,$\therefore s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$.乙的成绩更稳定.
(3)变小
(2)乙的体育成绩更好.理由:$\because \overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}(35+39+37+39+40)=38$(分),$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]=3.2$,$\therefore s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$.乙的成绩更稳定.
(3)变小
解析
【分析】
(1) 先从乙的方差计算式中提取乙的平均成绩，计算乙的五次测试总分，结合甲乙总分相同的条件，列等式求解a的值；
(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小成绩越稳定，因此先计算甲的平均成绩，再计算甲的方差，与乙的方差比较大小即可得出结论；
(3) 标准差由方差决定，第六次成绩等于甲前五次的平均成绩，加入后离差平方和不变但数据个数增加，方差减小，因此标准差也随之变小。
【解析】
(1) 由乙的方差计算式可知，乙的平均成绩为38分，因此乙的五次总分为：$38×5=190$分。
已知甲乙两人五次总分相同，因此甲的五次总分也为190分，列等式：
$35+39+37+a+40=190$
计算得：$151+a=190$，解得$a=39$。
(2) 乙的体育成绩更稳定，理由如下：
首先计算甲的平均成绩：$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}(35+39+37+39+40)=38$（分）
再计算甲的成绩方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]=\frac{1}{5}(9+1+1+1+4)=3.2$
已知$s^{2}_{乙}=2$，可得$s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$，根据方差越小成绩越稳定的性质，可知乙的体育成绩更稳定。
(3) 前5次甲的平均成绩为38分，第六次成绩为38分，因此六次的平均成绩仍为38分。
前5次的离差平方和为$5×3.2=16$，加入第六次成绩后，离差平方和为$16+(38-38)^2=16$，六次成绩的方差为$s^{2}_{甲新}=\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，方差变小，因此标准差也变小。
【答案】
(1) $\boxed{39}$
(2) 乙的体育成绩更稳定，理由：甲的方差为3.2，大于乙的方差2，方差越小成绩越稳定，因此乙的成绩更稳定。
(3) $\boxed{变小}$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算与应用；标准差的概念
【点评】
本题围绕统计中方差、标准差的性质展开考查，解题的关键是明确总分与平均数的关系，理解方差反映数据波动程度的意义，熟练掌握方差的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 先从乙的方差计算式中提取乙的平均成绩，计算乙的五次测试总分，结合甲乙总分相同的条件，列等式求解a的值；
(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小成绩越稳定，因此先计算甲的平均成绩，再计算甲的方差，与乙的方差比较大小即可得出结论；
(3) 标准差由方差决定，第六次成绩等于甲前五次的平均成绩，加入后离差平方和不变但数据个数增加，方差减小，因此标准差也随之变小。
【解析】
(1) 由乙的方差计算式可知，乙的平均成绩为38分，因此乙的五次总分为：$38×5=190$分。
已知甲乙两人五次总分相同，因此甲的五次总分也为190分，列等式：
$35+39+37+a+40=190$
计算得：$151+a=190$，解得$a=39$。
(2) 乙的体育成绩更稳定，理由如下：
首先计算甲的平均成绩：$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{5}(35+39+37+39+40)=38$（分）
再计算甲的成绩方差：
$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(35-38)^2+(39-38)^2+(37-38)^2+(39-38)^2+(40-38)^2]=\frac{1}{5}(9+1+1+1+4)=3.2$
已知$s^{2}_{乙}=2$，可得$s^{2}_{乙}＜s^{2}_{甲}$，根据方差越小成绩越稳定的性质，可知乙的体育成绩更稳定。
(3) 前5次甲的平均成绩为38分，第六次成绩为38分，因此六次的平均成绩仍为38分。
前5次的离差平方和为$5×3.2=16$，加入第六次成绩后，离差平方和为$16+(38-38)^2=16$，六次成绩的方差为$s^{2}_{甲新}=\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，方差变小，因此标准差也变小。
【答案】
(1) $\boxed{39}$
(2) 乙的体育成绩更稳定，理由：甲的方差为3.2，大于乙的方差2，方差越小成绩越稳定，因此乙的成绩更稳定。
(3) $\boxed{变小}$
【知识点】
平均数的计算；方差的计算与应用；标准差的概念
【点评】
本题围绕统计中方差、标准差的性质展开考查，解题的关键是明确总分与平均数的关系，理解方差反映数据波动程度的意义，熟练掌握方差的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
