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1.数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣.某校为了解学生对数学文化知识掌握情况,以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动,其中甲、乙、丙、丁四个班的平均成绩较为突出,部分数据如下表:
根据表中数据,成绩较好且较为稳定的班级是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,成绩较好且较为稳定的班级是 (
A
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1.A
解析
【分析】
要选出成绩较好且较为稳定的班级，需结合平均数和方差两个统计量的意义判断：①成绩较好即平均成绩更高，因此首先比较四个班级的平均成绩，筛选出平均成绩高的班级；②成绩稳定即成绩波动更小，而方差是衡量数据波动大小的量，方差越小波动越小，因此在平均成绩高的班级中，再筛选出方差最小的班级即可得到答案。
【解析】
第一步：比较四个班级的平均成绩：
甲班平均成绩$\overline{x}_甲=87$，乙班$\overline{x}_乙=87$，丙班$\overline{x}_丙=82$，丁班$\overline{x}_丁=85$，
可知甲、乙两班平均成绩更高，首先排除成绩较低的丙、丁班。
第二步：比较甲、乙两班的方差：
方差反映一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知$s^2_甲=0.12$，$s^2_乙=0.67$，可得$0.12＜0.67$，即甲班方差更小，成绩更稳定。
因此成绩较好且较为稳定的是甲班。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题的关键是明确平均数反映数据的整体平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，解题时需结合两个统计量的意义分步判断，切忌混淆方差与稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.85
要选出成绩较好且较为稳定的班级，需结合平均数和方差两个统计量的意义判断：①成绩较好即平均成绩更高，因此首先比较四个班级的平均成绩，筛选出平均成绩高的班级；②成绩稳定即成绩波动更小，而方差是衡量数据波动大小的量，方差越小波动越小，因此在平均成绩高的班级中，再筛选出方差最小的班级即可得到答案。
【解析】
第一步：比较四个班级的平均成绩：
甲班平均成绩$\overline{x}_甲=87$，乙班$\overline{x}_乙=87$，丙班$\overline{x}_丙=82$，丁班$\overline{x}_丁=85$，
可知甲、乙两班平均成绩更高，首先排除成绩较低的丙、丁班。
第二步：比较甲、乙两班的方差：
方差反映一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知$s^2_甲=0.12$，$s^2_乙=0.67$，可得$0.12＜0.67$，即甲班方差更小，成绩更稳定。
因此成绩较好且较为稳定的是甲班。
【答案】
A
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题的关键是明确平均数反映数据的整体平均水平，方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，解题时需结合两个统计量的意义分步判断，切忌混淆方差与稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.85
2.为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲、乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩(单位:分)分别是：
甲:98,84,88,90;乙:90,85,95,90.
已知通过计算，甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26.若学校计划从甲、乙两位同学中选择成绩更稳定的一位参加比赛，你认为选谁参加更合适？请说明理由.
甲:98,84,88,90;乙:90,85,95,90.
已知通过计算，甲同学四次测试成绩的平均数为90分，方差为26.若学校计划从甲、乙两位同学中选择成绩更稳定的一位参加比赛，你认为选谁参加更合适？请说明理由.
答案
2.解:选择乙参加比赛更合适.理由:乙同学测试成绩的平均数为$\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$(分);乙同学测试成绩的方差为$\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]=12.$
∵甲和乙的平均数都为90分,且乙的方差小于甲的方差,
∴乙同学成绩更稳定.
∴选择乙参加比赛更合适.
∵甲和乙的平均数都为90分,且乙的方差小于甲的方差,
∴乙同学成绩更稳定.
∴选择乙参加比赛更合适.
解析
【分析】
要判断哪位同学的成绩更稳定，需依据方差的性质：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。题目已给出甲的平均数和方差，因此我们首先需要计算乙的平均成绩，确认两人的平均水平是否相当，再计算乙的方差，将乙的方差与甲的方差对比，结合平均数的情况即可得出最终结论。
【解析】
首先计算乙同学四次测试成绩的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
再计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)=12$
已知甲的平均成绩为90分，方差为26，因此甲、乙两人的平均成绩相同，且$s^2_乙＜s^2_甲$，说明乙的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
选择乙参加比赛更合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际决策中的典型应用，解题的核心是明确方差的统计含义，掌握“平均水平相当时，方差越小数据越稳定”的判断规则，题目难度低，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
要判断哪位同学的成绩更稳定，需依据方差的性质：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。题目已给出甲的平均数和方差，因此我们首先需要计算乙的平均成绩，确认两人的平均水平是否相当，再计算乙的方差，将乙的方差与甲的方差对比，结合平均数的情况即可得出最终结论。
【解析】
首先计算乙同学四次测试成绩的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{4}×(90+85+95+90)=90$（分）
再计算乙同学测试成绩的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{4}×[(90-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2+(90-90)^2]=\frac{1}{4}×(0+25+25+0)=12$
已知甲的平均成绩为90分，方差为26，因此甲、乙两人的平均成绩相同，且$s^2_乙＜s^2_甲$，说明乙的成绩波动更小，更稳定。
【答案】
选择乙参加比赛更合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际决策中的典型应用，解题的核心是明确方差的统计含义，掌握“平均水平相当时，方差越小数据越稳定”的判断规则，题目难度低，贴近生活实际。
【难度系数】
0.8
3.某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件。学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查。分别从两个年级随机抽取50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并对数据进行了整理，信息如下：
根据上述信息回答下列问题：
(1)表格中的 $ m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_ $.
(2)从学过的统计量中任选两个，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价.
根据上述信息回答下列问题：
(1)表格中的 $ m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_ $.
(2)从学过的统计量中任选两个，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价.
答案
3.解:(1)4 3 (2)从平均数来看,八年级学生的平均投稿篇数大于七年级学生,而且从方差来看,八年级学生投稿篇数的方差小于七年级学生,所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 求解m、n首先要明确对应统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数。本次每个年级抽取50名学生，数据个数为偶数，中位数对应第25、26个数据的平均值，结合题中给出的统计信息即可求出m、n的值。
(2) 我们学过的统计量包括平均数、中位数、众数、方差，其中平均数、中位数、众数反映数据的集中趋势，方差反映数据的波动程度，任选两个统计量分别对应七、八年级的数值，再结合统计量的意义对比评价两个年级的投稿情况即可。
【解析】
(1) 结合题中统计信息，八年级投稿篇数中出现次数最多的是4篇，因此众数$m=4$；将七年级50名学生的投稿篇数从小到大排序后，第25、26个数据均为3，因此中位数$n=\frac{3+3}{2}=3$。
(2) 示例：选择平均数和方差进行比较：
通过计算可得，八年级学生投稿的平均篇数大于七年级学生，说明八年级整体投稿的平均水平更高；八年级投稿篇数的方差小于七年级学生，说明八年级学生的投稿篇数更稳定，因此八年级学生的投稿情况整体优于七年级。（答案不唯一，选中位数、众数等统计量进行合理分析均可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 从平均数来看，八年级学生的平均投稿篇数大于七年级学生，而且从方差来看，八年级学生投稿篇数的方差小于七年级学生，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
众数与中位数，统计量的应用，方差的意义
【点评】
本题以校园投稿调查为背景，考查了常见统计量的含义与实际应用，需要学生熟练掌握各统计量的计算方法和代表意义，能够结合数据对实际问题作出合理的分析判断，兼具基础性和应用性。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m、n首先要明确对应统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数。本次每个年级抽取50名学生，数据个数为偶数，中位数对应第25、26个数据的平均值，结合题中给出的统计信息即可求出m、n的值。
(2) 我们学过的统计量包括平均数、中位数、众数、方差，其中平均数、中位数、众数反映数据的集中趋势，方差反映数据的波动程度，任选两个统计量分别对应七、八年级的数值，再结合统计量的意义对比评价两个年级的投稿情况即可。
【解析】
(1) 结合题中统计信息，八年级投稿篇数中出现次数最多的是4篇，因此众数$m=4$；将七年级50名学生的投稿篇数从小到大排序后，第25、26个数据均为3，因此中位数$n=\frac{3+3}{2}=3$。
(2) 示例：选择平均数和方差进行比较：
通过计算可得，八年级学生投稿的平均篇数大于七年级学生，说明八年级整体投稿的平均水平更高；八年级投稿篇数的方差小于七年级学生，说明八年级学生的投稿篇数更稳定，因此八年级学生的投稿情况整体优于七年级。（答案不唯一，选中位数、众数等统计量进行合理分析均可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 从平均数来看，八年级学生的平均投稿篇数大于七年级学生，而且从方差来看，八年级学生投稿篇数的方差小于七年级学生，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
众数与中位数，统计量的应用，方差的意义
【点评】
本题以校园投稿调查为背景，考查了常见统计量的含义与实际应用，需要学生熟练掌握各统计量的计算方法和代表意义，能够结合数据对实际问题作出合理的分析判断，兼具基础性和应用性。
【难度系数】
0.7
4. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12.要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分组情况的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这5名同学按引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是 (
A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这5名同学按引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是 (
B
)A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
答案
4.B
解析
【分析】
解题的核心是理解题意：我们要选择组内同学引体向上个数相差小的分组，而组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小，组内数据的差异就越小。因此我们只需要对比表格中4种分组对应的组内离差平方和的大小，找到离差平方和最小的分组，再对应到选项即可。
【解析】
首先将4种分组和表格中的离差平方和对应：
1. 分组为1个+4个（对应选项A）：组内离差平方和为18.8；
2. 分组为2个+3个（对应选项B）：组内离差平方和为6.7；
3. 分组为3个+2个（对应选项C）：组内离差平方和为14.7；
4. 分组为4个+1个（对应选项D）：组内离差平方和为22.8。
对比四个数值大小可得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，因此最小的组内离差平方和为6.7，对应的分组是2个一组和3个一组，即{7,9}和{12,13,15}，符合题目要求。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和的意义，数据分组，方差的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查对统计中离散程度指标的理解，解题关键是读懂题意，明确“组内离差平方和越小，组内数据差异越小”的规律，不需要复杂计算，只需对比数值大小即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解题意：我们要选择组内同学引体向上个数相差小的分组，而组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小，组内数据的差异就越小。因此我们只需要对比表格中4种分组对应的组内离差平方和的大小，找到离差平方和最小的分组，再对应到选项即可。
【解析】
首先将4种分组和表格中的离差平方和对应：
1. 分组为1个+4个（对应选项A）：组内离差平方和为18.8；
2. 分组为2个+3个（对应选项B）：组内离差平方和为6.7；
3. 分组为3个+2个（对应选项C）：组内离差平方和为14.7；
4. 分组为4个+1个（对应选项D）：组内离差平方和为22.8。
对比四个数值大小可得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，因此最小的组内离差平方和为6.7，对应的分组是2个一组和3个一组，即{7,9}和{12,13,15}，符合题目要求。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和的意义，数据分组，方差的应用
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查对统计中离散程度指标的理解，解题关键是读懂题意，明确“组内离差平方和越小，组内数据差异越小”的规律，不需要复杂计算，只需对比数值大小即可得到答案。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法,将四名学生按竞赛成绩分成两组.
答案
5.解:将4个数据由小到大排序:15,15,18,24.把4个数据分成两组,共有3种情况.分别计算出各种分组情况的组内离差平方和,如下表:
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| 第一组1个,第二组3个 | 42 |
| 第一组2个,第二组2个 | 18 |
| 第一组3个,第二组1个 | 6 |
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小.因此,将四名学生按竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| 第一组1个,第二组3个 | 42 |
| 第一组2个,第二组2个 | 18 |
| 第一组3个,第二组1个 | 6 |
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小.因此,将四名学生按竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
解析
【分析】
要按照“组内离差平方和最小”的要求分组，首先明确组内离差平方和是组内各数据与组平均数的差的平方和，数值越小说明组内数据越接近。解题时先将数据从小到大排序，再枚举所有分两组的可能情况，分别计算每种情况的两组离差平方和总和，比较后选择总和最小的分组即可。
【解析】
步骤1：将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。
步骤2：枚举所有分两组的非空分组情况，分别计算总组内离差平方和：
① 分组为1个一组、3个一组（最小的数单独一组）：
单个数组{15}只有1个数据，离差平方和为0；
3人组{15,18,24}的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
② 分组为2个一组、2个一组：
第一组{15,15}的平均数为15，离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
第二组{18,24}的平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
③ 分组为3个一组、1个一组（最大的数单独一组）：
3人组{15,15,18}的平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
单个数组{24}只有1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
步骤3：比较三种情况的总离差平方和：$6＜18＜42$，第三种情况总离差平方和最小。
【答案】
两组分别是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
离差平方和计算，数据分组，平均数计算
【点评】
本题考查离差平方和在数据分组中的应用，解题的核心是有序枚举所有分组情况，通过计算比较得到最优分组，能有效提升学生的数据分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要按照“组内离差平方和最小”的要求分组，首先明确组内离差平方和是组内各数据与组平均数的差的平方和，数值越小说明组内数据越接近。解题时先将数据从小到大排序，再枚举所有分两组的可能情况，分别计算每种情况的两组离差平方和总和，比较后选择总和最小的分组即可。
【解析】
步骤1：将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。
步骤2：枚举所有分两组的非空分组情况，分别计算总组内离差平方和：
① 分组为1个一组、3个一组（最小的数单独一组）：
单个数组{15}只有1个数据，离差平方和为0；
3人组{15,18,24}的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
② 分组为2个一组、2个一组：
第一组{15,15}的平均数为15，离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
第二组{18,24}的平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
③ 分组为3个一组、1个一组（最大的数单独一组）：
3人组{15,15,18}的平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
单个数组{24}只有1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
步骤3：比较三种情况的总离差平方和：$6＜18＜42$，第三种情况总离差平方和最小。
【答案】
两组分别是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
离差平方和计算，数据分组，平均数计算
【点评】
本题考查离差平方和在数据分组中的应用，解题的核心是有序枚举所有分组情况，通过计算比较得到最优分组，能有效提升学生的数据分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
