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6.“计”高一筹，“算”出风采.为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动.已知甲班10名学生测试成绩的方差$s^2_甲=0.19$，乙班10名学生测试成绩的方差$s^2_乙=m$，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（
A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
D
）A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先明确评判班级成绩优劣的两个统计量：平均分和方差。已知两个班的平均分相同，均为95分，此时需要通过方差判断成绩的稳定性：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越整齐、越稳定。题目说明乙班胜出，说明乙班成绩更稳定，因此乙班的方差要小于甲班的方差0.19，最后对比选项选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：
∵ 甲、乙两班的平均成绩相同，均为95分，
∴ 此时比较方差判断成绩稳定性：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，对应班级成绩更优。
已知甲班方差$s^2_甲=0.19$，且乙班胜出，
∴ $s^2_乙 ＜ s^2_甲 = 0.19$，
观察选项，只有0.18 ＜ 0.19，即m可能为0.18。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义，方差与稳定性的关系
【点评】
本题结合实际活动场景考查统计量的应用，解题的核心是理解平均分相同时方差越小数据越稳定的性质，掌握方差的基本意义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确评判班级成绩优劣的两个统计量：平均分和方差。已知两个班的平均分相同，均为95分，此时需要通过方差判断成绩的稳定性：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越整齐、越稳定。题目说明乙班胜出，说明乙班成绩更稳定，因此乙班的方差要小于甲班的方差0.19，最后对比选项选出符合条件的m值即可。
【解析】
解：
∵ 甲、乙两班的平均成绩相同，均为95分，
∴ 此时比较方差判断成绩稳定性：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，对应班级成绩更优。
已知甲班方差$s^2_甲=0.19$，且乙班胜出，
∴ $s^2_乙 ＜ s^2_甲 = 0.19$，
观察选项，只有0.18 ＜ 0.19，即m可能为0.18。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义，方差与稳定性的关系
【点评】
本题结合实际活动场景考查统计量的应用，解题的核心是理解平均分相同时方差越小数据越稳定的性质，掌握方差的基本意义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
.答案
7.24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需先明确计算逻辑：组内离差平方和等于各组内部离差平方和的总和。解题时先分别计算每组的平均数，再计算每组中各数据与本组平均数的差的平方和，最后将两个组的离差平方和相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据为$\{87,88,90,91,92,92\}$，
第一组的平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$，
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4\\&=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据为$\{96,98\}$，
第二组的平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$，
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1\\&=2\end{aligned}$
3. 计算总组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题围绕组内离差平方和的计算展开，解题关键是准确理解组内离差平方和的含义，先分组计算平均数和对应离差平方和，再求和即可，计算过程中需注意平均数求解和平方运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
要计算组内离差平方和，需先明确计算逻辑：组内离差平方和等于各组内部离差平方和的总和。解题时先分别计算每组的平均数，再计算每组中各数据与本组平均数的差的平方和，最后将两个组的离差平方和相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据为$\{87,88,90,91,92,92\}$，
第一组的平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$，
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4\\&=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据为$\{96,98\}$，
第二组的平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$，
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1\\&=2\end{aligned}$
3. 计算总组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题围绕组内离差平方和的计算展开，解题关键是准确理解组内离差平方和的含义，先分组计算平均数和对应离差平方和，再求和即可，计算过程中需注意平均数求解和平方运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.75
8. 当前各国都高度重视人工智能,并视其为提升国家竞争力的重要力量,随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合,普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力,人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一.某同学设计了一款机器人,为了解它的操作技能情况,对同一设计动作与人工进行了比赛,机器人和人工各操作10次,测试成绩(百分制)如下:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出表格中a,b,c的值.
(2)根据以上数据,请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势,并说明理由.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求出表格中a,b,c的值.
(2)根据以上数据,请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势,并说明理由.
答案
8.解:(1)平均数$a=\frac{1}{10}×(100+82+75+87+100+93+71+100+83+99)=89$,众数$b=100$.由表可知,机器人成绩的平均数为92,
∴$c=\frac{1}{10}×[(96-92)^2+(91-92)^2+(95-92)^2+(90-92)^2+(89-92)^2+(95-92)^2+(95-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(89-92)^2]=8.2$.(2)机器人更有优势.理由:
∵机器人的样本数据的平均数高于人工,方差比人工小,
∴机器人在此操作技能方面更有优势.
∴$c=\frac{1}{10}×[(96-92)^2+(91-92)^2+(95-92)^2+(90-92)^2+(89-92)^2+(95-92)^2+(95-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(89-92)^2]=8.2$.(2)机器人更有优势.理由:
∵机器人的样本数据的平均数高于人工,方差比人工小,
∴机器人在此操作技能方面更有优势.
解析
【分析】
（1）求解a、b、c的思路：①a是人工操作成绩的平均数，根据平均数计算公式，将人工10次测试成绩求和后除以数据总数10即可计算；②b是人工操作成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计人工成绩各数值的出现次数，找出次数最多的就是b；③c是机器人操作成绩的方差，已知机器人成绩的平均数，根据方差公式，先计算每个机器人成绩与平均数的差的平方，将平方和相加后除以数据总数10即可得到c。
（2）比较二者优势时，可结合平均数和方差的意义分析：平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动程度，方差越小数据越稳定，综合两个统计量的结果即可判断谁更有优势。
【解析】
(1) 计算人工成绩的平均数a：
$a=\frac{1}{10}×(100+82+75+87+100+93+71+100+83+99)=89$
统计人工的10次成绩，100共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=100$。
已知机器人成绩的平均数为92，计算方差c：
$c=\frac{1}{10}×[(96-92)^2+(91-92)^2+(95-92)^2+(90-92)^2+(89-92)^2+(95-92)^2+(95-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(89-92)^2]$
$=\frac{1}{10}×(16+1+9+4+9+9+9+0+16+9)=8.2$
(2) 机器人更有优势，理由如下：
对比两组数据的统计量，机器人的平均成绩高于人工的平均成绩，说明机器人的整体操作水平更高；同时机器人的方差小于人工的方差，说明机器人的操作成绩更稳定，因此机器人在此操作技能方面更有优势。
【答案】
(1) $a=89$，$b=100$，$c=8.2$；
(2) 机器人更有优势，理由为机器人的平均成绩更高，且方差更小，发挥更稳定。
【知识点】
平均数的计算，众数的判定，方差的计算与应用
【点评】
本题结合人工智能的热点背景考查统计量的计算与实际应用，需要学生熟练掌握平均数、众数、方差的计算方法，理解不同统计量代表的实际意义，能够用统计结果解决实际分析问题。
【难度系数】
0.8
（1）求解a、b、c的思路：①a是人工操作成绩的平均数，根据平均数计算公式，将人工10次测试成绩求和后除以数据总数10即可计算；②b是人工操作成绩的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，统计人工成绩各数值的出现次数，找出次数最多的就是b；③c是机器人操作成绩的方差，已知机器人成绩的平均数，根据方差公式，先计算每个机器人成绩与平均数的差的平方，将平方和相加后除以数据总数10即可得到c。
（2）比较二者优势时，可结合平均数和方差的意义分析：平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动程度，方差越小数据越稳定，综合两个统计量的结果即可判断谁更有优势。
【解析】
(1) 计算人工成绩的平均数a：
$a=\frac{1}{10}×(100+82+75+87+100+93+71+100+83+99)=89$
统计人工的10次成绩，100共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=100$。
已知机器人成绩的平均数为92，计算方差c：
$c=\frac{1}{10}×[(96-92)^2+(91-92)^2+(95-92)^2+(90-92)^2+(89-92)^2+(95-92)^2+(95-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(89-92)^2]$
$=\frac{1}{10}×(16+1+9+4+9+9+9+0+16+9)=8.2$
(2) 机器人更有优势，理由如下：
对比两组数据的统计量，机器人的平均成绩高于人工的平均成绩，说明机器人的整体操作水平更高；同时机器人的方差小于人工的方差，说明机器人的操作成绩更稳定，因此机器人在此操作技能方面更有优势。
【答案】
(1) $a=89$，$b=100$，$c=8.2$；
(2) 机器人更有优势，理由为机器人的平均成绩更高，且方差更小，发挥更稳定。
【知识点】
平均数的计算，众数的判定，方差的计算与应用
【点评】
本题结合人工智能的热点背景考查统计量的计算与实际应用，需要学生熟练掌握平均数、众数、方差的计算方法，理解不同统计量代表的实际意义，能够用统计结果解决实际分析问题。
【难度系数】
0.8
9. 某体校准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位:环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业).
甲、乙两人射箭成绩统计表
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
小宇的作业:
解: $\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(9+4+7+4+6)=6$,
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+1+4+0)$
$=3.6.$
(1)$a=$
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.
(3)①观察图表,参照小宇的计算方法,计算乙成绩的方差.
②请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中.
甲、乙两人射箭成绩统计表
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
小宇的作业:
解: $\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(9+4+7+4+6)=6$,
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+1+4+0)$
$=3.6.$
(1)$a=$
4
,$\overline{x}_乙=$6
.(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.
(3)①观察图表,参照小宇的计算方法,计算乙成绩的方差.
②请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中.
答案
9.解:(1)4 6 (2)图略.(3)①$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2)]=1.6$.②因为两人成绩的平均数相同,且乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比甲稳定,乙将被选中.
解析
【分析】
1. 解决第(1)问：先根据甲的平均数算出甲的总成绩，由甲乙总成绩相等的条件，用总成绩减去乙已知的4次成绩即可求出$a$的值，再用乙的总成绩除以射箭次数得到乙的平均成绩。
2. 解决第(2)问：根据乙5次的射箭成绩，在折线统计图中对应射箭次数的位置描出对应成绩的点，再用线段依次连接各点即可。
3. 解决第(3)问：①参照小宇计算甲方差的方法，直接套用方差公式代入乙的成绩和平均成绩计算即可；②当两组数据平均数相同时，方差越小代表数据波动越小、成绩越稳定，据此判断入选人选。
【解析】
(1) 已知甲的平均成绩$\overline{x}_甲=6$，共射箭5次，因此甲的总成绩为$5×6=30$环。
由题意得甲乙总成绩相同，因此乙的总成绩也为30环，可列等式：$7+5+a+7+7=30$，解得$a=30-26=4$。
乙的平均成绩$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×30=6$。
(2) 乙的5次成绩依次为7环、5环、4环、7环、7环，在折线统计图中描出点(1,7)、(2,5)、(3,4)、(4,7)、(5,7)，再用线段依次连接各点即可（画图略）。
(3) ①根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入乙的成绩计算：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(7-6)^2+(5-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(7-6)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+4+1+1)$
$=\frac{1}{5}×8=1.6$
②已知甲乙两人的平均成绩均为6环，说明两人平均射箭水平相同；又$s^2_乙=1.6＜s^2_甲=3.6$，根据方差越小数据波动越小、成绩越稳定的性质，可知乙的成绩更稳定，因此乙将被选中。
【答案】
(1) $4$，$6$；(2) 略；(3) ①$1.6$；②乙将被选中
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，解题核心是熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的特性，即可快速求解。
【难度系数】
0.75
1. 解决第(1)问：先根据甲的平均数算出甲的总成绩，由甲乙总成绩相等的条件，用总成绩减去乙已知的4次成绩即可求出$a$的值，再用乙的总成绩除以射箭次数得到乙的平均成绩。
2. 解决第(2)问：根据乙5次的射箭成绩，在折线统计图中对应射箭次数的位置描出对应成绩的点，再用线段依次连接各点即可。
3. 解决第(3)问：①参照小宇计算甲方差的方法，直接套用方差公式代入乙的成绩和平均成绩计算即可；②当两组数据平均数相同时，方差越小代表数据波动越小、成绩越稳定，据此判断入选人选。
【解析】
(1) 已知甲的平均成绩$\overline{x}_甲=6$，共射箭5次，因此甲的总成绩为$5×6=30$环。
由题意得甲乙总成绩相同，因此乙的总成绩也为30环，可列等式：$7+5+a+7+7=30$，解得$a=30-26=4$。
乙的平均成绩$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×30=6$。
(2) 乙的5次成绩依次为7环、5环、4环、7环、7环，在折线统计图中描出点(1,7)、(2,5)、(3,4)、(4,7)、(5,7)，再用线段依次连接各点即可（画图略）。
(3) ①根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入乙的成绩计算：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(7-6)^2+(5-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(7-6)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+4+1+1)$
$=\frac{1}{5}×8=1.6$
②已知甲乙两人的平均成绩均为6环，说明两人平均射箭水平相同；又$s^2_乙=1.6＜s^2_甲=3.6$，根据方差越小数据波动越小、成绩越稳定的性质，可知乙的成绩更稳定，因此乙将被选中。
【答案】
(1) $4$，$6$；(2) 略；(3) ①$1.6$；②乙将被选中
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的应用，解题核心是熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的特性，即可快速求解。
【难度系数】
0.75
