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1. 如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为 （
A.30°
B.40°
C.45°
D.50°
D
）A.30°
B.40°
C.45°
D.50°
答案
1.D
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用切线的性质，AC是⊙O的切线，切点为A，AB是直径，因此AC垂直于AB，可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角∠AOD=80°，可求出同弧AD所对的圆周角∠B的度数；第三步，在直角三角形ABC中，两个锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠B是弧AD所对的圆周角，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOD$，
又
∵∠AOD=80°，
∴$∠ B=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在Rt△ABC中，∠C+∠B=90°，
∴∠C=90°-∠B=90°-40°=50°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，只要熟练掌握切线性质、圆周角定理等基础知识点，就能快速推导求解。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，利用切线的性质，AC是⊙O的切线，切点为A，AB是直径，因此AC垂直于AB，可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角∠AOD=80°，可求出同弧AD所对的圆周角∠B的度数；第三步，在直角三角形ABC中，两个锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠B是弧AD所对的圆周角，
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOD$，
又
∵∠AOD=80°，
∴$∠ B=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在Rt△ABC中，∠C+∠B=90°，
∴∠C=90°-∠B=90°-40°=50°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，只要熟练掌握切线性质、圆周角定理等基础知识点，就能快速推导求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，点A，B，D在$\odot O$上，$∠ A=25°$，OD的延长线交直线BC于点C，且$∠ OCB=40°$，则直线BC与$\odot O$的位置关系为 （
A.相切
B.相交
C.相切或相交
D.无法判断
A
）A.相切
B.相交
C.相切或相交
D.无法判断
答案
2.A
解析
【分析】
要判断直线BC与⊙O的位置关系，已知点B在⊙O上，因此只需证明OB与BC垂直即可。首先作辅助线连接OB，利用圆周角定理，由已知的圆周角∠A的度数求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数，再在△OBC中利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数，若∠OBC为90°即可判定BC与⊙O相切。
【解析】
连接OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是弧BD所对的圆周角，∠BOC是弧BD所对的圆心角，因此：
$∠ BOC=2∠ A=2×25°=50°$
在△OBC中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ OCB=40°$，则：
$∠ OBC=180°-∠ BOC-∠ OCB=180°-50°-40°=90°$
即$OB⊥ BC$，又OB是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可知直线BC与⊙O相切。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；切线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题的核心是连接圆上交点与圆心得到半径，通过角度计算证明半径与直线垂直，掌握切线的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断直线BC与⊙O的位置关系，已知点B在⊙O上，因此只需证明OB与BC垂直即可。首先作辅助线连接OB，利用圆周角定理，由已知的圆周角∠A的度数求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数，再在△OBC中利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数，若∠OBC为90°即可判定BC与⊙O相切。
【解析】
连接OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A是弧BD所对的圆周角，∠BOC是弧BD所对的圆心角，因此：
$∠ BOC=2∠ A=2×25°=50°$
在△OBC中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ OCB=40°$，则：
$∠ OBC=180°-∠ BOC-∠ OCB=180°-50°-40°=90°$
即$OB⊥ BC$，又OB是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可知直线BC与⊙O相切。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；切线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题的核心是连接圆上交点与圆心得到半径，通过角度计算证明半径与直线垂直，掌握切线的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(2025·安徽)如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的大小为
20
°.答案
3.20
解析
【分析】
本题要求∠PAB的度数，解题思路如下：首先根据切线的性质，连接过切点B的半径OB，可得到直角三角形POB，先求出∠POB的度数；再利用同圆半径相等得到OA=OB，即△OAB为等腰三角形，最后结合三角形外角的性质即可推出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°。
在Rt△POB中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵ OA和OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠PAB=∠OBA。
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的核心是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线构造方法，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求∠PAB的度数，解题思路如下：首先根据切线的性质，连接过切点B的半径OB，可得到直角三角形POB，先求出∠POB的度数；再利用同圆半径相等得到OA=OB，即△OAB为等腰三角形，最后结合三角形外角的性质即可推出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°。
在Rt△POB中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵ OA和OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠PAB=∠OBA。
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的核心是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线构造方法，结合三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若$AC=PC=5\sqrt{3}$，则PB的长为
5
.答案
4.5
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，优先考虑连接圆心和切点构造直角三角形。本题首先连接OC，利用切线性质得到∠OCP=90°；再结合AC=PC、OC=OA的等腰三角形性质，推导角之间的关系，求出∠P=30°；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出半径和OP的长度，即可计算PB的长。
【解析】
解：连接OC。
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵AC=PC，
∴∠A=∠P。
又
∵OA=OC（都是⊙O的半径），
∴∠A=∠OCA，
∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠P+∠COP=90°，代入得∠P+2∠P=90°，
解得∠P=30°。
在Rt△OCP中，∠P=30°，PC=$5\sqrt{3}$，
∵$\tan30°=\frac{OC}{PC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{OC}{5\sqrt{3}}$，
解得OC=5，即⊙O的半径为5，故OB=OC=5。
又
∵30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2OC=10，
∴PB=OP-OB=10-5=5。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练掌握切线性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形的角度关系求出特殊角，进而计算线段长度，是切线相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，优先考虑连接圆心和切点构造直角三角形。本题首先连接OC，利用切线性质得到∠OCP=90°；再结合AC=PC、OC=OA的等腰三角形性质，推导角之间的关系，求出∠P=30°；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出半径和OP的长度，即可计算PB的长。
【解析】
解：连接OC。
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵AC=PC，
∴∠A=∠P。
又
∵OA=OC（都是⊙O的半径），
∴∠A=∠OCA，
∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠P+∠COP=90°，代入得∠P+2∠P=90°，
解得∠P=30°。
在Rt△OCP中，∠P=30°，PC=$5\sqrt{3}$，
∵$\tan30°=\frac{OC}{PC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{OC}{5\sqrt{3}}$，
解得OC=5，即⊙O的半径为5，故OB=OC=5。
又
∵30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2OC=10，
∴PB=OP-OB=10-5=5。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练掌握切线性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形的角度关系求出特殊角，进而计算线段长度，是切线相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过点O作OE//BC，交⊙O于点E，交AC于点D。过点A作直线l交OE的延长线于点F，且∠F=∠BAC。
(1)求证：直线AF与⊙O相切；
(2)若OF=8，∠F=30°，则AD的长为
(1)求证：直线AF与⊙O相切；
(2)若OF=8，∠F=30°，则AD的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
5. (1)证明:
∵△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,
∴∠C=90°,OA是⊙O的半径.
∵OE//BC,
∴∠ODA=∠C=90°,
∴∠F+∠DAF=90°.
∵∠F=∠BAC,
∴∠BAC+∠DAF=90°,
∴OA⊥AF.
又
∵OA是⊙O的半径,
∴直线AF与⊙O相切.
(2)$2\sqrt{3}$
∵△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,
∴∠C=90°,OA是⊙O的半径.
∵OE//BC,
∴∠ODA=∠C=90°,
∴∠F+∠DAF=90°.
∵∠F=∠BAC,
∴∠BAC+∠DAF=90°,
∴OA⊥AF.
又
∵OA是⊙O的半径,
∴直线AF与⊙O相切.
(2)$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明直线AF是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需证明OA⊥AF且OA是⊙O的半径即可。首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠C=90°，再结合OE//BC推出OD⊥AC，得到∠F+∠DAF=90°，结合已知∠F=∠BAC，等量代换即可得到∠OAF=90°，完成证明。
(2) 先在Rt△OAF中，利用30°直角三角形的性质求出OA的长度和∠AOF的度数，再在Rt△ODA中利用直角三角形边角关系即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA是⊙O的半径。
∵OE//BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴∠F+∠DAF=90°。
∵∠F=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAF=90°，即∠OAF=90°，
∴OA⊥AF。
又
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AF与⊙O相切。
(2) 解：
由(1)可知∠OAF=90°，
在Rt△OAF中，∠F=30°，OF=8，
∴OA=$\frac{1}{2}$OF=4，∠AOF=90°-∠F=60°。
又
∵∠ODA=90°，即△ODA为直角三角形，
∴AD=OA·sin∠AOF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了切线判定、圆的性质和直角三角形计算三类考点，解题的核心是熟练掌握切线的判定思路，以及圆和直角三角形相关性质的灵活运用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明直线AF是⊙O的切线，根据切线判定定理，只需证明OA⊥AF且OA是⊙O的半径即可。首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠C=90°，再结合OE//BC推出OD⊥AC，得到∠F+∠DAF=90°，结合已知∠F=∠BAC，等量代换即可得到∠OAF=90°，完成证明。
(2) 先在Rt△OAF中，利用30°直角三角形的性质求出OA的长度和∠AOF的度数，再在Rt△ODA中利用直角三角形边角关系即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，OA是⊙O的半径。
∵OE//BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∴∠F+∠DAF=90°。
∵∠F=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAF=90°，即∠OAF=90°，
∴OA⊥AF。
又
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AF与⊙O相切。
(2) 解：
由(1)可知∠OAF=90°，
在Rt△OAF中，∠F=30°，OF=8，
∴OA=$\frac{1}{2}$OF=4，∠AOF=90°-∠F=60°。
又
∵∠ODA=90°，即△ODA为直角三角形，
∴AD=OA·sin∠AOF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了切线判定、圆的性质和直角三角形计算三类考点，解题的核心是熟练掌握切线的判定思路，以及圆和直角三角形相关性质的灵活运用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.(2025·徐州沛县三模)如图，AB切$\odot O$于点B，连接OA交$\odot O$于点C，$BD// OA$交$\odot O$于点D，连接CD，若$∠ OAB=32°$，则$∠ OCD$的度数为（
A.$28°$
B.$29°$
C.$30°$
D.$31°$
B
）A.$28°$
B.$29°$
C.$30°$
D.$31°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OB，构造直角三角形ABO，先求出圆心角∠BOC的度数；再利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠CDB的度数；最后结合BD//OA的条件，利用平行线的内错角相等即可求出∠OCD的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB切$\odot O$于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠OAB=32°，
∴∠AOB=90°-∠OAB=90°-32°=58°，
∵∠CDB是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴∠CDB=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×58°=29°，
又
∵BD//OA，
∴∠OCD=∠CDB=29°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的突破口是正确作出辅助线OB，将已知条件和待求角通过圆心角、圆周角、平行线的性质关联起来，解题思路清晰，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OB，构造直角三角形ABO，先求出圆心角∠BOC的度数；再利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠CDB的度数；最后结合BD//OA的条件，利用平行线的内错角相等即可求出∠OCD的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB切$\odot O$于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∠OAB=32°，
∴∠AOB=90°-∠OAB=90°-32°=58°，
∵∠CDB是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角，
∴∠CDB=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$×58°=29°，
又
∵BD//OA，
∴∠OCD=∠CDB=29°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的突破口是正确作出辅助线OB，将已知条件和待求角通过圆心角、圆周角、平行线的性质关联起来，解题思路清晰，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
