8.在平面直角坐标系内，已知点$M(4,3)$，以点$M$为圆心，$r$为半径的圆与$x$轴相交，与$y$轴相离，那么$r$的取值范围为。

8.$3＜r＜4$

【分析】
要解决这道题，首先明确直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d＜r时直线与圆相交，d=r时相切，d＞r时相离。接下来先求出圆心M到x轴、y轴的距离，再结合“与x轴相交、与y轴相离”的条件分别列关于r的不等式，最后联立不等式得到r的取值范围。
【解析】
第一步：计算圆心M到坐标轴的距离
已知点M坐标为(4,3)，根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律：
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$d_x=|3|=3$；
点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$d_y=|4|=4$。
第二步：根据位置关系列不等式
∵圆与x轴相交，
∴$d_x ＜ r$，即$r＞3$；
∵圆与y轴相离，
∴$d_y ＞ r$，即$r＜4$。
第三步：联立得取值范围
综合两个不等式，可得$3＜r＜4$。
【答案】
$3＜r＜4$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是熟记位置关系对应的d与r的大小关系，结合点到坐标轴的距离即可求解，需注意不要混淆相交、相离对应的数量关系。
【难度系数】
0.8

9.如图,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.
(1)当d=3时,m=;
(2)当m=2时,d的取值范围是.

9.(1)1 (2)$1＜d＜3$

【分析】
解决本题的核心是将“圆上到直线l距离为1的点的个数”转化为“与直线l平行且距离为1的两条直线和圆O的交点总个数”，结合圆的半径r=2，分析圆心O到这两条平行线的距离和半径的大小关系，进而判断交点个数：
1. 对于（1），先算出d=3时，两条平行线到圆心O的距离，分别和半径比较，得到交点总数即m的值；
2. 对于（2），依次分析m取不同值时d的范围，找到m=2对应的d的区间即可。
【解析】
已知圆O半径$r=2$，圆心O到直线l的距离为$d$，设与$l$平行且距离为1的两条直线分别为$l_1$（靠近O一侧）、$l_2$（远离O一侧）：
(1) 当$d=3$时：
$l_1$到O的距离为$d-1=3-1=2=r$，因此$l_1$与圆O相切，有1个交点；
$l_2$到O的距离为$d+1=3+1=4＞r$，因此$l_2$与圆O相离，无交点；
总交点数为1，故$m=1$。
(2) 分情况讨论$m$的取值：
① 当$d＜1$时：$l_1$到O的距离为$1-d＜2$，$l_2$到O的距离为$d+1＜2$，两条直线都与圆相交，总交点数为4，即$m=4$；
② 当$d=1$时：$l_1$过圆心O，与圆交于2个点，$l_2$到O的距离为$1+1=2=r$，与圆相切有1个交点，总交点数为3，即$m=3$；
③ 当$1＜d＜3$时：$l_1$到O的距离为$d-1＜2$，与圆相交有2个交点，$l_2$到O的距离为$d+1＞2$，与圆相离无交点，总交点数为2，即$m=2$；
④ 当$d=3$时：$l_1$到O的距离为$3-1=2=r$，与圆相切有1个交点，$l_2$与圆相离，总交点数为1，即$m=1$；
⑤ 当$d＞3$时：两条直线到O的距离都大于2，都与圆相离，$m=0$。
因此当$m=2$时，$d$的取值范围是$1＜d＜3$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{1＜d＜3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离
【点评】
本题解题关键是将圆上点到定直线的距离问题转化为平行直线和圆的交点问题，通过分类讨论不同距离下的交点个数即可得到结果，要注意临界值$d=1$和$d=3$时的交点数，避免取值范围误包含端点。
【难度系数】
0.7

10.如图,在平面直角坐标系中,$A(2,5)$,$B(4,5)$,$C(6,3)$.$\odot M$经过$A$,$B$,$C$三点.
(1)点$M$的坐标是;
(2)判断$\odot M$与$y$轴的位置关系,并说明理由.

10.(1)$(3,2)$
(2)解:$\odot M$与$y$轴相交,理由:
由点M,A的坐标,得$MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{10}$,
即$\odot M$的半径为$r=\sqrt{10}$.
∵$\odot M$的圆心M的坐标为$(3,2)$,
∴点M到y轴的距离$d=3$.
∵$d＜r$,
∴$\odot M$与$y$轴相交.

【分析】
(1) 圆心是圆中任意两条弦的垂直平分线的交点。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知线段AB为水平线段，其垂直平分线为过AB中点且垂直于AB的直线，可先确定圆心M的横坐标；再设出M的坐标，利用“圆心到圆上各点距离相等（即MA=MC）”列方程求解即可得到M的坐标。
(2) 判断圆与y轴的位置关系，只需比较圆心M到y轴的距离d与圆的半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。先求出半径r，再求出M到y轴的距离d，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1)
∵A(2,5)，B(4,5)，两点纵坐标相等，
∴线段AB平行于x轴，
∴AB的垂直平分线为直线$x=\frac{2+4}{2}=3$，即圆心M的横坐标为3。
设圆心M的坐标为$(3,t)$，
∵MA=MC（均为⊙M的半径），
∴根据两点间距离公式可得：$\sqrt{(3-2)^2+(t-5)^2}=\sqrt{(3-6)^2+(t-3)^2}$，
两边平方化简得：$1+(t-5)^2=9+(t-3)^2$，
展开得：$1+t^2-10t+25=9+t^2-6t+9$，
移项合并同类项得：$4t=8$，解得$t=2$，
∴点M的坐标为$(3,2)$。
(2) ⊙M与y轴相交，理由如下：
首先计算⊙M的半径r：
$r=MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
圆心M(3,2)到y轴的距离d为点M横坐标的绝对值，即$d=3$，
∵$3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$d＜r$，
∴⊙M与y轴相交。
【答案】
(1) $\boxed{(3,2)}$
(2) $\odot M$与$y$轴相交，理由见解析。
【知识点】
1. 圆心的确定
2. 两点间的距离公式
3. 直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆的综合基础题，解题的核心是掌握“弦的垂直平分线过圆心”的性质，以及直线与圆位置关系的判定方法，计算难度不大，是圆相关性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.75

11.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且$∠ QPN=30°$,点A处有一所中学,$AP=160$米,假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶,周围100米以内会受到噪声的影响.
(1)学校是否会受到噪声的影响?说明理由;
(2)已知拖拉机的速度为18千米/时,若学校会受影响,则受到影响的时间有多长?

11.解:(1)学校会受到噪声影响.理由如下:
如答图,作$AH⊥MN$于点H.在$Rt△APH$中,
∵$∠HPA=30°$,
∴$AH=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80$(米).
∵$80＜100$,
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到噪声的影响.
(2)如答图,以点A为圆心,100米为半径画弧交MN于点B,C,连接AB,AC,则$AB=AC=100$米.
∵$AH⊥BC$,
∴$BH=CH$.
在$Rt△ABH$中,$BH=\sqrt{100^2-80^2}=60$(米),
∴$BC=2BH=120$米.
∵18千米/时=5米/秒,
∴$120÷5=24$(秒).
答:学校受到影响的时间为24秒.

【分析】
（1）要判断学校是否受噪声影响，根据垂线段最短的性质，只需计算点A到公路MN的最短距离（即点A到MN的垂线段长度），再将该距离与噪声影响半径100米比较：若距离小于100米则会受影响，反之不受影响。
（2）若学校受影响，公路MN上到点A的距离小于等于100米的路段即为受影响路段，对应以A为圆心、100米为半径的圆与MN相交所得的弦长。先利用勾股定理求出弦长，再将拖拉机的速度单位换算为米/秒，根据“时间=路程÷速度”即可计算出受影响的时长。
【解析】
(1) 学校会受到噪声影响，理由如下：
如答图，作$AH⊥MN$于点H。在$Rt△APH$中，
∵$∠HPA=30°$，
∴$AH=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80$(米)。
∵$80＜100$，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到噪声的影响。
(2) 如答图，以点A为圆心，100米为半径画弧交MN于点B,C，连接AB,AC，则$AB=AC=100$米。
∵$AH⊥BC$，
∴$BH=CH$。
在$Rt△ABH$中，$BH=\sqrt{100^2-80^2}=60$(米),
∴$BC=2BH=120$米。
∵18千米/时=5米/秒，
∴$120÷5=24$(秒)。
答:学校受到影响的时间为24秒。
【答案】
(1) 学校会受到噪声影响，理由见解析；
(2) 学校受到影响的时间为24秒。
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何中的垂线段计算、圆的弦长计算问题，解题时需注意单位统一，难度适中，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

12. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$. 以点$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$.
(1)若直线$AB$与$\odot C$没有交点，求$r$的取值范围；
(2)若边$AB$与$\odot C$有两个交点，求$r$的取值范围；
(3)若边$AB$与$\odot C$只有一个交点，求$r$的取值范围.

12.解:过点C作$CH⊥AB$于点H.
∵在$Rt△ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$ cm,
∴$\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CH$,
∴$CH=2.4$ cm.
(1)
∵直线AB与$\odot C$没有交点,
∴0 cm＜$r$＜2.4 cm.
(2)当$\odot C$过点A时,$\odot C$与边AB有两个交点,此时$r=3$ cm,
∴2.4 cm＜$r≤3$ cm.
(3)当$\odot C$过点B时,$\odot C$与边AB有一个交点,此时$r=4$ cm,
∴$r=2.4$ cm或3 cm＜$r≤4$ cm.

【分析】
解决本题的核心是明确直线与圆、线段与圆的位置关系判定规则，首先需要求出圆心C到直线AB的距离：先利用勾股定理计算斜边AB的长度，再通过直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出斜边上的高CH，再结合不同的交点要求推导r的取值范围：
1. 直线AB与圆无交点，对应直线与圆相离，即半径小于圆心到直线的距离，同时半径为正数；
2. 边AB（线段）与圆有两个交点，需要半径大于高，且不超过较短直角边AC的长度，保证两个交点都落在线段AB上；
3. 边AB与圆只有一个交点分两种情况：一是圆与AB相切，仅一个切点；二是圆与线段相交仅一个交点落在线段上，此时半径大于AC且不超过BC的长度。
【解析】
过点C作$CH⊥AB$于点H。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，
∴由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CH$，
代入数值可得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CH$，解得$CH=2.4$ cm。
(1)
∵直线AB与$\odot C$没有交点，即直线AB与$\odot C$相离，
∴$r＜CH$且$r＞0$，即$0\ \mathrm{cm}＜r＜2.4\ \mathrm{cm}$。
(2)
当$\odot C$过点A时，$r=AC=3\ \mathrm{cm}$，此时$\odot C$与边AB有2个交点，
若边AB与$\odot C$有两个交点，需$r＞CH$且$r≤AC$，即$2.4\ \mathrm{cm}＜r≤3\ \mathrm{cm}$。
(3)
边AB与$\odot C$只有一个交点分两种情况：
① $\odot C$与AB相切，仅1个切点，此时$r=CH=2.4\ \mathrm{cm}$；
② A点在圆内、B点在圆上或圆外，仅1个交点落在线段AB上，此时$AC＜r≤BC$，即$3\ \mathrm{cm}＜r≤4\ \mathrm{cm}$；
综上，$r=2.4\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}＜r≤4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $0\ \mathrm{cm} ＜ r ＜ 2.4\ \mathrm{cm}$
(2) $2.4\ \mathrm{cm} ＜ r ≤ 3\ \mathrm{cm}$
(3) $r=2.4\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm} ＜ r ≤ 4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.勾股定理
3.面积法求线段长
【点评】
本题解题关键是先求出圆心到直线的距离，易错点是要区分“直线AB”和“边AB（线段）”的差异，避免忽略线段端点的限制写错r的取值范围。
【难度系数】
0.6