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8.在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，则弦$AB$与弦$CD$的大小关系是（
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB=CD$
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB=CD$
答案
8.C
解析
【分析】
要判断弦AB和2CD的大小关系，我们可以利用弧与弦的对应关系转化问题：首先根据已知的弧的倍数关系，将弧AB拆分为两个相等的弧，使每个小弧和弧CD相等，从而得到对应的弦相等，再结合三角形三边关系比较大小即可，不要直接误认为两倍弧对应两倍弦，需要结合几何定理推导。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，且$E$为$\overset{\frown}{AB}$中点，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 在同圆中，等弧对应的弦相等，
∴ $AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AE + BE ＞ AB$，
将$AE=BE=CD$代入得：$CD + CD ＞ AB$，即$AB ＜ 2CD$。
根据推导，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等弦；三角形三边关系
【点评】
本题解题的核心是通过作弧中点的辅助线，将两倍弧的关系转化为等弧关系，再结合三角形三边推导弦长的大小关系，要注意避免走入“弧长是几倍，对应弦长就是几倍”的误区。
【难度系数】
0.7
要判断弦AB和2CD的大小关系，我们可以利用弧与弦的对应关系转化问题：首先根据已知的弧的倍数关系，将弧AB拆分为两个相等的弧，使每个小弧和弧CD相等，从而得到对应的弦相等，再结合三角形三边关系比较大小即可，不要直接误认为两倍弧对应两倍弦，需要结合几何定理推导。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，且$E$为$\overset{\frown}{AB}$中点，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 在同圆中，等弧对应的弦相等，
∴ $AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AE + BE ＞ AB$，
将$AE=BE=CD$代入得：$CD + CD ＞ AB$，即$AB ＜ 2CD$。
根据推导，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
同圆中等弧对等弦；三角形三边关系
【点评】
本题解题的核心是通过作弧中点的辅助线，将两倍弧的关系转化为等弧关系，再结合三角形三边推导弦长的大小关系，要注意避免走入“弧长是几倍，对应弦长就是几倍”的误区。
【难度系数】
0.7
9.如图，$\odot O$经过五边形OABCD的四个顶点.若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$150°$，$∠ A=65°$，$∠ D=60°$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为________.
答案
9. 40°
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BC}$的度数，需先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只要算出圆心角∠BOC的度数即可。首先连接OB、OC，利用同圆半径相等可知△OAB、△OCD均为等腰三角形，结合已知的∠A、∠D的度数，可求出∠AOB和∠COD的度数。已知$\overset{\frown}{AD}$（经过B、C的弧）的度数为150°，即它所对的圆心角之和$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=150°$，代入已求的∠AOB、∠COD的度数，即可求出∠BOC的度数，也就是$\overset{\frown}{BC}$的度数。
【解析】
连接OB、OC。
∵OA、OB、OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$OC=OD$，即△OAB和△OCD均为等腰三角形。
在△OAB中，$∠ A=65°$，因此$∠ OBA=∠ A=65°$，
由三角形内角和得：$∠ AOB=180°-∠ A-∠ OBA=180°-65°×2=50°$。
在△OCD中，$∠ D=60°$，因此$∠ OCD=∠ D=60°$，
同理得：$∠ COD=180°-∠ D-∠ OCD=180°-60°×2=60°$。
∵$\overset{\frown}{AD}$的度数为$150°$，弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}$由$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$三段组成，
∴$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=150°$，
代入数据得：$∠ BOC=150°-50°-60°=40°$，
即$\overset{\frown}{BC}$的度数为$40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是明确$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角为三段弧对应的圆心角之和，结合半径相等构造等腰三角形求解即可。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{BC}$的度数，需先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只要算出圆心角∠BOC的度数即可。首先连接OB、OC，利用同圆半径相等可知△OAB、△OCD均为等腰三角形，结合已知的∠A、∠D的度数，可求出∠AOB和∠COD的度数。已知$\overset{\frown}{AD}$（经过B、C的弧）的度数为150°，即它所对的圆心角之和$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=150°$，代入已求的∠AOB、∠COD的度数，即可求出∠BOC的度数，也就是$\overset{\frown}{BC}$的度数。
【解析】
连接OB、OC。
∵OA、OB、OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，$OC=OD$，即△OAB和△OCD均为等腰三角形。
在△OAB中，$∠ A=65°$，因此$∠ OBA=∠ A=65°$，
由三角形内角和得：$∠ AOB=180°-∠ A-∠ OBA=180°-65°×2=50°$。
在△OCD中，$∠ D=60°$，因此$∠ OCD=∠ D=60°$，
同理得：$∠ COD=180°-∠ D-∠ OCD=180°-60°×2=60°$。
∵$\overset{\frown}{AD}$的度数为$150°$，弧的度数等于对应圆心角的度数，且$\overset{\frown}{AD}$由$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$三段组成，
∴$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=150°$，
代入数据得：$∠ BOC=150°-50°-60°=40°$，
即$\overset{\frown}{BC}$的度数为$40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是明确$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角为三段弧对应的圆心角之和，结合半径相等构造等腰三角形求解即可。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB是$\odot O$的直径，$PA=PB$，$∠ P=60°$，则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数是
60°
.答案
10. 60°
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数，即求$∠ COD$的度数。首先根据已知条件$PA=PB$，$∠ P=60°$，可判定$△ PAB$是等边三角形，得到$∠ PAB$和$∠ PBA$的度数；再结合圆的半径相等，可判定$△ AOC$、$△ BOD$均为等边三角形，得到$∠ AOC$和$∠ BOD$的度数；最后利用平角$∠ AOB=180°$，作差即可求出$∠ COD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
1. 因为$PA=PB$，$∠ P=60°$，所以$△ PAB$是等边三角形，因此$∠ PAB=∠ PBA=60°$。
2. 因为$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，结合$∠ OAC=60°$，可得$△ AOC$是等边三角形，所以$∠ AOC=60°$；同理，$OB=OD$，$∠ OBD=60°$，$△ BOD$是等边三角形，所以$∠ BOD=60°$。
3. 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ COD=180°-∠ AOC-∠ BOD=180°-60°-60°=60°$，即$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆的基本性质；圆心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是连接辅助线$OC$、$OD$，将所求圆心角转化为平角减去两个等边三角形的内角，考查了学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.75
要求$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数，即求$∠ COD$的度数。首先根据已知条件$PA=PB$，$∠ P=60°$，可判定$△ PAB$是等边三角形，得到$∠ PAB$和$∠ PBA$的度数；再结合圆的半径相等，可判定$△ AOC$、$△ BOD$均为等边三角形，得到$∠ AOC$和$∠ BOD$的度数；最后利用平角$∠ AOB=180°$，作差即可求出$∠ COD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
1. 因为$PA=PB$，$∠ P=60°$，所以$△ PAB$是等边三角形，因此$∠ PAB=∠ PBA=60°$。
2. 因为$OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，结合$∠ OAC=60°$，可得$△ AOC$是等边三角形，所以$∠ AOC=60°$；同理，$OB=OD$，$∠ OBD=60°$，$△ BOD$是等边三角形，所以$∠ BOD=60°$。
3. 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ COD=180°-∠ AOC-∠ BOD=180°-60°-60°=60°$，即$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆的基本性质；圆心角计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是连接辅助线$OC$、$OD$，将所求圆心角转化为平角减去两个等边三角形的内角，考查了学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.75
11.如图，AB是$\odot O$的直径，C是BA延长线上一点，点D在$\odot O$上，且$CD=OA$，CD的延长线交$\odot O$于点E.若$∠ C=25°$，则$∠ CEO$的度数为
50°
.答案
11. 50°
解析
【分析】
解题时首先连接辅助线OD，利用圆的半径都相等的性质，结合已知CD=OA，可推出CD=OD=OE，得到两个等腰三角形△CDO和△ODE。先根据等腰三角形等边对等角求出△CDO的底角，再利用三角形外角的性质求出∠ODE的度数，最后再次利用等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠CEO的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵OA、OD、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OD=OE，
又
∵CD=OA，
∴CD=OD=OE。
在△CDO中，CD=OD，
∴∠C=∠COD=25°，
由三角形外角的性质可得，∠ODE=∠C+∠COD=25°+25°=50°。
在△ODE中，OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=50°，
∵点C、D、E在同一条直线上，
∴∠CEO=∠OED=50°。
【答案】
50°
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆与三角形角度计算的综合题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和圆的半径相等的性质结合，利用等腰三角形和三角形外角的性质逐步推导角度，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接辅助线OD，利用圆的半径都相等的性质，结合已知CD=OA，可推出CD=OD=OE，得到两个等腰三角形△CDO和△ODE。先根据等腰三角形等边对等角求出△CDO的底角，再利用三角形外角的性质求出∠ODE的度数，最后再次利用等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠CEO的度数。
【解析】
解：连接OD，
∵OA、OD、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OD=OE，
又
∵CD=OA，
∴CD=OD=OE。
在△CDO中，CD=OD，
∴∠C=∠COD=25°，
由三角形外角的性质可得，∠ODE=∠C+∠COD=25°+25°=50°。
在△ODE中，OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=50°，
∵点C、D、E在同一条直线上，
∴∠CEO=∠OED=50°。
【答案】
50°
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆与三角形角度计算的综合题，解题的关键是合理作出辅助线，将已知条件和圆的半径相等的性质结合，利用等腰三角形和三角形外角的性质逐步推导角度，难度适中。
【难度系数】
0.7
12. 如图,射线AM交$\odot O$于点B,C,射线AN交$\odot O$于点D,E,且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$. 求证:$AB=AD$. 
第12题图
第12题图答案
12. 证明:如答图,连接OB,OC,OD,OE,CE.
第12题答图
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$,
∴BC=DE.
∵OB=OD,OC=OE,
∴△BOC≌△DOE(SSS),
∴∠BCO=∠DEO.
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∴∠ACE=∠AEC,
∴AC=AE.
∴AC-BC=AE-DE,即AB=AD.
解析
【分析】
要证明$AB=AD$，观察线段关系可得$AB=AC-BC$，$AD=AE-DE$，因此只需证明$AC=AE$且$BC=DE$即可。首先由已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，根据同圆中等弧对等弦可直接得到$BC=DE$；接下来要证$AC=AE$，可转化为证明$△ ACE$为等腰三角形，即$∠ ACE=∠ AEC$。我们通过连接圆心到各弦端点的半径，利用同圆半径相等的性质证明$△ BOC≌△ DOE$，得到对应角相等，再结合等腰$△ OCE$的底角相等，通过角的和差即可推出$∠ ACE=∠ AEC$，进而得到$AC=AE$，最后通过线段差的等量代换得到结论。
【解析】
证明：如答图，连接$OB,OC,OD,OE,CE$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$BC=DE$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
∵$OB、OC、OD、OE$都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OD$，$OC=OE$，
∴$△ BOC≌△ DOE(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ BCO=∠ DEO$。
又
∵$OC=OE$，
∴$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OCE=∠ OEC$，
∴$∠ BCO+∠ OCE=∠ DEO+∠ OEC$，即$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$（等角对等边）。
∴$AC-BC=AE-DE$，即$AB=AD$。
【答案】
证明:如答图,连接OB,OC,OD,OE,CE.
第12题答图
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$,
∴BC=DE.
∵OB=OD,OC=OE,
∴△BOC≌△DOE(SSS),
∴∠BCO=∠DEO.
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∴∠ACE=∠AEC,
∴AC=AE.
∴AC-BC=AE-DE,即AB=AD.
【知识点】
弧与弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的性质应用的基础题型，解题核心是结合已知弧相等的条件，合理添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，通过角的等量代换推导边的关系，考查学生对圆的基本性质和三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$AB=AD$，观察线段关系可得$AB=AC-BC$，$AD=AE-DE$，因此只需证明$AC=AE$且$BC=DE$即可。首先由已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，根据同圆中等弧对等弦可直接得到$BC=DE$；接下来要证$AC=AE$，可转化为证明$△ ACE$为等腰三角形，即$∠ ACE=∠ AEC$。我们通过连接圆心到各弦端点的半径，利用同圆半径相等的性质证明$△ BOC≌△ DOE$，得到对应角相等，再结合等腰$△ OCE$的底角相等，通过角的和差即可推出$∠ ACE=∠ AEC$，进而得到$AC=AE$，最后通过线段差的等量代换得到结论。
【解析】
证明：如答图，连接$OB,OC,OD,OE,CE$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$BC=DE$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
∵$OB、OC、OD、OE$都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OD$，$OC=OE$，
∴$△ BOC≌△ DOE(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ BCO=∠ DEO$。
又
∵$OC=OE$，
∴$△ OCE$是等腰三角形，$∠ OCE=∠ OEC$，
∴$∠ BCO+∠ OCE=∠ DEO+∠ OEC$，即$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$（等角对等边）。
∴$AC-BC=AE-DE$，即$AB=AD$。
【答案】
证明:如答图,连接OB,OC,OD,OE,CE.
第12题答图
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DE}$,
∴BC=DE.
∵OB=OD,OC=OE,
∴△BOC≌△DOE(SSS),
∴∠BCO=∠DEO.
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∴∠ACE=∠AEC,
∴AC=AE.
∴AC-BC=AE-DE,即AB=AD.
【知识点】
弧与弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的性质应用的基础题型，解题核心是结合已知弧相等的条件，合理添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，通过角的等量代换推导边的关系，考查学生对圆的基本性质和三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，∠AOB=90°,C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接AB分别交OC,OD于点E,F.
(1)求∠AEC的度数；
(2)求证:AE=BF=CD.
(1)求∠AEC的度数；
(2)求证:AE=BF=CD.
答案
13. (1)解:如答图,连接AC,DB.
第13题答图
∵C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴AC=CD=DB.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.
∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°.
(2)证明:
∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°,∠AEC=75°,
又OA=OC,
∴∠ACO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$,
∴∠AEC=∠ACO,
∴AE=AC.
同理可得BF=DB,
∴AE=BF=CD.
解析
【分析】
(1)求解∠AEC的度数可借助三角形外角性质推导：首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，结合∠AOB=90°可求出∠AOC的度数；再由等腰直角△OAB的性质得到∠OAB的度数，∠AEC是△AOE的外角，等于两个不相邻内角∠AOC与∠OAB的和，代入数值即可计算出结果。
(2)要证明AE=BF=CD，首先根据弧与弦的对应关系，由弧三等分可得AC=CD=DB，只需再证明AE=AC、BF=DB即可：先利用等腰三角形性质求出∠ACO的度数，结合(1)中∠AEC的度数可推出两角相等，由等角对等边得AE=AC，同理可证BF=DB，进而得到三条线段相等的结论。
【解析】
(1) 解：如答图，连接AC、DB。
第13题答图
∵C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=DB。
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°。
(2) 证明：
∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∠AEC=75°，
又OA=OC，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∴∠AEC=∠ACO，
∴AE=AC。
同理可得BF=DB，
∴AE=BF=CD。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；
(2) 证明见上述解析。
第13题答图
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是利用弧的等分关系得到相等的圆心角与弦，再结合等腰三角形的角度计算完成边的等量转化，对基础性质的应用能力有一定要求，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠AEC的度数可借助三角形外角性质推导：首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，结合∠AOB=90°可求出∠AOC的度数；再由等腰直角△OAB的性质得到∠OAB的度数，∠AEC是△AOE的外角，等于两个不相邻内角∠AOC与∠OAB的和，代入数值即可计算出结果。
(2)要证明AE=BF=CD，首先根据弧与弦的对应关系，由弧三等分可得AC=CD=DB，只需再证明AE=AC、BF=DB即可：先利用等腰三角形性质求出∠ACO的度数，结合(1)中∠AEC的度数可推出两角相等，由等角对等边得AE=AC，同理可证BF=DB，进而得到三条线段相等的结论。
【解析】
(1) 解：如答图，连接AC、DB。
第13题答图
∵C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=DB。
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°。
(2) 证明：
∵∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∠AEC=75°，
又OA=OC，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∴∠AEC=∠ACO，
∴AE=AC。
同理可得BF=DB，
∴AE=BF=CD。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；
(2) 证明见上述解析。
第13题答图
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是利用弧的等分关系得到相等的圆心角与弦，再结合等腰三角形的角度计算完成边的等量转化，对基础性质的应用能力有一定要求，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
