登录
1. 如图，$\odot O$的直径$AB⊥$弦$CD$于点$E$，则下列结论不一定正确的是 （
A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE≌△ ODE$
B
）A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$△ OCE≌△ ODE$
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题需结合垂径定理、全等三角形判定的知识逐个分析选项：首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可先判断A、C选项是否正确；再结合圆的半径相等，判断两个直角三角形是否全等，验证D选项；最后分析B选项，AE=OE需要E为AO中点的额外条件，题目未给出该条件，因此该结论不一定成立，即可选出正确答案。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥$弦CD于点E：
1. 根据垂径定理可得$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论正确，不符合题意；
2. 在$△ OCE$和$△ ODE$中：
$\begin{cases}OC=OD(\mathrm{圆的半径相等})\\OE=OE(\mathrm{公共边})\\∠ OEC=∠ OED=90°\end{cases}$
根据HL判定定理，可得$△ OCE≌△ ODE$，因此D选项结论正确，不符合题意；
3. 题干未给出E是AO中点的相关条件，因此$AE=OE$不一定成立，B选项符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础考题，重点考查垂径定理的应用，解题时要注意仅可根据题干给出的已知条件推导结论，不可默认添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合垂径定理、全等三角形判定的知识逐个分析选项：首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可先判断A、C选项是否正确；再结合圆的半径相等，判断两个直角三角形是否全等，验证D选项；最后分析B选项，AE=OE需要E为AO中点的额外条件，题目未给出该条件，因此该结论不一定成立，即可选出正确答案。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥$弦CD于点E：
1. 根据垂径定理可得$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、C选项结论正确，不符合题意；
2. 在$△ OCE$和$△ ODE$中：
$\begin{cases}OC=OD(\mathrm{圆的半径相等})\\OE=OE(\mathrm{公共边})\\∠ OEC=∠ OED=90°\end{cases}$
根据HL判定定理，可得$△ OCE≌△ ODE$，因此D选项结论正确，不符合题意；
3. 题干未给出E是AO中点的相关条件，因此$AE=OE$不一定成立，B选项符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础考题，重点考查垂径定理的应用，解题时要注意仅可根据题干给出的已知条件推导结论，不可默认添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.8
2.(2025·海安一模)如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为$P$，$PA=9$，$PB=4$，则$CD$的长为（
A.6
B.10
C.12
D.13
C
）A.6
B.10
C.12
D.13
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可知CD的长度是CP的2倍，因此只需求出CP的长度即可。首先根据PA和PB的长度求出圆的直径和半径，再计算出圆心O到垂足P的距离，最后连接半径OC构造直角三角形，利用勾股定理求出CP的长度，进而得到CD的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$PA=9$，$PB=4$，
∴$AB=PA+PB=9+4=13$，
∴$\odot O$的半径$OC=OA=OB=\frac{13}{2}=6.5$，
∴$OP=OB-PB=6.5-4=2.5$，
∵$CD⊥AB$，
∴根据垂径定理可得：$CD=2CP$，$∠ OPC=90°$，
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{OC^2 - OP^2}=\sqrt{6.5^2 - 2.5^2}=\sqrt{(6.5+2.5)(6.5-2.5)}=\sqrt{9×4}=\sqrt{36}=6$，
∴$CD=2CP=2×6=12$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，核心是利用垂径定理得到弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，再结合勾股定理求解，解题关键是正确连接半径构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可知CD的长度是CP的2倍，因此只需求出CP的长度即可。首先根据PA和PB的长度求出圆的直径和半径，再计算出圆心O到垂足P的距离，最后连接半径OC构造直角三角形，利用勾股定理求出CP的长度，进而得到CD的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$PA=9$，$PB=4$，
∴$AB=PA+PB=9+4=13$，
∴$\odot O$的半径$OC=OA=OB=\frac{13}{2}=6.5$，
∴$OP=OB-PB=6.5-4=2.5$，
∵$CD⊥AB$，
∴根据垂径定理可得：$CD=2CP$，$∠ OPC=90°$，
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{OC^2 - OP^2}=\sqrt{6.5^2 - 2.5^2}=\sqrt{(6.5+2.5)(6.5-2.5)}=\sqrt{9×4}=\sqrt{36}=6$，
∴$CD=2CP=2×6=12$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，核心是利用垂径定理得到弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，再结合勾股定理求解，解题关键是正确连接半径构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$\odot O$中,直径$AB=10$,弦$DE⊥ AB$于点$C$,连接$DO$.若$OC=3$,则$DE$的长为
8
.答案
3.8
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：①同圆的半径都相等，直径是半径的2倍，可先求出OD的长度；②已知DE⊥AB，符合垂径定理的使用条件，垂直于弦的直径平分弦，因此DE=2CD，只需求出CD的长度即可得到DE的长；③△OCD是直角三角形，已知两条边OD和OC的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$\odot O$的半径$OD=\frac{1}{2}AB=5$，
∵弦$DE⊥AB$，AB是过圆心O的直径，
根据垂径定理可得：$CD=CE=\frac{1}{2}DE$，即$DE=2CD$，
在$Rt△ OCD$中，$OD=5$，$OC=3$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$DE=2CD=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的计算类基础题，解题的核心是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，这类题型是圆章节的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的相关性质：①同圆的半径都相等，直径是半径的2倍，可先求出OD的长度；②已知DE⊥AB，符合垂径定理的使用条件，垂直于弦的直径平分弦，因此DE=2CD，只需求出CD的长度即可得到DE的长；③△OCD是直角三角形，已知两条边OD和OC的长度，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$\odot O$的半径$OD=\frac{1}{2}AB=5$，
∵弦$DE⊥AB$，AB是过圆心O的直径，
根据垂径定理可得：$CD=CE=\frac{1}{2}DE$，即$DE=2CD$，
在$Rt△ OCD$中，$OD=5$，$OC=3$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴$DE=2CD=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的计算类基础题，解题的核心是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，这类题型是圆章节的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
4.(徐州期中)如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为
$2\sqrt{3}$
cm.答案
4.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题首先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧恰好经过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。要求弦长AB，可利用垂径定理，过圆心作AB的垂线构造直角三角形，再结合勾股定理计算出弦长的一半，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 圆形纸片折叠后圆弧AB经过圆心O，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$×2 = 1 cm，
∵ OC⊥AB，由垂径定理可得：AC = BC = $\frac{1}{2}$AB，
在Rt△OAC中，OA=2cm，OC=1cm，根据勾股定理：
AC = $\sqrt{OA^2 - OC^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$ cm，
∴ AB = 2AC = 2$\sqrt{3}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的对称性相关的基础常考题，解题核心是通过折叠性质得到圆心到折痕的距离，再作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
解决本题首先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧恰好经过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。要求弦长AB，可利用垂径定理，过圆心作AB的垂线构造直角三角形，再结合勾股定理计算出弦长的一半，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵ 圆形纸片折叠后圆弧AB经过圆心O，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$×2 = 1 cm，
∵ OC⊥AB，由垂径定理可得：AC = BC = $\frac{1}{2}$AB，
在Rt△OAC中，OA=2cm，OC=1cm，根据勾股定理：
AC = $\sqrt{OA^2 - OC^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$ cm，
∴ AB = 2AC = 2$\sqrt{3}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的对称性相关的基础常考题，解题核心是通过折叠性质得到圆心到折痕的距离，再作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
5.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米。
(1)求此下水管横截面的半径；
(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？
(1)求此下水管横截面的半径；
(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？
答案
5.解:(1)如答图①,连接OB,作半径OD⊥AB于点C,则
CD=0.1米,$BC=\frac{1}{2}AB=0.3$米. 在$Rt△OBC$中,由勾股定理,得$OB^2=OC^2+BC^2$,$\therefore OB^2=(OB-0.1)^2+0.09$,$\therefore OB=0.5$米.
答:此下水管横截面的半径为0.5米.
第5题答图(2)如答图②,设水位抬升0.7米后,水面升高至MN,过点O作$OH⊥MN$于点H,$\therefore NH=MH$.
∵水位又被抬升0.7米,$\therefore OH=0.1+0.7-0.5=0.3$(米),
$\therefore NH=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{0.25-0.09}=0.4$(米),
$\therefore MN=0.8$米.
$\because MN-AB=0.8-0.6=0.2$(米),
∴水面的宽度增加了0.2米.
答:此时水面的宽度增加了0.2米.
解析
【分析】
(1) 求解下水管横截面半径时，已知弦长和弓形高（污水最大深度），可利用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将半径、半弦长、弦心距转化到同一个直角三角形中，设半径为未知数，结合勾股定理列方程即可求解。
(2) 计算水位抬升后水面宽度的增加量，首先要正确求出抬升后新水面到圆心的距离，再利用垂径定理和勾股定理求出新的弦长，最后用新弦长减去原弦长即可得到宽度增加量，解题时需注意水位抬升后已超过圆心，要准确计算弦心距。
【解析】
(1) 如答图①，连接OB，作半径$OD⊥AB$于点C，
由垂径定理得：$CD=0.1$米，$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×0.6=0.3$米，
设下水管横截面的半径为r米，则$OB=r$，$OC=OD-CD=r-0.1$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得$OB^2=OC^2+BC^2$，
代入得：$r^2=(r-0.1)^2+0.3^2$，
展开化简得$0.2r=0.1$，解得$r=0.5$。
(2) 如答图②，设水位抬升0.7米后，水面升高至MN，过点O作$OH⊥MN$于点H，
由垂径定理得$NH=MH$，
∵水位抬升0.7米，原来污水深度$CD=0.1$米，半径$OD=0.5$米，
∴$OH = (0.1 + 0.7) - 0.5 = 0.3$米，
在$Rt△ONH$中，$ON=r=0.5$米，
由勾股定理得$NH=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{0.5^2-0.3^2}=0.4$米，
∴$MN=2× NH=0.8$米，
水面宽度增加量为$MN - AB = 0.8 - 0.6 = 0.2$米。
【答案】
(1) 此下水管横截面的半径为0.5米；
(2) 此时水面的宽度增加了0.2米。
第5题答图
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，体现了数形结合和方程思想的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求解下水管横截面半径时，已知弦长和弓形高（污水最大深度），可利用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将半径、半弦长、弦心距转化到同一个直角三角形中，设半径为未知数，结合勾股定理列方程即可求解。
(2) 计算水位抬升后水面宽度的增加量，首先要正确求出抬升后新水面到圆心的距离，再利用垂径定理和勾股定理求出新的弦长，最后用新弦长减去原弦长即可得到宽度增加量，解题时需注意水位抬升后已超过圆心，要准确计算弦心距。
【解析】
(1) 如答图①，连接OB，作半径$OD⊥AB$于点C，
由垂径定理得：$CD=0.1$米，$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×0.6=0.3$米，
设下水管横截面的半径为r米，则$OB=r$，$OC=OD-CD=r-0.1$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得$OB^2=OC^2+BC^2$，
代入得：$r^2=(r-0.1)^2+0.3^2$，
展开化简得$0.2r=0.1$，解得$r=0.5$。
(2) 如答图②，设水位抬升0.7米后，水面升高至MN，过点O作$OH⊥MN$于点H，
由垂径定理得$NH=MH$，
∵水位抬升0.7米，原来污水深度$CD=0.1$米，半径$OD=0.5$米，
∴$OH = (0.1 + 0.7) - 0.5 = 0.3$米，
在$Rt△ONH$中，$ON=r=0.5$米，
由勾股定理得$NH=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{0.5^2-0.3^2}=0.4$米，
∴$MN=2× NH=0.8$米，
水面宽度增加量为$MN - AB = 0.8 - 0.6 = 0.2$米。
【答案】
(1) 此下水管横截面的半径为0.5米；
(2) 此时水面的宽度增加了0.2米。
第5题答图【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题核心是利用垂径定理作辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，体现了数形结合和方程思想的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. P是$\odot O$内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为 （
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
6.B
解析
【分析】
首先要明确过圆内一点的弦的长度规律：①最长的弦是圆的直径，因为直径是圆中最长的弦，据此可以先求出圆的半径；②最短的弦是过该点且垂直于过该点的直径的弦，这是因为弦长随弦心距增大而减小，当弦心距最大（等于OP的长度）时，弦长最短。确定最长弦和最短弦的关系后，结合垂径定理和勾股定理即可计算OP的长度。
【解析】
解：
∵过$\odot O$内点P的最长弦为直径，已知最长弦长为10 cm，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{10}{2}=5$ cm。
∵过点P的最短弦是过P且垂直于过P的直径的弦，最短弦长为6 cm，
根据垂径定理，最短弦的一半长为$\frac{6}{2}=3$ cm。
此时OP、半弦长、半径构成直角三角形，半径为斜边，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{r^2 - 3^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直径的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟记过圆内一点的最长弦和最短弦的特征，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，是圆部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
首先要明确过圆内一点的弦的长度规律：①最长的弦是圆的直径，因为直径是圆中最长的弦，据此可以先求出圆的半径；②最短的弦是过该点且垂直于过该点的直径的弦，这是因为弦长随弦心距增大而减小，当弦心距最大（等于OP的长度）时，弦长最短。确定最长弦和最短弦的关系后，结合垂径定理和勾股定理即可计算OP的长度。
【解析】
解：
∵过$\odot O$内点P的最长弦为直径，已知最长弦长为10 cm，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{10}{2}=5$ cm。
∵过点P的最短弦是过P且垂直于过P的直径的弦，最短弦长为6 cm，
根据垂径定理，最短弦的一半长为$\frac{6}{2}=3$ cm。
此时OP、半弦长、半径构成直角三角形，半径为斜边，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{r^2 - 3^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直径的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟记过圆内一点的最长弦和最短弦的特征，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，是圆部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 新情境 如图①，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名。如图②，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为（
A.1.5 m
B.1.8 m
C.2.6 m
D.1.3 m
D
）A.1.5 m
B.1.8 m
C.2.6 m
D.1.3 m
答案
7.D
解析
【分析】
本题可以将实际的圆弧形门洞问题转化为圆的几何计算问题，解题思路如下：首先设圆弧所在圆的半径为R，过圆心作门洞入口所在弦的垂线，根据垂径定理可得到弦长的一半；再结合门洞的高度表示出圆心到弦的距离，最后在构造出的直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设该圆弧形门洞所在圆的半径为$R\ \mathrm{m}$。
过圆心作入口地面（即圆弧的弦）的垂线，根据垂径定理，弦长的一半为$\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{m}$，圆心到地面的距离为$(2.5-R)\ \mathrm{m}$。
连接圆心与弦的一个端点，得到直角三角形，由勾股定理可得：
$R^2 = (2.5-R)^2 + 0.5^2$
展开方程：
$R^2 = 6.25 - 5R + R^2 + 0.25$
消去两边$R^2$后整理得：
$5R=6.5$
解得$R=1.3$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，方程思想解几何题
【点评】
本题结合中国古典建筑的实际情境考查圆的相关知识，需要将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
本题可以将实际的圆弧形门洞问题转化为圆的几何计算问题，解题思路如下：首先设圆弧所在圆的半径为R，过圆心作门洞入口所在弦的垂线，根据垂径定理可得到弦长的一半；再结合门洞的高度表示出圆心到弦的距离，最后在构造出的直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设该圆弧形门洞所在圆的半径为$R\ \mathrm{m}$。
过圆心作入口地面（即圆弧的弦）的垂线，根据垂径定理，弦长的一半为$\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{m}$，圆心到地面的距离为$(2.5-R)\ \mathrm{m}$。
连接圆心与弦的一个端点，得到直角三角形，由勾股定理可得：
$R^2 = (2.5-R)^2 + 0.5^2$
展开方程：
$R^2 = 6.25 - 5R + R^2 + 0.25$
消去两边$R^2$后整理得：
$5R=6.5$
解得$R=1.3$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，方程思想解几何题
【点评】
本题结合中国古典建筑的实际情境考查圆的相关知识，需要将实际问题转化为几何模型，通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
