8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=12 cm，则球的直径是 cm.

8.15

【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解。首先明确球的截面为圆，EF是圆的弦，圆与BC边相切，设圆的半径为r，过圆心作EF的垂线，根据垂径定理可得弦长的一半，再用r表示出圆心到弦EF的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解半径，即可得到直径。
【解析】
解：过圆心O作OM⊥AD于点M，连接OE。
设球的半径为$ r $ cm，则$ OE=r $ cm。
∵圆与BC边相切，
∴圆心O到BC的距离为$ r $ cm，
∵长方形ABCD中，$ CD=12 $ cm，即AD与BC的距离为12 cm，
∴圆心O到AD的距离$ OM=(12 - r) $ cm。
由垂径定理得，$ EM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2} × 12=6 $ cm。
在Rt△OEM中，根据勾股定理得：
$ OE^2=OM^2 + EM^2 $
即$ r^2=(12 - r)^2 + 6^2 $
展开得：$ r^2=144 - 24r + r^2 + 36 $
化简得：$ 24r=180 $
解得$ r=7.5 $
∴球的直径为$ 2r=2 × 7.5=15 $ cm。
【答案】
15
【知识点】
垂径定理；勾股定理；切线的性质
【点评】
本题是圆的性质在实际场景中的应用，解题关键是构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想。
【难度系数】
0.7

9.如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点P，$AP=2$，$BP=6$，$∠ APC=30°$，则CD的长为________.

9.$2\sqrt{15}$

【分析】要求弦CD的长度，可利用垂径定理求解：过圆心作CD的垂线，将CD分为相等的两段，只需算出其中一段的长度即可。首先先求出圆的半径和OP的长度，再结合∠APC=30°的条件在直角三角形中求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理计算弦长的一半，进而得到CD的总长。
【解析】
解：过点O作$OE⊥ CD$于点E，连接OC。
∵AB是$\odot O$的直径，$AP=2$，$BP=6$，
∴$AB=AP+BP=8$，$\odot O$的半径$OC=OA=\frac{1}{2}AB=4$，
∴$OP=OA-AP=4-2=2$。
∵$∠ APC=30°$，
∴$∠ OPE=30°$，
在$Rt△ OPE$中，$∠ OEP=90°$，$∠ OPE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OP=1$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
根据垂径定理，$OE⊥ CD$时$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{15}$。
【答案】$2\sqrt{15}$
【知识点】垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】本题核心是利用垂径定理将弦长计算转化为直角三角形边长求解问题，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可得出结果，解题时要注意辅助线的构造思路。
【难度系数】0.65

10.在半径为2的$\odot O$中，弦$AB=2$，弦$CD=2\sqrt{2}$，且$AB// CD$，则$AB$与$CD$之间的距离为。

10.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

【分析】
求解圆中两条平行弦的距离问题，首先要考虑两种位置情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题时可利用垂径定理，过圆心分别作两条弦的垂线，结合勾股定理求出两条弦的弦心距，再根据弦的位置关系对弦心距作和或作差，即可得到两弦的距离。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，延长EO（或反向延长）交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
已知⊙O半径OA=OC=2，
根据垂径定理：
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} ×2 =1$，$CF=\frac{1}{2} CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$；
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
1. 当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OE + OF = \sqrt{3} + \sqrt{2}$；
2. 当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OE - OF = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
综上，AB与CD之间的距离为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆相关的基础常考题，解题的关键是考虑到两条平行弦与圆心的两种位置关系，若忽略分类讨论很容易漏解。
【难度系数】
0.6

11.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆过点A(5,0),一条直线过点D(2,3)与$\odot O$交于B,C两点,则弦BC的长的最小值为.

11.$4\sqrt{3}$

【分析】要解决弦BC长的最小值问题，首先回忆圆的弦长相关性质：过圆内一点的所有弦中，垂直于该点与圆心连线的弦最短。解题时先确定⊙O的半径，再计算点D到圆心O的距离，最后结合垂径定理和勾股定理即可求出最短弦长。
【解析】
解：
∵ 以原点O为圆心的圆过点A(5,0)，
∴ ⊙O的半径$r = OA = 5$。
连接OD，由勾股定理可得：
$OD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
根据圆的性质：过圆内一点的弦中，与过该点的半径垂直的弦长度最小，因此当$BC⊥ OD$时，弦BC的长最小。
由垂径定理和勾股定理，此时弦BC长的一半为$\sqrt{r^2 - OD^2}$，
∴ $BC = 2×\sqrt{5^2 - (\sqrt{13})^2} = 2×\sqrt{25 - 13} = 2×\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】垂径定理，勾股定理，圆内弦长性质
【点评】本题是圆的弦长计算的典型考题，解题的关键是明确过圆内一点的最短弦的特征，再结合相关定理计算即可，掌握基础性质就能顺利解题。
【难度系数】0.65

12.如图，P是⊙O内一定点.
(1)过点P作弦AB，使P是AB的中点；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若⊙O的半径为13，OP=5，
①求过点P的弦的长度m的范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有条.

12.(1)解:如答图,弦AB即为所求.
第12题答图
(2)解:①过点P的所有弦中,直径最长,为26,与OP垂直的弦最短.如答图②,连接OA.
$\because OP⊥AB$,$\therefore AP=BP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
$\therefore AB=2AP=24$,
∴过点P的弦的长度m的范围为$24≤ m≤ 26$.
②4

【分析】
(1) 要作过点P且P为AB中点的弦，可利用垂径定理推论：垂直于过圆内某点的半径的弦，被该点平分。因此作图思路为：先连接OP，再过P作OP的垂线，垂线与圆的交点即为A、B，所得弦AB满足要求。
(2) ①求过P的弦长范围：过圆内一点的弦中，最长弦为过该点的直径，最短弦为过该点且与过该点的半径垂直的弦，先算直径得最大值，再结合垂径定理、勾股定理算最短弦长，即可得到取值范围。
②求整数弦的条数：先找出取值范围内的所有整数值，再结合圆的对称性计数：最短弦、最长弦各仅1条，中间长度的弦每种对应2条，求和即可得到总条数。
【解析】
(1) 连接OP，过点P作OP的垂线，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求。
(2) ① 过点P的最长弦为⊙O的直径，长度为$2×13=26$；
最短弦为过P且与OP垂直的弦，连接OA，
$\because OP⊥ AB$，由垂径定理可得$AP=BP$，
在$Rt△ OPA$中，$OA=13$，$OP=5$，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
$\therefore AB=2AP=24$，
因此过点P的弦的长度m的范围为$24\le m\le26$。
② 弦长的整数取值为24、25、26：
长度为24的最短弦仅1条；
长度为25的弦，根据圆的对称性，在OP两侧各有1条，共2条；
长度为26的直径仅1条；
总共有$1+2+1=4$条。
【答案】
(1) 第12题答图，弦AB即为所求。
(2) ① $24\le m\le26$；② 4
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆内弦长最值
【点评】
本题综合考查尺规作图、圆的基本性质，需要熟练掌握垂径定理的应用，明确过圆内定点的弦的最值规律，计数整数弦时要结合圆的对称性，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7

13.如图，$\odot O$的半径$OA⊥ OC$，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$OA=4$。
(1)求$∠ COD$的度数；
(2)求弦AD的长；
(3)P是半径OC上一个动点，连接AP，PD，请求出$AP+PD$的最小值，并说明理由。

13.解:(1)$\because OA⊥OC$,$\therefore ∠AOC=90°$.
$\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠AOD=2∠COD$,
$\therefore ∠COD=\frac{1}{3}∠AOC=30°$.
(2)由(1)知$∠AOD=2∠COD=2×30°=60°$.
$\because OA=OD$,$\therefore △AOD$为等边三角形,$\therefore AD=OA=4$.
(3)如答图,过点D作$DE⊥OC$,交$\odot O$于点E,连接AE,交OC于点P,此时$AP+PD$的值最小.
第13题答图
延长AO交$\odot O$于点B,连接BE.
根据圆的对称性,点E是点D关于OC的对称点,OC是DE的垂直平分线,即$PD=PE$,
$\therefore AP+PD=AP+PE=AE$.
易得$∠AED=30°$,$OA⊥OC$,$DE⊥OC$,
$\therefore OA// DE$,$\therefore ∠OAE=∠AED=30°$.
由题意可知$△ABE$为直角三角形.
$\because OA=4$,$\therefore AE=4\sqrt{3}$,即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 先由$OA⊥OC$得到$∠AOC=90°$，再根据同圆中弧的度数比等于对应圆心角的度数比，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$可得$∠AOD=2∠COD$，结合$∠AOD+∠COD=∠AOC$即可求出$∠COD$的度数。
(2) 由(1)的结论先算出$∠AOD$的度数，再结合$OA、OD$都是圆的半径，可判定$△ AOD$为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质即可得到$AD$的长度。
(3) 本题属于轴对称最短路径（将军饮马）的变形问题，利用圆的对称性作点$D$关于$OC$的对称点$E$，根据轴对称性质可得$PD=PE$，则$AP+PD$可转化为$AP+PE$，根据两点之间线段最短，可知$A、P、E$三点共线时$AP+PE$最小，最小值为$AE$的长度，再结合圆的性质和直角三角形的边角关系计算$AE$即可。
【解析】
(1) $\because OA⊥OC$，$\therefore ∠AOC=90°$。
$\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore ∠AOD=2∠COD$，
$\therefore ∠COD=\frac{1}{3}∠AOC=30°$。
(2) 由(1)知$∠AOD=2∠COD=2×30°=60°$。
$\because OA=OD$，$\therefore △AOD$为等边三角形，$\therefore AD=OA=4$。
(3) 过点D作$DE⊥OC$，交$\odot O$于点E，连接AE，交OC于点P，此时$AP+PD$的值最小。
第13题答图
延长AO交$\odot O$于点B，连接BE。
根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，OC是DE的垂直平分线，即$PD=PE$，
$\therefore AP+PD=AP+PE=AE$。
易得$∠AED=30°$，$OA⊥OC$，$DE⊥OC$，
$\therefore OA// DE$，$\therefore ∠OAE=∠AED=30°$。
由题意可知$△ABE$为直角三角形。
$\because OA=4$，$\therefore AE=4\sqrt{3}$，即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠COD=30°$；
(2) $AD=4$；
(3) $AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$，理由见解析。
第13题答图
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等边三角形的判定与性质
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题前两问考察圆的基础性质和特殊三角形的判定，难度较低；第三问将轴对称最短路径模型与圆的对称性结合，需要运用转化思想将线段和的最小值转化为两点之间的线段长度求解，对学生的模型应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7