1.(2025·长沙)如图,AC,BC为$\odot O$的弦,连接OA,OB,OC.若$∠ AOB=40°,∠ OCA=30°$,则$∠ BCO$的度数为 （）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

1.C

【分析】
解题思路如下：首先明确圆的所有半径长度相等，因此OA=OC、OB=OC，可得到△OAC和△OBC均为等腰三角形。第一步先在△OAC中，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠OCA=30°求出∠OAC的度数，再用三角形内角和定理算出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，结合三角形内角和定理，即可求出底角∠BCO的度数。
【解析】
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°，
又
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，
∴∠BCO=∠CBO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题的核心是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合等腰三角形性质和内角和定理逐步推导角度，属于必须掌握的常规考点。
【难度系数】
0.7

2.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，$AB⊥ CD$，$∠ ADC=30°$，则$∠ BOC=$（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

2.C

【分析】
解题时先结合已知条件：CD是直径且AB⊥CD，首先想到垂径定理，可推出弧AC与弧BC相等；再根据圆周角定理，圆周角的度数是其所对弧度数的一半，结合已知∠ADC=30°可求出弧AC的度数，进而得到弧BC的度数，最后根据圆心角的度数等于其所对弧的度数，即可求出∠BOC的大小。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∵$∠ ADC=30°$，$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$2×30°=60°$，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数也为$60°$。
又
∵$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，圆心角的度数等于它所对弧的度数，
∴$∠ BOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题关键是熟练运用垂径定理得到等弧，再结合圆周角和圆心角与弧的对应关系求解，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图，BC是$\odot O$的弦，连接OB，OC，$∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，则$∠ A$与$∠ OBC$的和的度数是。

3.$90°$

【分析】
解题时先利用圆周角定理建立圆周角∠A和圆心角∠BOC的数量关系，再结合半径相等得到△OBC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，将∠OBC用∠BOC表示，最后将∠A与∠OBC相加化简即可得到结果。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ BOC=2∠ A$。
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$，即$△ OBC$为等腰三角形，
∴ $∠ OBC=∠ OCB$。
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = 180°$
将$∠ OCB=∠ OBC$、$∠ BOC=2∠ A$代入上式，得：
$2∠ A + 2∠ OBC = 180°$
等式两边同时除以2，得：$∠ A + ∠ OBC = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合圆周角定理与三角形内角和性质完成角度的转化计算，解题的关键是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角的关系。
【难度系数】
0.8

4.如图，AB是$\odot O$的直径，位于AB两侧的点C，D均在$\odot O$上，$∠ BOC=30°$，则$∠ ADC$的度数是.

4.$75°$

【分析】
要求∠ADC的度数，可利用圆周角定理求解：首先确定∠ADC所对的弧为弧AC，需要先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，再根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”计算∠ADC。已知AB是圆的直径，对应平角180°，结合给出的∠BOC=30°，可先算出∠AOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOC=30°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=180°-30°=150°$，
∵$∠ ADC$是弧AC所对的圆周角，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×150°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理；平角的性质
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用题目，解题的核心是准确匹配同弧对应的圆周角和圆心角，熟记相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

5.如图，AB为半圆O的直径，C，D是$\odot O$上的两点，$∠ BAC=20°$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，求$∠ DAC$的度数.

5.解:如答图,连接OC,OD.
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都为$\overset{\frown}{BC}$,∠BAC=20°,
∴∠BOC=2∠BAC=40°,
∴∠AOC=140°.
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠COD=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°.
∵∠DAC与∠DOC所对的弧都为$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠COD=35°.

【分析】
求解本题可结合圆周角定理和等弧的性质推导角度：首先通过连接OC、OD构造与已知角、待求角对应的圆心角，先利用圆周角定理由已知∠BAC的度数求出圆心角∠BOC的度数，进而得到∠AOC的度数；再根据同圆中等弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$求出∠COD的度数；最后再次利用圆周角定理即可求出∠DAC的度数。
【解析】
如答图，连接OC，OD。
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都为$\overset{\frown}{BC}$，且∠BAC=20°，
∴∠BOC=2∠BAC=40°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=140°。
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角相等，即$∠ COD=∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=70°$。
∵∠DAC与∠COD所对的弧都为$\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ COD=35°$。
【答案】
$\boxed{35°}$
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆周角应用的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造辅助线，将圆周角和圆心角建立对应关系，结合等弧的角度性质逐步推导，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7