1. 如图，$\odot O$的直径为2，AB为$\odot O$的弦，且$AB=\sqrt{2}$，则$\overset{\frown}{AB}$的度数为 （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

1.D

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的度数，首先回忆弧的度数和其所对圆心角的度数相等，因此只需先求出弦AB对应的圆心角$∠ AOB$的度数即可。解题时先连接OA、OB两条半径，先根据直径求出半径长度，再结合已知AB的长度，用勾股定理的逆定理判断$△ OAB$的形状，就能得到圆心角的度数，进而得到$\overset{\frown}{AB}$的度数。
【解析】
连接OA、OB，
$\because \odot O$的直径为2，$\therefore$半径$OA=OB=\frac{1}{2}×2=1$，
已知$AB=\sqrt{2}$，则$OA^2+OB^2=1^2+1^2=2$，$AB^2=(\sqrt{2})^2=2$，
$\therefore OA^2+OB^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ AOB$是直角三角形，且$∠ AOB=90°$，
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，$\therefore \overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角与弧的关系、勾股定理逆定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题的核心是明确弧的度数与其所对圆心角的度数相等，通过作辅助线构造出圆心角所在的三角形，结合勾股定理的逆定理即可快速求解，掌握相关基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2.如图,在$\odot O$中,$AB=CD$,则下列结论错误的是（）

A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$AC=BD$
D.$AD=BD$

2.D

【分析】
解决这道题的核心是运用同圆中弦和弧的对等关系推导结论。首先回忆相关性质：同圆中，相等的弦所对的弧相等，反过来相等的弧所对的弦也相等。第一步先由已知AB=CD推出对应的弧相等；第二步将两个相等的弧同时减去公共的弧AD，得到剩余两段弧相等；第三步由弧相等推出对应的弦相等，最后逐一判断选项，找出没有依据的错误结论即可。
【解析】
在⊙O中：
1. 同圆中相等的弦所对的弧相等，已知AB=CD，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，A选项结论正确，不符合题意；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 同圆中相等的弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，因此AC=BD，C选项结论正确，不符合题意；
4. 题干无任何条件可证明AD=BD，无法推出该结论，因此D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
弦弧对等关系，等弧对等弦，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的对称性相关基础题，解题关键是熟练掌握同圆中弦与弧的等量转换规律，注意只有存在对应关系的弧、弦才能推导相等，不要随意判断无关联线段的等量关系。
【难度系数】
0.8

3.(2025·徐州期中)以下说法正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.半径相等的两个半圆是等弧

3.D

【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一分析每个选项对应的定理/定义的限定条件，判断选项表述是否完整符合定义要求即可得出正确答案。首先回忆等弧、圆心角与弦的关系、确定圆的条件等核心概念的前提要求，逐个排除错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一辨析：
A. 等弧的定义是：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。仅长度相等的弧，弧度不一定相等，无法完全重合，因此不是等弧，该选项错误。
B. 定理“相等的圆心角所对的弦相等”成立的前提是“在同圆或等圆中”，缺少该前提时结论不成立，该选项错误。
C. 只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，该选项错误。
D. 半径相等的两个圆是等圆，两个半圆在等圆中能够完全重合，符合等弧的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
等弧的判定；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确记忆圆相关定理成立的限定条件，避免因忽略前提条件误判。
【难度系数】
0.8

4.如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE// AB$，若$∠ AOC=75°$，则$\overset{\frown}{CE}$的度数是。

4. 30°

【分析】
解题时首先结合已知的平行线条件，利用平行线的内错角相等得到∠OCE的度数；再根据圆的半径相等，可知△OCE为等腰三角形，得到两个底角相等，结合三角形内角和即可求出弧CE所对的圆心角∠COE的度数；最后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，即可得到弧CE的度数。
【解析】
连接OE，
∵ CE//AB，∠AOC=75°，
∴ ∠OCE=∠AOC=75°（两直线平行，内错角相等），
∵ OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OC=OE，
∴ ∠OEC=∠OCE=75°，
在△OCE中，根据三角形内角和为180°：
∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=180°-75°-75°=30°，
∵ 圆心角的度数与它所对弧的度数相等，
∴ $\overset{\frown}{CE}$的度数为30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆相关的基础题，解题的突破口是熟练运用平行线性质和圆半径相等的隐含条件，求出对应圆心角的度数，要注意掌握弧的度数和它所对圆心角度数相等这一结论。
【难度系数】
0.8

5. 一条弦把圆的周长分成1：2两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是.

5. 120°

【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：整个圆的圆心角是周角360°，且同圆中弧的长度之比等于其所对圆心角的度数之比。题目中弦把圆周长分成1:2两部分，说明弦所分的两条弧的圆心角之比也为1:2，两个圆心角的和为360°，按比例分配即可求出弦所对的圆心角（通常弦所对的圆心角指小于等于180°的角，即对应较短弧的圆心角）。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，弦把圆的周长分成1:2的两部分，
∴ 该弦所对的两条弧的圆心角度数之比为1:2，
设较小的圆心角度数为$x$，则较大的圆心角度数为$2x$，
可得：$x + 2x = 360°$
解得：$x = 120°$
即这条弦所对的圆心角为120°。
【答案】
120°
【知识点】
圆心角与弧的关系；按比例分配计算；周角的概念
【点评】
本题是圆的基础题型，解题核心是理解同圆中弧长比等于对应圆心角的度数比，结合周角的度数按比例计算即可得到结果，难度较低。
【难度系数】
0.9

6.如图，将$\overset{\frown}{AB}$四等分.（用尺规作图，要保留作图痕迹）

6.解:如答图所示.

第6题答图

【分析】
要将$\overset{\frown}{AB}$四等分，可利用垂径定理：弦的垂直平分线平分弦所对的弧。解题思路为：①先将$\overset{\frown}{AB}$二等分：连接弦AB，作AB的垂直平分线，与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为$\overset{\frown}{AB}$的中点，此时$\overset{\frown}{AB}$被分成两段相等的弧；②再分别将两段弧各二等分：分别作两段弧对应弦的垂直平分线，与弧的交点即为两段弧的中点，最终得到$\overset{\frown}{AB}$的三个四等分点，实现四等分。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB，用尺规作AB的垂直平分线，交$\overset{\frown}{AB}$于点C，此时$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，即C是$\overset{\frown}{AB}$的中点；
2. 分别连接线段AC、BC，用尺规作AC的垂直平分线，交$\overset{\frown}{AC}$于点E；作BC的垂直平分线，交$\overset{\frown}{CB}$于点F；
3. 此时$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，点E、C、F将$\overset{\frown}{AB}$四等分，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
如答图所示.

第6题答图
【知识点】
1. 作线段垂直平分线；2. 垂径定理；3. 弧与弦的关系
【点评】
本题是尺规作图与圆的基本性质结合的基础题，解题核心是理解弧的中点在对应弦的垂直平分线上，通过两次二等分操作即可实现弧的四等分，作图时需注意保留全部作图痕迹，不能擦掉辅助线。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$\odot O$中，弦$AD$与$BC$交于点$E$，且$AD=BC$，连接$AB$，$CD$。求证:(1)$AB=CD$；(2)$AE=CE$。

7.证明:(1)
∵AD=BC,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$,
∴AB=CD.
(2)连接AC,如答图.

第7题答图
∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠ACB=∠CAD,
∴AE=CE.

【分析】
(1) 要证明两条弦相等，根据同圆中弦与弧的对应关系，可转化为证明两条弦对应的弧相等。已知AD=BC，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两段弧同时减去公共的$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，从而推出弦AB=CD。
(2) 要证明AE=CE，可证明△AEC为等腰三角形，即证∠EAC=∠ECA。连接辅助线AC，利用已证和已知的边相等的条件，通过SSS证明△ABC≌△CDA，得到对应角相等，即可推出∠ACB=∠CAD，根据等角对等边得到AE=CE。
【解析】
(1) 在同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，已知AD=BC，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；
将两段相等的弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$；
再根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得AB=CD。
(2) 连接AC，已知AB=CD，AD=BC，且AC为两个三角形的公共边，因此根据SSS全等判定定理，可得△ABC≌△CDA；
由全等三角形对应角相等，可得∠ACB=∠CAD；
根据等角对等边的性质，可得△AEC为等腰三角形，因此AE=CE。
【答案】
证明:(1)
∵AD=BC,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$,
∴AB=CD.
(2)连接AC,如答图.

第7题答图
∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠ACB=∠CAD,
∴AE=CE.
【知识点】
弦弧关系、全等三角形判定、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的对称性章节的基础典型题，解题核心是熟练运用同圆内弦与弧的转化规律，合理构造辅助线结合三角形全等的知识推导边角关系，能帮助学生巩固圆的基础性质和几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.7