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8.若顶角为$120°$的等腰三角形的腰长为4 cm,则它的外接圆的直径为
8
cm答案
8.8
9.如果直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆的半径等于
6或6.5
。答案
9.6或6.5
10.如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，且M，N分别是OD，OE的中点，连接MN。若MN=2，则BC=
8
。答案
10.8
11.已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，半径$OB=5\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到$BC$的距离为$3\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长为
$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
$\mathrm{cm}.$答案
11.$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
12.如图，在$5×7$的网格中，各小正方形的边长均为1，点$O,A,B,C,D,E$均在格点上，点$O$是$△ ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，除$△ ABC$外，把你认为外心也是点$O$的三角形都写出来：
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
.答案
12.$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
13.定义:能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
(1)如图①,线段$AB=3$,求线段$AB$的最小覆盖圆的半径.
(2)如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,请用尺规作图,作出$Rt△ ABC$的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法),并求此最小覆盖圆的半径.
(3)如图③,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=5$.
①求矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径;
②若用两个等圆完全覆盖矩形$ABCD$,求这两个等圆的最小半径.
(1)如图①,线段$AB=3$,求线段$AB$的最小覆盖圆的半径.
(2)如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,请用尺规作图,作出$Rt△ ABC$的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法),并求此最小覆盖圆的半径.
(3)如图③,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=5$.
①求矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径;
②若用两个等圆完全覆盖矩形$ABCD$,求这两个等圆的最小半径.
答案
13.解:(1)如答图①.
∵$AB≤ O'A+O'B$,
∴当$AB=O'A+O'B$时,$\odot O$的半径最小,
∴AB的长为线段AB的最小覆盖圆的直径,
∴线段AB的最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$.
(2)如答图②,Rt△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆,
作BC的垂直平分线MN交BC于点D,连接AD.
∵∠BAC=90°,BD=CD,
∴DA=DB=DC.
以点D为圆心,DB长为半径作$\odot D$,则$\odot D$是Rt△ABC的外接圆.
∵$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(3\sqrt{2})^2}=5$,
∴$DB=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,
∴Rt△ABC的最小覆盖圆的半径为$\frac{5}{2}$.
(3)①如答图③,矩形ABCD的外接圆是它的最小覆盖圆,连接AC,BD交于点O.
∵$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$,且AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD,以点O为圆心,OA长为半径作$\odot O$,则$\odot O$是矩形ABCD的外接圆.
∵∠ABC=90°,AB=3,BC=5,
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$,
∴$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为$\frac{\sqrt{34}}{2}$.
②如答图④,分别取AD,BC的中点G,H,连接AH,BG,交于点E,连接DH,CG,交于点F,连接GH.
∵AD=BC=5,
∴$AG=DG=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}$,$BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,
∴AG=BH=DG=CH.
∵AG//BH,DG//CH,
∴四边形ABHG和四边形DCHG都是平行四边形.
∵∠ABH=∠DCH=90°,
∴四边形ABHG和四边形DCHG都是矩形.
∵AB=DC=3,∠ABH=∠DCH=90°,BH=CH,
∴△ABH≌△DCH(SAS),
∴AH=DH,
∴$EA=EB=EH=EG=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}DH=FD=FC=FH=FG$,即矩形ABHG的外接圆和矩形DCHG的外接圆是两个完全覆盖矩形ABCD的等圆.
分别以点E,F为圆心,AE的长、DF的长为半径作$\odot E$,$\odot F$,
同理可得$\odot E$,$\odot F$分别为矩形ABHG,矩形DCHG的最小覆盖圆.
∵$AH=DH=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$,
∴$AE=DF=\frac{1}{2}DH=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{\sqrt{61}}{4}$,
∴这两个等圆的最小半径为$\frac{\sqrt{61}}{4}$.
