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8.若顶角为$120°$的等腰三角形的腰长为4 cm,则它的外接圆的直径为
8
cm答案
8.8
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：①先利用等腰三角形内角和性质，求出底角的度数；②结合外接圆的性质，构造过三角形顶点的直径，得到直角三角形，将求直径的问题转化为直角三角形求斜边的问题；③利用同弧所对的圆周角相等，得到直角三角形中锐角的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质求出直径长度。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC=4\mathrm{cm}$，$∠ BAC=120°$。
1. 求底角度数：
根据等腰三角形两底角相等，得$∠ ACB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
2. 构造辅助线：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，作直径$BD$，连接$AD$。根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ BAD=90°$。
3. 利用圆周角定理转化角度：
同弧$AB$所对的圆周角相等，因此$∠ ADB=∠ ACB=30°$。
4. 计算直径：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$30°$角所对的直角边$AB=4\mathrm{cm}$，因此斜边$BD=2AB=2×4=8\mathrm{cm}$，即外接圆的直径为$8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关计算，解题的核心是通过构造直径得到直角三角形，将陌生的外接圆问题转化为熟悉的直角三角形边角计算问题，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推导：①先利用等腰三角形内角和性质，求出底角的度数；②结合外接圆的性质，构造过三角形顶点的直径，得到直角三角形，将求直径的问题转化为直角三角形求斜边的问题；③利用同弧所对的圆周角相等，得到直角三角形中锐角的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质求出直径长度。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC=4\mathrm{cm}$，$∠ BAC=120°$。
1. 求底角度数：
根据等腰三角形两底角相等，得$∠ ACB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
2. 构造辅助线：
设$△ ABC$的外接圆为$\odot O$，作直径$BD$，连接$AD$。根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ BAD=90°$。
3. 利用圆周角定理转化角度：
同弧$AB$所对的圆周角相等，因此$∠ ADB=∠ ACB=30°$。
4. 计算直径：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$30°$角所对的直角边$AB=4\mathrm{cm}$，因此斜边$BD=2AB=2×4=8\mathrm{cm}$，即外接圆的直径为$8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关计算，解题的核心是通过构造直径得到直角三角形，将陌生的外接圆问题转化为熟悉的直角三角形边角计算问题，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
9.如果直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆的半径等于
6或6.5
。答案
9.6或6.5
解析
【分析】
解题时首先要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半。题目仅给出两条边长为5和12，未明确说明这两条边均为直角边，因此需要分类讨论：①12为直角边；②12为斜边，分别计算两种情况下的斜边长，再推导外接圆半径即可。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径$R=\frac{斜边长度}{2}$，分两种情况讨论：
1. 当长为12的边是直角边时，两条直角边分别为5和12，由勾股定理得：
斜边长$c=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
此时外接圆半径$R=\frac{13}{2}=6.5$
2. 当长为12的边是斜边时，外接圆直径即为12，此时外接圆半径$R=\frac{12}{2}=6$
综上，这个三角形的外接圆半径为6或6.5。
【答案】
6或6.5
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认已知的两条边均为直角边，忽略12为斜边的情况导致漏解。解题时要注意审题，当题目未明确边长的属性时，需考虑所有可能的情况，做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半。题目仅给出两条边长为5和12，未明确说明这两条边均为直角边，因此需要分类讨论：①12为直角边；②12为斜边，分别计算两种情况下的斜边长，再推导外接圆半径即可。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径$R=\frac{斜边长度}{2}$，分两种情况讨论：
1. 当长为12的边是直角边时，两条直角边分别为5和12，由勾股定理得：
斜边长$c=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
此时外接圆半径$R=\frac{13}{2}=6.5$
2. 当长为12的边是斜边时，外接圆直径即为12，此时外接圆半径$R=\frac{12}{2}=6$
综上，这个三角形的外接圆半径为6或6.5。
【答案】
6或6.5
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认已知的两条边均为直角边，忽略12为斜边的情况导致漏解。解题时要注意审题，当题目未明确边长的属性时，需考虑所有可能的情况，做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
10.如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，且M，N分别是OD，OE的中点，连接MN。若MN=2，则BC=
8
。答案
10.8
解析
【分析】
解题时先利用三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合OD⊥AB、OE⊥AC，可推出D、E分别为AB、AC的中点，由此得到DE是△ABC的中位线；再根据M、N是OD、OE的中点，可知MN是△ODE的中位线，结合两次中位线的长度关系，即可推导出BC与MN的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，外心为三角形三边垂直平分线的交点，且OD⊥AB，OE⊥AC
∴D是AB的中点，E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$
又
∵M、N分别是OD、OE的中点
∴MN是△ODE的中位线，根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}DE$
将$DE=\frac{1}{2}BC$代入上式得：$MN=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$
∴$BC=4MN$
已知$MN=2$，代入得$BC=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
三角形外心的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础综合题，将三角形外心的性质和中位线定理结合考查，解题的核心是识别出两次中位线模型，从而建立已知线段和待求线段的数量关系，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合OD⊥AB、OE⊥AC，可推出D、E分别为AB、AC的中点，由此得到DE是△ABC的中位线；再根据M、N是OD、OE的中点，可知MN是△ODE的中位线，结合两次中位线的长度关系，即可推导出BC与MN的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，外心为三角形三边垂直平分线的交点，且OD⊥AB，OE⊥AC
∴D是AB的中点，E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$
又
∵M、N分别是OD、OE的中点
∴MN是△ODE的中位线，根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}DE$
将$DE=\frac{1}{2}BC$代入上式得：$MN=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$
∴$BC=4MN$
已知$MN=2$，代入得$BC=4×2=8$
【答案】
8
【知识点】
三角形外心的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础综合题，将三角形外心的性质和中位线定理结合考查，解题的核心是识别出两次中位线模型，从而建立已知线段和待求线段的数量关系，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，半径$OB=5\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到$BC$的距离为$3\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长为
$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
$\mathrm{cm}.$答案
11.$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
由AB=AC可知△ABC为等腰三角形，结合圆的性质，圆心O在BC的垂直平分线上，因此A、O、BC的中点三点共线。本题需分类讨论圆心O在△ABC内部和外部两种情况：第一步先利用勾股定理求出BC长度的一半，第二步结合不同情况求出点A到BC的距离，最后再用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
设BC的中点为D，连接AD、OB。
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵O是⊙O的圆心，
∴OD⊥BC，且OB=OA=5cm，
∴A、O、D三点共线，已知OD=3cm。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，A到BC的距离$AD=AO + OD=5+3=8\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2 + BD^2}=\sqrt{8^2 + 4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\mathrm{cm}$；
② 当圆心O在△ABC外部时，A到BC的距离$AD=AO - OD=5-3=2\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2 + BD^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
综上，AB的长为$4\sqrt{5}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略圆心在三角形外部的情况，解题时要结合几何图形的位置特征进行分类讨论，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
由AB=AC可知△ABC为等腰三角形，结合圆的性质，圆心O在BC的垂直平分线上，因此A、O、BC的中点三点共线。本题需分类讨论圆心O在△ABC内部和外部两种情况：第一步先利用勾股定理求出BC长度的一半，第二步结合不同情况求出点A到BC的距离，最后再用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
设BC的中点为D，连接AD、OB。
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵O是⊙O的圆心，
∴OD⊥BC，且OB=OA=5cm，
∴A、O、D三点共线，已知OD=3cm。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，A到BC的距离$AD=AO + OD=5+3=8\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2 + BD^2}=\sqrt{8^2 + 4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\mathrm{cm}$；
② 当圆心O在△ABC外部时，A到BC的距离$AD=AO - OD=5-3=2\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{AD^2 + BD^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
综上，AB的长为$4\sqrt{5}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略圆心在三角形外部的情况，解题时要结合几何图形的位置特征进行分类讨论，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$5×7$的网格中，各小正方形的边长均为1，点$O,A,B,C,D,E$均在格点上，点$O$是$△ ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，除$△ ABC$外，把你认为外心也是点$O$的三角形都写出来：
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
.答案
12.$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
解析
【分析】
首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。因此要找外心也为O的三角形，只需找到三个顶点到O的距离都等于△ABC外接圆半径的三角形即可。第一步先通过勾股定理计算OA、OB、OC的长度确定外接圆半径，第二步计算D、E两点到O的距离，筛选出和A、B、C共圆的点，第三步组合这些点得到除△ABC外符合要求的三角形。
【解析】
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，若三角形外心为O，则三角形的三个顶点到O的距离相等，均等于△ABC外接圆的半径。
设小正方形边长为1，由勾股定理计算各点到O的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$。
因此A、B、C、D四点都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，E不在该圆上。
从A、B、C、D中任选3个点构成的三角形，外接圆都是以O为圆心的圆，即外心为O，除△ABC外，剩余的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是利用外心的性质转化为判断点到圆心的距离是否相等，通过勾股定理计算距离筛选共圆点即可解题，解题时要注意不要漏解，也不要把不符合距离要求的点纳入考虑。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。因此要找外心也为O的三角形，只需找到三个顶点到O的距离都等于△ABC外接圆半径的三角形即可。第一步先通过勾股定理计算OA、OB、OC的长度确定外接圆半径，第二步计算D、E两点到O的距离，筛选出和A、B、C共圆的点，第三步组合这些点得到除△ABC外符合要求的三角形。
【解析】
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，若三角形外心为O，则三角形的三个顶点到O的距离相等，均等于△ABC外接圆的半径。
设小正方形边长为1，由勾股定理计算各点到O的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$。
因此A、B、C、D四点都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，E不在该圆上。
从A、B、C、D中任选3个点构成的三角形，外接圆都是以O为圆心的圆，即外心为O，除△ABC外，剩余的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是利用外心的性质转化为判断点到圆心的距离是否相等，通过勾股定理计算距离筛选共圆点即可解题，解题时要注意不要漏解，也不要把不符合距离要求的点纳入考虑。
【难度系数】
0.7
13.定义:能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
(1)如图①,线段$AB=3$,求线段$AB$的最小覆盖圆的半径.
(2)如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,请用尺规作图,作出$Rt△ ABC$的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法),并求此最小覆盖圆的半径.
(3)如图③,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=5$.
①求矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径;
②若用两个等圆完全覆盖矩形$ABCD$,求这两个等圆的最小半径.
(1)如图①,线段$AB=3$,求线段$AB$的最小覆盖圆的半径.
(2)如图②,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,请用尺规作图,作出$Rt△ ABC$的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法),并求此最小覆盖圆的半径.
(3)如图③,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=5$.
①求矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径;
②若用两个等圆完全覆盖矩形$ABCD$,求这两个等圆的最小半径.
答案
13.解:(1)如答图①.
∵$AB≤ O'A+O'B$,
∴当$AB=O'A+O'B$时,$\odot O$的半径最小,
∴AB的长为线段AB的最小覆盖圆的直径,
∴线段AB的最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$.
(2)如答图②,Rt△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆,
作BC的垂直平分线MN交BC于点D,连接AD.
∵∠BAC=90°,BD=CD,
∴DA=DB=DC.
以点D为圆心,DB长为半径作$\odot D$,则$\odot D$是Rt△ABC的外接圆.
∵$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(3\sqrt{2})^2}=5$,
∴$DB=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,
∴Rt△ABC的最小覆盖圆的半径为$\frac{5}{2}$.
(3)①如答图③,矩形ABCD的外接圆是它的最小覆盖圆,连接AC,BD交于点O.
∵$OA=OC=\frac{1}{2}AC$,$OB=OD=\frac{1}{2}BD$,且AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD,以点O为圆心,OA长为半径作$\odot O$,则$\odot O$是矩形ABCD的外接圆.
∵∠ABC=90°,AB=3,BC=5,
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$,
∴$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为$\frac{\sqrt{34}}{2}$.
②如答图④,分别取AD,BC的中点G,H,连接AH,BG,交于点E,连接DH,CG,交于点F,连接GH.
∵AD=BC=5,
∴$AG=DG=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}$,$BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$,
∴AG=BH=DG=CH.
∵AG//BH,DG//CH,
∴四边形ABHG和四边形DCHG都是平行四边形.
∵∠ABH=∠DCH=90°,
∴四边形ABHG和四边形DCHG都是矩形.
∵AB=DC=3,∠ABH=∠DCH=90°,BH=CH,
∴△ABH≌△DCH(SAS),
∴AH=DH,
∴$EA=EB=EH=EG=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}DH=FD=FC=FH=FG$,即矩形ABHG的外接圆和矩形DCHG的外接圆是两个完全覆盖矩形ABCD的等圆.
分别以点E,F为圆心,AE的长、DF的长为半径作$\odot E$,$\odot F$,
同理可得$\odot E$,$\odot F$分别为矩形ABHG,矩形DCHG的最小覆盖圆.
∵$AH=DH=\sqrt{CD^2+CH^2}=\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$,
∴$AE=DF=\frac{1}{2}DH=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{\sqrt{61}}{4}$,
∴这两个等圆的最小半径为$\frac{\sqrt{61}}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求解线段的最小覆盖圆时，明确覆盖线段的最小圆的直径恰好等于线段长度，此时半径最小，直接取线段长度的一半即可得到半径。
(2) 直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，根据直角三角形外接圆的性质，斜边为外接圆的直径，因此先利用勾股定理计算斜边长度，再取其一半即为半径；作图时只需作出斜边的垂直平分线找到斜边中点，以中点为圆心、斜边长度的一半为半径作圆即可。
(3) ①矩形的四个顶点均在以对角线为直径的圆上，因此矩形的最小覆盖圆是其外接圆，先利用勾股定理求出对角线长度，取一半即为半径。②要用两个等圆完全覆盖矩形，最优方案是沿长的中点连线将矩形分割为两个全等的小矩形，每个小矩形的最小覆盖圆就是所需的等圆，计算出小矩形对角线长度的一半即为等圆的最小半径。
【解析】
(1) 线段AB的最小覆盖圆是以AB为直径的圆，已知AB=3，因此该圆的半径为$\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
(2) Rt△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，外接圆的直径为斜边BC。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7+18}=5$，因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2} × 5=\frac{5}{2}$。
作图：作BC的垂直平分线交BC于点D，以D为圆心、DB长为半径作圆即可（如答图②）。
(3) ①矩形ABCD的最小覆盖圆是其外接圆，外接圆直径为对角线AC。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
②取AD、BC的中点G、H，连接GH将矩形ABCD分割为两个全等的小矩形ABHG和DCHG，两个等圆分别为两个小矩形的外接圆时半径最小。
小矩形的邻边长分别为3和$\frac{5}{2}$，其对角线长为$\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$，因此等圆的最小半径为$\frac{1}{2} × \frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{\sqrt{61}}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；
(2) 作图见答图②，半径为$\frac{5}{2}$；
(3) ①$\frac{\sqrt{34}}{2}$；②$\frac{\sqrt{61}}{4}$。
【知识点】
最小覆盖圆定义，勾股定理，外接圆性质
【点评】
本题以“最小覆盖圆”的新定义为载体，依次考查了线段、直角三角形、矩形的最小覆盖圆求解，既结合了基础几何图形的性质和勾股定理的基础应用，又通过两圆覆盖的设问考查了几何分割的优化思维，难度梯度设置合理，能有效检验学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解线段的最小覆盖圆时，明确覆盖线段的最小圆的直径恰好等于线段长度，此时半径最小，直接取线段长度的一半即可得到半径。
(2) 直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，根据直角三角形外接圆的性质，斜边为外接圆的直径，因此先利用勾股定理计算斜边长度，再取其一半即为半径；作图时只需作出斜边的垂直平分线找到斜边中点，以中点为圆心、斜边长度的一半为半径作圆即可。
(3) ①矩形的四个顶点均在以对角线为直径的圆上，因此矩形的最小覆盖圆是其外接圆，先利用勾股定理求出对角线长度，取一半即为半径。②要用两个等圆完全覆盖矩形，最优方案是沿长的中点连线将矩形分割为两个全等的小矩形，每个小矩形的最小覆盖圆就是所需的等圆，计算出小矩形对角线长度的一半即为等圆的最小半径。
【解析】
(1) 线段AB的最小覆盖圆是以AB为直径的圆，已知AB=3，因此该圆的半径为$\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
(2) Rt△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，外接圆的直径为斜边BC。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7+18}=5$，因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2} × 5=\frac{5}{2}$。
作图：作BC的垂直平分线交BC于点D，以D为圆心、DB长为半径作圆即可（如答图②）。
(3) ①矩形ABCD的最小覆盖圆是其外接圆，外接圆直径为对角线AC。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
②取AD、BC的中点G、H，连接GH将矩形ABCD分割为两个全等的小矩形ABHG和DCHG，两个等圆分别为两个小矩形的外接圆时半径最小。
小矩形的邻边长分别为3和$\frac{5}{2}$，其对角线长为$\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$，因此等圆的最小半径为$\frac{1}{2} × \frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{\sqrt{61}}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；
(2) 作图见答图②，半径为$\frac{5}{2}$；
(3) ①$\frac{\sqrt{34}}{2}$；②$\frac{\sqrt{61}}{4}$。
【知识点】
最小覆盖圆定义，勾股定理，外接圆性质
【点评】
本题以“最小覆盖圆”的新定义为载体，依次考查了线段、直角三角形、矩形的最小覆盖圆求解，既结合了基础几何图形的性质和勾股定理的基础应用，又通过两圆覆盖的设问考查了几何分割的优化思维，难度梯度设置合理，能有效检验学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.6
