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11 已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，则$\sqrt{x}$的值为
$\sqrt{2}$或1或0
。答案
$\sqrt{2}$或1或0
【解析】$\because \sqrt[3]{x-1}=x-1,\therefore x-1=1$ 或 $x-1=0$ 或 $x-1=-1,\therefore x=2$ 或 $x=1$ 或 $x=0.\because \sqrt{2}=\sqrt{2},\sqrt{1}=1,\sqrt{0}=0,\therefore \sqrt{x}$ 的值为$\sqrt{2}$或1或0.
【解析】$\because \sqrt[3]{x-1}=x-1,\therefore x-1=1$ 或 $x-1=0$ 或 $x-1=-1,\therefore x=2$ 或 $x=1$ 或 $x=0.\because \sqrt{2}=\sqrt{2},\sqrt{1}=1,\sqrt{0}=0,\therefore \sqrt{x}$ 的值为$\sqrt{2}$或1或0.
解析
【分析】
解题的关键是掌握立方根等于它本身的数的特征。我们知道，若一个数的立方根等于它本身，则这个数只能是-1、0、1这三个数，所以本题中x-1的取值就是这三个数，分别列方程求解x的值，再根据算术平方根的定义计算√x即可，同时注意算术平方根的被开方数必须是非负数，验证解的有效性。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[3]{x-1}=x-1$，立方根等于自身的数为-1、0、1，因此分三种情况讨论：
① 当$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{2}$；
② 当$x-1=0$时，解得$x=1$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{1}=1$；
③ 当$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{0}=0$。
综上，$\sqrt{x}$的值为$\sqrt{2}$或1或0。
【答案】
$\sqrt{2}$或1或0
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题核心考查立方根等于自身的特殊数的掌握，解题时容易出现漏解的情况，尤其不要遗漏$x-1=-1$的情况，同时要注意算术平方根的非负性，保证最终结果符合定义要求。
【难度系数】
0.7
解题的关键是掌握立方根等于它本身的数的特征。我们知道，若一个数的立方根等于它本身，则这个数只能是-1、0、1这三个数，所以本题中x-1的取值就是这三个数，分别列方程求解x的值，再根据算术平方根的定义计算√x即可，同时注意算术平方根的被开方数必须是非负数，验证解的有效性。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[3]{x-1}=x-1$，立方根等于自身的数为-1、0、1，因此分三种情况讨论：
① 当$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{2}$；
② 当$x-1=0$时，解得$x=1$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{1}=1$；
③ 当$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{0}=0$。
综上，$\sqrt{x}$的值为$\sqrt{2}$或1或0。
【答案】
$\sqrt{2}$或1或0
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题核心考查立方根等于自身的特殊数的掌握，解题时容易出现漏解的情况，尤其不要遗漏$x-1=-1$的情况，同时要注意算术平方根的非负性，保证最终结果符合定义要求。
【难度系数】
0.7
12 教材 P68 习题 T2 变式 计算：
(1) $\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}$；
(2) $(\sqrt[3]{-100})^3$；
(3) $\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}} × \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$。
(1) $\sqrt[3]{-2\dfrac{10}{27}}$；
(2) $(\sqrt[3]{-100})^3$；
(3) $\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}} × \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$。
答案
(1) $-\frac{4}{3}$ (2) $-100$ (3) $-\frac{3}{8}$
解析
【分析】
这三道题均考查立方根的相关运算，解题思路如下：
1. 带分数开立方运算，先将带分数化为假分数，再结合立方根性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$、$\sqrt[3]{a^3}=a$计算；
2. $(\sqrt[3]{a})^3$形式的运算，直接利用立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$即可得出结果；
3. 多个立方根相乘的运算，可分别计算每个立方根的值再求乘积，也可利用立方根乘法性质$\sqrt[3]{a}×\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$，先将被开方数相乘再开立方，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$-2\dfrac{10}{27}=-\dfrac{2×27+10}{27}=-\dfrac{64}{27}$
原式$=\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{4}{3})^3}=-\dfrac{4}{3}$
(2) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接代入得：
原式$=-100$
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{3×8+3}{8}=\dfrac{27}{8}$
分别计算两个立方根：$\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$
原式$=\dfrac{3}{2}×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}$；(2) $-100$；(3) $-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
立方根的性质，立方根的运算，带分数化简
【点评】
本题属于立方根基础运算题，解题关键是熟练掌握立方根的相关性质，计算带分数开立方时要先将带分数转化为假分数，运算过程中注意正负号的判断，避免因符号或带分数换算出错失分。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查立方根的相关运算，解题思路如下：
1. 带分数开立方运算，先将带分数化为假分数，再结合立方根性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$、$\sqrt[3]{a^3}=a$计算；
2. $(\sqrt[3]{a})^3$形式的运算，直接利用立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$即可得出结果；
3. 多个立方根相乘的运算，可分别计算每个立方根的值再求乘积，也可利用立方根乘法性质$\sqrt[3]{a}×\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$，先将被开方数相乘再开立方，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：$-2\dfrac{10}{27}=-\dfrac{2×27+10}{27}=-\dfrac{64}{27}$
原式$=\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}=\sqrt[3]{(-\dfrac{4}{3})^3}=-\dfrac{4}{3}$
(2) 根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接代入得：
原式$=-100$
(3) 先将带分数化为假分数：$3\dfrac{3}{8}=\dfrac{3×8+3}{8}=\dfrac{27}{8}$
分别计算两个立方根：$\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$，$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$
原式$=\dfrac{3}{2}×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{3}{8}$
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}$；(2) $-100$；(3) $-\dfrac{3}{8}$
【知识点】
立方根的性质，立方根的运算，带分数化简
【点评】
本题属于立方根基础运算题，解题关键是熟练掌握立方根的相关性质，计算带分数开立方时要先将带分数转化为假分数，运算过程中注意正负号的判断，避免因符号或带分数换算出错失分。
【难度系数】
0.85
13 求下面各式中 x 的值：
（1）$8x^3 + 1 = 0$；
（2）$[2025$ 宿迁段考$]8(x+1)^3 - 27 = 0$。
（1）$8x^3 + 1 = 0$；
（2）$[2025$ 宿迁段考$]8(x+1)^3 - 27 = 0$。
答案
(1) $x=-\frac{1}{2}$ (2) $x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型。解题思路为：先通过移项、系数化为1，将式子变形为“含未知数的三次项=常数”的形式，再对两边同时开立方求出未知数的值；其中第（2）题需要将$(x+1)$看作一个整体先求解，再计算$x$的值。
【解析】
（1）解：$8x^3 + 1 = 0$
移项，得 $8x^3 = -1$
系数化为1，得 $x^3 = -\frac{1}{8}$
两边同时开立方，得 $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$
（2）解：$8(x+1)^3 - 27 = 0$
移项，得 $8(x+1)^3 = 27$
系数化为1，得 $(x+1)^3 = \frac{27}{8}$
两边同时开立方，得 $x+1 = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$
移项计算，得 $x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
【答案】
（1）$x=-\frac{1}{2}$；（2）$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
立方根运算，整体思想，解方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题型，重点考查对立方根定义的掌握，解题时需注意移项的符号问题，第二题运用整体思想可简化计算，避免展开三次项导致计算出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型。解题思路为：先通过移项、系数化为1，将式子变形为“含未知数的三次项=常数”的形式，再对两边同时开立方求出未知数的值；其中第（2）题需要将$(x+1)$看作一个整体先求解，再计算$x$的值。
【解析】
（1）解：$8x^3 + 1 = 0$
移项，得 $8x^3 = -1$
系数化为1，得 $x^3 = -\frac{1}{8}$
两边同时开立方，得 $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$
（2）解：$8(x+1)^3 - 27 = 0$
移项，得 $8(x+1)^3 = 27$
系数化为1，得 $(x+1)^3 = \frac{27}{8}$
两边同时开立方，得 $x+1 = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$
移项计算，得 $x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
【答案】
（1）$x=-\frac{1}{2}$；（2）$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
立方根运算，整体思想，解方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题型，重点考查对立方根定义的掌握，解题时需注意移项的符号问题，第二题运用整体思想可简化计算，避免展开三次项导致计算出错。
【难度系数】
0.8
14 已知有理数$x,y$满足$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$，求$x-8y$的立方根。
答案
$\because \sqrt{x-2y-3}+|2x-3y-5|=0,\sqrt{x-2y-3}≥0,|2x-3y-5|≥0,\therefore x-2y-3=0,2x-3y-5=0$,$\therefore x=1,y=-1,\therefore x-8y=9,\therefore x-8y$ 的立方根为$\sqrt[3]{9}$
解析
【分析】
解题首先利用非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，由此可列出关于x、y的二元一次方程组；接下来解二元一次方程组求出x、y的取值；再将x、y代入x-8y计算出结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2y-3}≥0$，$|2x-3y-5|≥0$，且$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$
∴可得方程组：$\begin{cases}x-2y-3=0 \\2x-3y-5=0 \end{cases}$，整理得$\begin{cases}x-2y=3 ①\\2x-3y=5 ②\end{cases}$
由①得：$x=2y+3$，将其代入②得：$2(2y+3)-3y=5$
展开计算：$4y+6-3y=5$，解得$y=-1$
把$y=-1$代入$x=2y+3$，得$x=2×(-1)+3=1$
将$x=1$，$y=-1$代入$x-8y$，得$x-8y=1 - 8×(-1)=1+8=9$
∴$x-8y$的立方根为$\sqrt[3]{9}$
【答案】
$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组的解法、立方根的定义
【点评】
本题是基础综合题，将非负性的应用、方程组求解与立方根计算结合考查，解题关键是牢记算术平方根和绝对值的非负性，求解过程中要注意符号运算，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
解题首先利用非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，由此可列出关于x、y的二元一次方程组；接下来解二元一次方程组求出x、y的取值；再将x、y代入x-8y计算出结果，最后根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2y-3}≥0$，$|2x-3y-5|≥0$，且$\sqrt{x-2y-3} + |2x-3y-5|=0$
∴可得方程组：$\begin{cases}x-2y-3=0 \\2x-3y-5=0 \end{cases}$，整理得$\begin{cases}x-2y=3 ①\\2x-3y=5 ②\end{cases}$
由①得：$x=2y+3$，将其代入②得：$2(2y+3)-3y=5$
展开计算：$4y+6-3y=5$，解得$y=-1$
把$y=-1$代入$x=2y+3$，得$x=2×(-1)+3=1$
将$x=1$，$y=-1$代入$x-8y$，得$x-8y=1 - 8×(-1)=1+8=9$
∴$x-8y$的立方根为$\sqrt[3]{9}$
【答案】
$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组的解法、立方根的定义
【点评】
本题是基础综合题，将非负性的应用、方程组求解与立方根计算结合考查，解题关键是牢记算术平方根和绝对值的非负性，求解过程中要注意符号运算，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
15 新考向 探究题 把一个长12 cm、宽9 cm、高2 cm的长方体铁块加工成一个正方体铁块后，其表面积有何变化？通过计算说明（假设加工过程中无任何损耗）。
答案
设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm}$,则 $x^3=12×9×2$,解得 $x=6$. 此时正方体铁块的表面积为 $6×6^2=216(\mathrm{cm}^2)$,而原长方体铁块的表面积为$(12×9+9×2+12×2)×2=300(\mathrm{cm}^2).\because 300-216=84(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$ 其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先抓住“加工过程无损耗”这一关键条件，可知加工前后铁块的体积相等，因此第一步可先计算长方体铁块的体积，该体积即为正方体铁块的体积，再利用正方体体积公式求出正方体的棱长；第二步分别计算原长方体和加工后正方体的表面积，将两个表面积作差即可判断表面积的变化情况。
【解析】
解：设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm}$，
由加工无损耗可知正方体体积等于原长方体体积，列方程得：
$x^3=12×9×2$
计算得$x^3=216$，解得$x=6$。
分别计算两者的表面积：
正方体表面积：$6×6^2=216(\mathrm{cm}^2)$
原长方体表面积：$(12×9+9×2+12×2)×2=300(\mathrm{cm}^2)$
表面积差值为：$300-216=84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等体积变形，立方根的应用，长方体与正方体表面积计算
【点评】
本题属于基础探究题，解题核心是抓住加工无损耗即体积不变的隐含条件，结合立方根运算求出正方体棱长，再代入表面积公式计算对比即可，解题时需注意公式的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“加工过程无损耗”这一关键条件，可知加工前后铁块的体积相等，因此第一步可先计算长方体铁块的体积，该体积即为正方体铁块的体积，再利用正方体体积公式求出正方体的棱长；第二步分别计算原长方体和加工后正方体的表面积，将两个表面积作差即可判断表面积的变化情况。
【解析】
解：设加工成的正方体铁块的棱长为 $x\ \mathrm{cm}$，
由加工无损耗可知正方体体积等于原长方体体积，列方程得：
$x^3=12×9×2$
计算得$x^3=216$，解得$x=6$。
分别计算两者的表面积：
正方体表面积：$6×6^2=216(\mathrm{cm}^2)$
原长方体表面积：$(12×9+9×2+12×2)×2=300(\mathrm{cm}^2)$
表面积差值为：$300-216=84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
其表面积减少了 $84\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等体积变形，立方根的应用，长方体与正方体表面积计算
【点评】
本题属于基础探究题，解题核心是抓住加工无损耗即体积不变的隐含条件，结合立方根运算求出正方体棱长，再代入表面积公式计算对比即可，解题时需注意公式的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
