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9 [2025相城区段考]若一个数的平方是49，则这个数可能是
$\pm7$
。答案
9. $\pm7$
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心是求平方等于49的数，可结合平方根的定义推导：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，且正数的平方根有两个，互为相反数，因此本题本质是求49的平方根，推导时注意不要遗漏负数解。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可得：
$x^2=49$
根据平方根的定义，$x$是49的平方根，因此：
$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$
【答案】
$\pm7$
【知识点】
平方根的定义，乘方的逆运算
【点评】
本题属于平方根基础题型，解题关键是牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免仅写出正根导致失分。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目核心是求平方等于49的数，可结合平方根的定义推导：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，且正数的平方根有两个，互为相反数，因此本题本质是求49的平方根，推导时注意不要遗漏负数解。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可得：
$x^2=49$
根据平方根的定义，$x$是49的平方根，因此：
$x=\pm\sqrt{49}=\pm7$
【答案】
$\pm7$
【知识点】
平方根的定义，乘方的逆运算
【点评】
本题属于平方根基础题型，解题关键是牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免仅写出正根导致失分。
【难度系数】
0.85
若$x^2=361$，则$x+22$的算术平方根为
$\sqrt{41}或\sqrt{3}$
.答案
10. $\sqrt{41}或\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据平方根的定义求出x的所有可能值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；再将x的两个取值分别代入x+22计算结果，最后根据算术平方根为非负的特点，求出对应x+22的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $x^2 = 361$
∴ 根据平方根的定义可得：$x = \pm\sqrt{361} = \pm19$
分两种情况计算：
① 当$x = 19$时，$x + 22 = 19 + 22 = 41$，41的算术平方根为$\sqrt{41}$；
② 当$x = -19$时，$x + 22 = -19 + 22 = 3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
因此$x+22$的算术平方根为$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题易错点在于容易遗漏x为负值的情况，也容易混淆平方根和算术平方根的概念，做题时要注意分类讨论，明确算术平方根一定是非负数。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据平方根的定义求出x的所有可能值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；再将x的两个取值分别代入x+22计算结果，最后根据算术平方根为非负的特点，求出对应x+22的算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $x^2 = 361$
∴ 根据平方根的定义可得：$x = \pm\sqrt{361} = \pm19$
分两种情况计算：
① 当$x = 19$时，$x + 22 = 19 + 22 = 41$，41的算术平方根为$\sqrt{41}$；
② 当$x = -19$时，$x + 22 = -19 + 22 = 3$，3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
因此$x+22$的算术平方根为$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题易错点在于容易遗漏x为负值的情况，也容易混淆平方根和算术平方根的概念，做题时要注意分类讨论，明确算术平方根一定是非负数。
【难度系数】
0.7
11 下列各数有平方根吗？如果有，请分别求出它们的平方根；如果没有，请说明理由。
(1) $-64$；
(2) $0$；
(3) $(-0.1)^2$；
(4) $10^{-6}$。
(1) $-64$；
(2) $0$；
(3) $(-0.1)^2$；
(4) $10^{-6}$。
答案
11. (1) 没有 理由:负数没有平方根. (2) 有 0 (3) 有 $\pm0.1$ (4) 有 $\pm10^{-3}$
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时第一步先判断每个数的正负性：如果是负数，直接说明没有平方根；如果是非负数，再通过平方运算的逆运算求对应的平方根，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【解析】
(1) 因为$-64$是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，所以$-64$没有平方根；
(2) 0是非负数，有平方根，根据性质可得0的平方根是0；
(3) 先计算得$(-0.1)^2=0.01$，0.01是正数，存在平方根，因为$(±0.1)^2=0.01=(-0.1)^2$，所以$(-0.1)^2$的平方根是$±0.1$；
(4) $10^{-6}$是正数，存在平方根，因为$(±10^{-3})^2=10^{-6}$，所以$10^{-6}$的平方根是$±10^{-3}$。
【答案】
(1) 没有 理由:负数没有平方根. (2) 有 0 (3) 有 $\pm0.1$ (4) 有 $\pm10^{-3}$
【知识点】
平方根的性质，平方根的计算
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题的关键是牢记平方根的性质，计算正数的平方根时注意不要漏写负的结果，掌握平方与开平方的互逆运算关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时第一步先判断每个数的正负性：如果是负数，直接说明没有平方根；如果是非负数，再通过平方运算的逆运算求对应的平方根，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的结果。
【解析】
(1) 因为$-64$是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，所以$-64$没有平方根；
(2) 0是非负数，有平方根，根据性质可得0的平方根是0；
(3) 先计算得$(-0.1)^2=0.01$，0.01是正数，存在平方根，因为$(±0.1)^2=0.01=(-0.1)^2$，所以$(-0.1)^2$的平方根是$±0.1$；
(4) $10^{-6}$是正数，存在平方根，因为$(±10^{-3})^2=10^{-6}$，所以$10^{-6}$的平方根是$±10^{-3}$。
【答案】
(1) 没有 理由:负数没有平方根. (2) 有 0 (3) 有 $\pm0.1$ (4) 有 $\pm10^{-3}$
【知识点】
平方根的性质，平方根的计算
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题的关键是牢记平方根的性质，计算正数的平方根时注意不要漏写负的结果，掌握平方与开平方的互逆运算关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
12 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ x^2 - \sqrt{100} = 0 $；
(2) $ 36x^2 - 625 = 0 $；
(3) $[2025 苏州工业园区段考] (x - 2)^2 = 169 $；
(4) 一题多解 $ 4(x + 1)^2 = 81 $。
(1) $ x^2 - \sqrt{100} = 0 $；
(2) $ 36x^2 - 625 = 0 $；
(3) $[2025 苏州工业园区段考] (x - 2)^2 = 169 $；
(4) 一题多解 $ 4(x + 1)^2 = 81 $。
答案
12. (1) $x=\pm\sqrt{10}$ (2) $x=\pm\dfrac{25}{6}$ (3) $x=15$或$x=-11$
(4) 解法一:由题意,得$(x+1)^2=\dfrac{81}{4}$,$\therefore x+1=\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}}$,即$x+1=\pm\dfrac{9}{2}$,$\therefore x+1=\dfrac{9}{2}$或$x+1=-\dfrac{9}{2}$,解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
解法二:由题意,得$[2(x+1)]^2=81$,$\therefore 2(x+1)=\pm\sqrt{81}$,即$2(x+1)=\pm9$,$\therefore 2(x+1)=9$或$2(x+1)=-9$,解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
(4) 解法一:由题意,得$(x+1)^2=\dfrac{81}{4}$,$\therefore x+1=\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}}$,即$x+1=\pm\dfrac{9}{2}$,$\therefore x+1=\dfrac{9}{2}$或$x+1=-\dfrac{9}{2}$,解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
解法二:由题意,得$[2(x+1)]^2=81$,$\therefore 2(x+1)=\pm\sqrt{81}$,即$2(x+1)=\pm9$,$\therefore 2(x+1)=9$或$2(x+1)=-9$,解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
解析
【分析】
这几道题均属于利用平方根的定义求解未知数的题型，解题核心思路是：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“含x的式子的平方 = 非负数”的形式，再根据“若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$”的平方根定义开平方，最后分两种情况计算x的值即可；对于括号内含x的题型，可先把括号内的代数式看作整体运算，避免展开的麻烦，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 化简方程：
先计算$\sqrt{100}=10$，原方程移项得$x^2=10$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{10}$。
(2) 对$36x^2 - 625 = 0$移项，得$36x^2=625$，
系数化为1，得$x^2=\frac{625}{36}$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{\frac{625}{36}}=\pm\frac{25}{6}$。
(3) 将$(x-2)$看作整体，根据平方根的定义，得$x-2=\pm\sqrt{169}=\pm13$，
分情况计算：
当$x-2=13$时，解得$x=15$；
当$x-2=-13$时，解得$x=-11$。
(4) 解法一：
方程两边同时除以4，得$(x+1)^2=\frac{81}{4}$，
将$(x+1)$看作整体开平方，得$x+1=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}=\pm\frac{9}{2}$，
分情况计算：
当$x+1=\frac{9}{2}$时，解得$x=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$；
当$x+1=-\frac{9}{2}$时，解得$x=-\frac{9}{2}-1=-\frac{11}{2}$。
解法二：
将左边变形为平方形式，得$[2(x+1)]^2=81$，
将$2(x+1)$看作整体开平方，得$2(x+1)=\pm\sqrt{81}=\pm9$，
分情况计算：
当$2(x+1)=9$时，$2x+2=9$，解得$x=\frac{7}{2}$；
当$2(x+1)=-9$时，$2x+2=-9$，解得$x=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{10}$
(2) $x=\pm\dfrac{25}{6}$
(3) $x=15$或$x=-11$
(4) $x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法，整体思想
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，解题的关键是掌握平方根的性质，开平方时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解；对于含整体平方的式子，优先用整体法计算可简化运算步骤。
【难度系数】
0.8
这几道题均属于利用平方根的定义求解未知数的题型，解题核心思路是：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“含x的式子的平方 = 非负数”的形式，再根据“若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$”的平方根定义开平方，最后分两种情况计算x的值即可；对于括号内含x的题型，可先把括号内的代数式看作整体运算，避免展开的麻烦，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 化简方程：
先计算$\sqrt{100}=10$，原方程移项得$x^2=10$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{10}$。
(2) 对$36x^2 - 625 = 0$移项，得$36x^2=625$，
系数化为1，得$x^2=\frac{625}{36}$，
根据平方根的定义，得$x=\pm\sqrt{\frac{625}{36}}=\pm\frac{25}{6}$。
(3) 将$(x-2)$看作整体，根据平方根的定义，得$x-2=\pm\sqrt{169}=\pm13$，
分情况计算：
当$x-2=13$时，解得$x=15$；
当$x-2=-13$时，解得$x=-11$。
(4) 解法一：
方程两边同时除以4，得$(x+1)^2=\frac{81}{4}$，
将$(x+1)$看作整体开平方，得$x+1=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}=\pm\frac{9}{2}$，
分情况计算：
当$x+1=\frac{9}{2}$时，解得$x=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$；
当$x+1=-\frac{9}{2}$时，解得$x=-\frac{9}{2}-1=-\frac{11}{2}$。
解法二：
将左边变形为平方形式，得$[2(x+1)]^2=81$，
将$2(x+1)$看作整体开平方，得$2(x+1)=\pm\sqrt{81}=\pm9$，
分情况计算：
当$2(x+1)=9$时，$2x+2=9$，解得$x=\frac{7}{2}$；
当$2(x+1)=-9$时，$2x+2=-9$，解得$x=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{10}$
(2) $x=\pm\dfrac{25}{6}$
(3) $x=15$或$x=-11$
(4) $x=\dfrac{7}{2}$或$x=-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法，整体思想
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，解题的关键是掌握平方根的性质，开平方时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解；对于含整体平方的式子，优先用整体法计算可简化运算步骤。
【难度系数】
0.8
13 已知$2a-1$的平方根是$\pm3$，$3a+b-1$的算术平方根是4，求$a+2b$的平方根。
答案
13. $\because 2a-1$的平方根是$\pm3$,$\therefore 2a-1=9$,$\therefore a=5$.$\because 3a+b-1$的算术平方根是4,$\therefore 3a+b-1=16$. 把$a=5$代入$3a+b-1=16$,解得$b=2$.$\therefore a+2b=5+2×2=9$.$\because 9$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$,$\therefore a+2b$的平方根是$\pm3$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知数。第一步，根据“若一个数的平方根是±x，则这个数等于x²”，可由2a-1的平方根是±3列出关于a的一元一次方程，求出a的值；第二步，根据“若一个非负数的算术平方根是x（x≥0），则这个数等于x²”，结合3a+b-1的算术平方根是4，代入已求的a值可求出b的值；第三步，将a、b代入a+2b计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要遗漏负根。
【解析】
∵$2a-1$的平方根是$\pm3$，
∴$2a-1=(\pm3)^2=9$，解得$a=5$。
∵$3a+b-1$的算术平方根是4，
∴$3a+b-1=4^2=16$。
把$a=5$代入上式，得$3×5 + b -1 =16$，
即$15 + b -1 =16$，解得$b=2$。
∴$a+2b=5 + 2×2=9$。
∵$9$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$，
∴$a+2b$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是平方根相关的基础应用题型，解题的关键是准确区分平方根和算术平方根的概念，根据定义建立方程求出未知参数，注意最终求正数的平方根时要写出正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知数。第一步，根据“若一个数的平方根是±x，则这个数等于x²”，可由2a-1的平方根是±3列出关于a的一元一次方程，求出a的值；第二步，根据“若一个非负数的算术平方根是x（x≥0），则这个数等于x²”，结合3a+b-1的算术平方根是4，代入已求的a值可求出b的值；第三步，将a、b代入a+2b计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要遗漏负根。
【解析】
∵$2a-1$的平方根是$\pm3$，
∴$2a-1=(\pm3)^2=9$，解得$a=5$。
∵$3a+b-1$的算术平方根是4，
∴$3a+b-1=4^2=16$。
把$a=5$代入上式，得$3×5 + b -1 =16$，
即$15 + b -1 =16$，解得$b=2$。
∴$a+2b=5 + 2×2=9$。
∵$9$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$，
∴$a+2b$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是平方根相关的基础应用题型，解题的关键是准确区分平方根和算术平方根的概念，根据定义建立方程求出未知参数，注意最终求正数的平方根时要写出正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
