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1 [2024 内江]16 的平方根是 （
A.2
B.-4
C.4
D.±4
D
）A.2
B.-4
C.4
D.±4
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。我们需要找到所有平方后等于16的数，再对应选项判断即可，要注意正数的平方根有两个，它们互为相反数，不要漏记负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2 = a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根。
因为$(+4)^2 = 16$，$(-4)^2 = 16$，所以16的平方根是$\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义 2.正数的平方根性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，误将算术平方根当成平方根选C，学习时要明确两者的区别。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。我们需要找到所有平方后等于16的数，再对应选项判断即可，要注意正数的平方根有两个，它们互为相反数，不要漏记负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2 = a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根。
因为$(+4)^2 = 16$，$(-4)^2 = 16$，所以16的平方根是$\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义 2.正数的平方根性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，误将算术平方根当成平方根选C，学习时要明确两者的区别。
【难度系数】
0.8
2 下列说法正确的是 （
A.－81 的平方根是±9
B.0 没有平方根
C.－a 没有平方根
D.5 是 25 的一个平方根
D
）A.－81 的平方根是±9
B.0 没有平方根
C.－a 没有平方根
D.5 是 25 的一个平方根
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要牢记平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时结合该性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：-81是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，因此该选项错误；
B选项：0的平方根是0本身，因此该选项错误；
C选项：当a≤0时，-a为非负数，此时-a有平方根，例如a=-2时，-a=2，2的平方根是±√2，因此该选项错误；
D选项：因为5²=25，所以5是25的一个平方根（25的平方根为±5，5是其中正的平方根），因此该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
这道题是平方根的基础概念题，容易出错的点是误判带负号的数一定是负数，以及忽略0的平方根的存在，解题时要紧扣平方根的性质，必要时可举反例判断选项正误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要牢记平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时结合该性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：-81是负数，根据平方根的性质，负数没有平方根，因此该选项错误；
B选项：0的平方根是0本身，因此该选项错误；
C选项：当a≤0时，-a为非负数，此时-a有平方根，例如a=-2时，-a=2，2的平方根是±√2，因此该选项错误；
D选项：因为5²=25，所以5是25的一个平方根（25的平方根为±5，5是其中正的平方根），因此该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
这道题是平方根的基础概念题，容易出错的点是误判带负号的数一定是负数，以及忽略0的平方根的存在，解题时要紧扣平方根的性质，必要时可举反例判断选项正误。
【难度系数】
0.8
若$-\sqrt{5}$是$x$的一个平方根，则另一个平方根是
$\sqrt{5}$
，$x$的值是5
.答案
3. 另一个平方根是$\sqrt{5}$，$x$的值是5
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的核心性质：正数有两个平方根，二者互为相反数。已知其中一个平方根，求另一个平方根时，直接计算已知平方根的相反数即可；要求原数x，只需要将已知的平方根做平方运算，得到的结果就是x的值。
【解析】
根据平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数。
已知$-\sqrt{5}$是$x$的一个平方根，因此另一个平方根是$-\sqrt{5}$的相反数，即$\sqrt{5}$。
再根据平方根的定义，$x$是平方根的平方，因此$x=(-\sqrt{5})^2=5$。
【答案】
$\sqrt{5}$；$5$
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题是平方根的基础考查题型，解题关键是牢记正数两个平方根互为相反数的性质，计算平方根的平方时注意符号运算规则即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的核心性质：正数有两个平方根，二者互为相反数。已知其中一个平方根，求另一个平方根时，直接计算已知平方根的相反数即可；要求原数x，只需要将已知的平方根做平方运算，得到的结果就是x的值。
【解析】
根据平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数。
已知$-\sqrt{5}$是$x$的一个平方根，因此另一个平方根是$-\sqrt{5}$的相反数，即$\sqrt{5}$。
再根据平方根的定义，$x$是平方根的平方，因此$x=(-\sqrt{5})^2=5$。
【答案】
$\sqrt{5}$；$5$
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题是平方根的基础考查题型，解题关键是牢记正数两个平方根互为相反数的性质，计算平方根的平方时注意符号运算规则即可得分。
【难度系数】
0.9
4（1）若6－15y没有平方根，则y的取值范围是
$y＞\dfrac{2}{5}$
；答案
4.(1) $y＞\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此当6-15y没有平方根时，说明6-15y是负数，据此列出不等式，再解一元一次不等式即可得到y的取值范围，解不等式时要注意，两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：根据平方根的性质，负数没有平方根。
∵6－15y没有平方根，
∴$6 - 15y ＜ 0$，
移项得：$-15y ＜ -6$，
不等式两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得：
$y ＞ \dfrac{-6}{-15}$，
化简得：$y ＞ \dfrac{2}{5}$。
【答案】
$y＞\dfrac{2}{5}$
【知识点】
平方根的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平方根的存在条件，根据题意正确列出不等式，解不等式时要注意不等号方向的变化规则，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。因此当6-15y没有平方根时，说明6-15y是负数，据此列出不等式，再解一元一次不等式即可得到y的取值范围，解不等式时要注意，两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：根据平方根的性质，负数没有平方根。
∵6－15y没有平方根，
∴$6 - 15y ＜ 0$，
移项得：$-15y ＜ -6$，
不等式两边同时除以$-15$，不等号方向改变，得：
$y ＞ \dfrac{-6}{-15}$，
化简得：$y ＞ \dfrac{2}{5}$。
【答案】
$y＞\dfrac{2}{5}$
【知识点】
平方根的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平方根的存在条件，根据题意正确列出不等式，解不等式时要注意不等号方向的变化规则，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
(2) [2025苏州工业园区段考]若$2m - 4$与$3m - 1$是同一个正数$a$的两个不同的平方根，则$m=$
1
.答案
4.(2) 1
解析
【分析】
本题考查平方根性质的应用，解题思路如下：1. 回忆平方根的核心性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0；2. 结合题目给出的两个代数式是同一个正数的两个不同平方根，可得到两个代数式相加等于0的等量关系；3. 列出一元一次方程求解m，最后可代入验证结果是否符合题意。
【解析】
根据正数的两个不同平方根互为相反数，可得：
$(2m-4)+(3m-1)=0$
合并同类项得：
$5m-5=0$
移项后系数化为1得：
$m=1$
验证：当$m=1$时，$2m-4=-2$，$3m-1=2$，二者是正数4的两个不同平方根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，通过建立方程即可快速求解，解题时可结合“两个不同的平方根”的条件验证结果的合理性。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根性质的应用，解题思路如下：1. 回忆平方根的核心性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0；2. 结合题目给出的两个代数式是同一个正数的两个不同平方根，可得到两个代数式相加等于0的等量关系；3. 列出一元一次方程求解m，最后可代入验证结果是否符合题意。
【解析】
根据正数的两个不同平方根互为相反数，可得：
$(2m-4)+(3m-1)=0$
合并同类项得：
$5m-5=0$
移项后系数化为1得：
$m=1$
验证：当$m=1$时，$2m-4=-2$，$3m-1=2$，二者是正数4的两个不同平方根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，通过建立方程即可快速求解，解题时可结合“两个不同的平方根”的条件验证结果的合理性。
【难度系数】
0.8
5 教材 P64 例2变式 求下列各数的平方根：
(1) 144；
(2) $2\frac{7}{9}$；
(3) $(-10)^2$。
(1) 144；
(2) $2\frac{7}{9}$；
(3) $(-10)^2$。
答案
5. (1) $\pm12$ (2) $\pm\dfrac{5}{3}$ (3) $\pm10$
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的定义：若一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），那么x叫做a的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。求解时按以下思路处理：①对于整数，直接寻找平方后等于该数的两个互为相反数的数；②对于带分数，先将其转化为假分数，再求平方根；③对于含乘方的式子，先计算出乘方的结果，再求平方根。
【解析】
(1) 因为$(±12)^2=144$，根据平方根的定义，144的平方根是$±12$；
(2) 先将带分数化为假分数：$2\frac{7}{9}=\frac{2×9+7}{9}=\frac{25}{9}$，因为$(±\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$2\frac{7}{9}$的平方根是$±\frac{5}{3}$；
(3) 先计算乘方结果：$(-10)^2=100$，因为$(±10)^2=100$，所以$(-10)^2$的平方根是$±10$。
【答案】
(1) $\pm12$；(2) $\pm\dfrac{5}{3}$；(3) $\pm10$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，带分数化简
【点评】
本题是平方根求解的基础题型，求解时需注意：正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根；遇到带分数要先化为假分数，遇到含乘方的数先计算乘方结果，再求平方根，避免运算错误。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是平方根的定义：若一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），那么x叫做a的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。求解时按以下思路处理：①对于整数，直接寻找平方后等于该数的两个互为相反数的数；②对于带分数，先将其转化为假分数，再求平方根；③对于含乘方的式子，先计算出乘方的结果，再求平方根。
【解析】
(1) 因为$(±12)^2=144$，根据平方根的定义，144的平方根是$±12$；
(2) 先将带分数化为假分数：$2\frac{7}{9}=\frac{2×9+7}{9}=\frac{25}{9}$，因为$(±\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$2\frac{7}{9}$的平方根是$±\frac{5}{3}$；
(3) 先计算乘方结果：$(-10)^2=100$，因为$(±10)^2=100$，所以$(-10)^2$的平方根是$±10$。
【答案】
(1) $\pm12$；(2) $\pm\dfrac{5}{3}$；(3) $\pm10$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，带分数化简
【点评】
本题是平方根求解的基础题型，求解时需注意：正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根；遇到带分数要先化为假分数，遇到含乘方的数先计算乘方结果，再求平方根，避免运算错误。
【难度系数】
0.85
6 求下列各式中$x$的值：
(1) $x^2=1.21$；
(2) $4x^2=25$；
(3) $\frac{x^2}{2}-98=0$。
(1) $x^2=1.21$；
(2) $4x^2=25$；
(3) $\frac{x^2}{2}-98=0$。
答案
6. (1) $x=\pm1.1$ (2) $x=\pm\dfrac{5}{2}$ (3) $x=\pm14$
解析
【分析】
这三道题均属于已知一个数的平方求这个数的问题，核心是运用平方根的定义求解：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，记为$x=\pm\sqrt{a}$。解题时先将每道题变形为$x^2=a$（$a$为非负数）的标准形式，再对$a$开平方即可得到$x$的值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 已知$x^2=1.21$，根据平方根的定义，$x$是$1.21$的平方根，
因此$x=\pm\sqrt{1.21}=\pm1.1$。
(2) 对$4x^2=25$，先将$x^2$的系数化为1，两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，
因此$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
(3) 对$\frac{x^2}{2}-98=0$，先移项得$\frac{x^2}{2}=98$，两边同时乘2得$x^2=196$，
因此$x=\pm\sqrt{196}=\pm14$。
【答案】
(1) $x=\pm1.1$；(2) $x=\pm\dfrac{5}{2}$；(3) $x=\pm14$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方根的性质，注意正数有两个互为相反数的平方根，求解时不要漏写负根，先整理方程为$x^2=a(a≥0)$的形式再计算即可。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于已知一个数的平方求这个数的问题，核心是运用平方根的定义求解：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，记为$x=\pm\sqrt{a}$。解题时先将每道题变形为$x^2=a$（$a$为非负数）的标准形式，再对$a$开平方即可得到$x$的值，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 已知$x^2=1.21$，根据平方根的定义，$x$是$1.21$的平方根，
因此$x=\pm\sqrt{1.21}=\pm1.1$。
(2) 对$4x^2=25$，先将$x^2$的系数化为1，两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，
因此$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
(3) 对$\frac{x^2}{2}-98=0$，先移项得$\frac{x^2}{2}=98$，两边同时乘2得$x^2=196$，
因此$x=\pm\sqrt{196}=\pm14$。
【答案】
(1) $x=\pm1.1$；(2) $x=\pm\dfrac{5}{2}$；(3) $x=\pm14$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方根的性质，注意正数有两个互为相反数的平方根，求解时不要漏写负根，先整理方程为$x^2=a(a≥0)$的形式再计算即可。
【难度系数】
0.8
7（易错题）$\sqrt{225}$的平方根是 （
A.$\pm\sqrt{15}$
B.$\pm15$
C.$\sqrt{15}$
D.$15$
A
）A.$\pm\sqrt{15}$
B.$\pm15$
C.$\sqrt{15}$
D.$15$
答案
7. A
本题容易看成求“225 的平方根”而致错.
本题容易看成求“225 的平方根”而致错.
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{225}$这个数的平方根，而非225的平方根，这是本题最易出错的点。第一步先计算$\sqrt{225}$的结果，注意$\sqrt{}$表示算术平方根，因此$\sqrt{225}$的结果是正数15；第二步再求15的平方根，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，记作$\pm\sqrt{a}(a＞0)$，即可得到最终结果。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{225}$：因为$15^2=225$，算术平方根是正数的正平方根，因此$\sqrt{225}=15$；
2. 再求15的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有2个且互为相反数，因此15的平方根为$\pm\sqrt{15}$，即$\sqrt{225}$的平方根是$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，解题核心是先明确求平方根的对象，需先将$\sqrt{225}$化简后再求它的平方根，避免直接对225求平方根导致错选。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{225}$这个数的平方根，而非225的平方根，这是本题最易出错的点。第一步先计算$\sqrt{225}$的结果，注意$\sqrt{}$表示算术平方根，因此$\sqrt{225}$的结果是正数15；第二步再求15的平方根，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，记作$\pm\sqrt{a}(a＞0)$，即可得到最终结果。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{225}$：因为$15^2=225$，算术平方根是正数的正平方根，因此$\sqrt{225}=15$；
2. 再求15的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有2个且互为相反数，因此15的平方根为$\pm\sqrt{15}$，即$\sqrt{225}$的平方根是$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的计算；平方根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，解题核心是先明确求平方根的对象，需先将$\sqrt{225}$化简后再求它的平方根，避免直接对225求平方根导致错选。
【难度系数】
0.6
8 教材P64“探究”T1变式 大、中、小三个正方形的摆放方式如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是 （
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
B
）A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，由大、小正方形的面积分别求出它们的边长；再观察图形，确定正方形ABCD的边长的取值范围；最后估算各选项中无理数的大小，判断哪个数在所得的取值范围内即可。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴大正方形的边长为$\sqrt{4}=2$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
观察图形可得：正方形ABCD的边长大于小正方形的边长1，小于大正方形的边长2，即$1 ＜ \mathrm{正方形}ABCD\mathrm{的边长} ＜ 2$。
对各选项分析如下：
A. $1$，不满足大于$1$，不符合要求；
B. $\sqrt{3}$，$\because 1＜3＜4$，$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，符合要求；
C. $2$，不满足小于$2$，不符合要求；
D. $\sqrt{5}$，$\because 5＞4$，$\therefore \sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式，无理数估算，平方根计算
【点评】
本题结合几何图形考查平方根的相关计算和无理数的大小估算，解题关键是通过图形直观得到所求边长的取值范围，再结合估算结果筛选选项，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，由大、小正方形的面积分别求出它们的边长；再观察图形，确定正方形ABCD的边长的取值范围；最后估算各选项中无理数的大小，判断哪个数在所得的取值范围内即可。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴大正方形的边长为$\sqrt{4}=2$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
观察图形可得：正方形ABCD的边长大于小正方形的边长1，小于大正方形的边长2，即$1 ＜ \mathrm{正方形}ABCD\mathrm{的边长} ＜ 2$。
对各选项分析如下：
A. $1$，不满足大于$1$，不符合要求；
B. $\sqrt{3}$，$\because 1＜3＜4$，$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，符合要求；
C. $2$，不满足小于$2$，不符合要求；
D. $\sqrt{5}$，$\because 5＞4$，$\therefore \sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式，无理数估算，平方根计算
【点评】
本题结合几何图形考查平方根的相关计算和无理数的大小估算，解题关键是通过图形直观得到所求边长的取值范围，再结合估算结果筛选选项，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
