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8 [2024成都]若$m$，$n$满足$(m+4)^2+\sqrt{n-5}=0$，则$(m+n)^2$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
8. B
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解。首先回忆常见的非负数类型：一个数的平方、算术平方根都是非负数，当几个非负数相加和为0时，这几个非负数的值都为0。据此我们可以分别列出关于m、n的方程，求出m、n的值后，代入$(m+n)^2$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because (m+4)^2≥0$，$\sqrt{n-5}≥0$，且$(m+4)^2+\sqrt{n-5}=0$
$\therefore$ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m+4=0\\n-5=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-4\\n=5\end{cases}$
将$m=-4$，$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的非负性；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”这一重要结论，该结论在代数式求值类题目中经常用到。
【难度系数】
0.9
本题可根据非负数的性质求解。首先回忆常见的非负数类型：一个数的平方、算术平方根都是非负数，当几个非负数相加和为0时，这几个非负数的值都为0。据此我们可以分别列出关于m、n的方程，求出m、n的值后，代入$(m+n)^2$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because (m+4)^2≥0$，$\sqrt{n-5}≥0$，且$(m+4)^2+\sqrt{n-5}=0$
$\therefore$ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}m+4=0\\n-5=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-4\\n=5\end{cases}$
将$m=-4$，$n=5$代入$(m+n)^2$得：
$(m+n)^2=(-4+5)^2=1^2=1$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的非负性；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”这一重要结论，该结论在代数式求值类题目中经常用到。
【难度系数】
0.9
9（1）[2025 姑苏区段考]面积为10 cm²的正方形的边长为
$\sqrt{10}$
cm；答案
9. (1) $\sqrt{10}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，就是求哪个正数的平方等于10，根据算术平方根的定义，正数的正的平方根就是它的算术平方根，且边长为正数，所以只需计算10的算术平方根即可。
【解析】
设正方形的边长为$ x $ cm（$ x＞0 $），根据正方形面积公式可得：
$ x^2 = 10 $
因为边长为正数，结合算术平方根的定义，可得$ x = \sqrt{10} $。
【答案】
$ \sqrt{10} $
【知识点】
正方形面积公式、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础应用类题目，结合几何实际场景考查算术平方根的概念，解题时需注意结合实际意义，排除负的平方根，只保留正的结果。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形的面积等于边长的平方。已知面积求边长，就是求哪个正数的平方等于10，根据算术平方根的定义，正数的正的平方根就是它的算术平方根，且边长为正数，所以只需计算10的算术平方根即可。
【解析】
设正方形的边长为$ x $ cm（$ x＞0 $），根据正方形面积公式可得：
$ x^2 = 10 $
因为边长为正数，结合算术平方根的定义，可得$ x = \sqrt{10} $。
【答案】
$ \sqrt{10} $
【知识点】
正方形面积公式、算术平方根的定义
【点评】
本题是基础应用类题目，结合几何实际场景考查算术平方根的概念，解题时需注意结合实际意义，排除负的平方根，只保留正的结果。
【难度系数】
0.9
(2) [2024 上海]已知$\sqrt{2x-1}=1$，则$x$的值为
$1$
。答案
9. (2) 1
解析
【分析】
本题考查利用算术平方根的性质解方程，解题思路如下：1. 回忆算术平方根的性质：若一个非负数$a$的算术平方根为$b$（$b≥0$），则$a=b^2$；2. 利用该性质对原方程两边同时平方，去掉根号转化为熟悉的一元一次方程；3. 解一元一次方程得到$x$的候选值，最后验证被开方数是否非负，保证解符合算术平方根的要求。
【解析】
解：已知$\sqrt{2x-1}=1$
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，被开方数$2x-1=2×1 -1=1≥0$，符合算术平方根被开方数非负的要求，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查算术平方根的性质应用，解题的关键是通过平方运算将含根号的方程转化为整式方程，注意求解后要验证被开方数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
本题考查利用算术平方根的性质解方程，解题思路如下：1. 回忆算术平方根的性质：若一个非负数$a$的算术平方根为$b$（$b≥0$），则$a=b^2$；2. 利用该性质对原方程两边同时平方，去掉根号转化为熟悉的一元一次方程；3. 解一元一次方程得到$x$的候选值，最后验证被开方数是否非负，保证解符合算术平方根的要求。
【解析】
解：已知$\sqrt{2x-1}=1$
根据算术平方根的性质，等式两边同时平方得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，被开方数$2x-1=2×1 -1=1≥0$，符合算术平方根被开方数非负的要求，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查算术平方根的性质应用，解题的关键是通过平方运算将含根号的方程转化为整式方程，注意求解后要验证被开方数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
10（1）$\sqrt{81}$的算术平方根是
（2）$\sqrt{(-5)^2}$的算术平方根是
$3$
；（2）$\sqrt{(-5)^2}$的算术平方根是
$\sqrt{5}$
。答案
10. (1) 3 【解析】根据算术平方根的概念先求出$\sqrt{81}$的值为9，从而将本题转化为“9的算术平方根是____________”.因此待求的结果为3。
(2) $\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{5}$
解析
【分析】
这两道题都考查算术平方根的相关计算，解题的核心思路是：先将需要求算术平方根的数化简成最简形式，再根据算术平方根（非负数的非负平方根）的定义求解。需要注意不能跳过化简步骤直接对原式根号内的数计算，避免出错。
（1）问中首先要先算出$\sqrt{81}$的数值，再求该数值的算术平方根；（2）问中先计算根号内的乘方，再化简二次根式得到最简数值，最后求该数值的算术平方根即可。
【解析】
（1）先计算$\sqrt{81}$的值：根据算术平方根的定义，$9^2=81$，因此$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：
∵$3^2=9$，且算术平方根为非负数，
∴9的算术平方根是3。
（2）先化简$\sqrt{(-5)^2}$：先计算乘方得$(-5)^2=25$，因此$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
再求5的算术平方根：
∵$(\sqrt{5})^2=5$，
∴5的算术平方根是$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）3；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；有理数乘方
【点评】
本题属于算术平方根的基础常考题，易错点是容易忽略先化简的步骤，直接误将第一题答案写成9、第二题答案写成5。解题时注意审题，先化简待求对象，再结合算术平方根的非负性计算即可。
【难度系数】
0.7
这两道题都考查算术平方根的相关计算，解题的核心思路是：先将需要求算术平方根的数化简成最简形式，再根据算术平方根（非负数的非负平方根）的定义求解。需要注意不能跳过化简步骤直接对原式根号内的数计算，避免出错。
（1）问中首先要先算出$\sqrt{81}$的数值，再求该数值的算术平方根；（2）问中先计算根号内的乘方，再化简二次根式得到最简数值，最后求该数值的算术平方根即可。
【解析】
（1）先计算$\sqrt{81}$的值：根据算术平方根的定义，$9^2=81$，因此$\sqrt{81}=9$；
再求9的算术平方根：
∵$3^2=9$，且算术平方根为非负数，
∴9的算术平方根是3。
（2）先化简$\sqrt{(-5)^2}$：先计算乘方得$(-5)^2=25$，因此$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$；
再求5的算术平方根：
∵$(\sqrt{5})^2=5$，
∴5的算术平方根是$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）3；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；有理数乘方
【点评】
本题属于算术平方根的基础常考题，易错点是容易忽略先化简的步骤，直接误将第一题答案写成9、第二题答案写成5。解题时注意审题，先化简待求对象，再结合算术平方根的非负性计算即可。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{49}{144}} × \sqrt{\dfrac{144}{9}}$；
(2) $\sqrt{0.09} - \sqrt{0.25}$；
(3) $\sqrt{169} ÷ \sqrt{0.0001}$；
(4) $\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}}$；
(5) $(-\sqrt{21})^2$；
(6) $(\sqrt{11})^2 - \sqrt{(-12)^2}$。
(1) $\sqrt{\dfrac{49}{144}} × \sqrt{\dfrac{144}{9}}$；
(2) $\sqrt{0.09} - \sqrt{0.25}$；
(3) $\sqrt{169} ÷ \sqrt{0.0001}$；
(4) $\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}}$；
(5) $(-\sqrt{21})^2$；
(6) $(\sqrt{11})^2 - \sqrt{(-12)^2}$。
答案
11. (1) $\dfrac{7}{3}$ (2) $-0.2$ (3) 1 300 (4) $\dfrac{4}{5}$ (5) 21 (6) $-1$
解析
【分析】
这组题目均围绕算术平方根的相关运算展开，解题核心是先掌握算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}(a≥0)$；再结合二次根式运算性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$，按先算开方、再算四则运算的顺序计算即可。
【解析】
(1) 利用二次根式乘法性质合并后开方：
原式$=\sqrt{\frac{49}{144}×\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}$
(2) 先分别计算两个算术平方根，再做减法：
$\sqrt{0.09}=0.3$，$\sqrt{0.25}=0.5$
原式$=0.3-0.5=-0.2$
(3) 先分别计算两个算术平方根，再做除法：
$\sqrt{169}=13$，$\sqrt{0.0001}=0.01$
原式$=13÷0.01=1300$
(4) 先计算根号内的减法，再开方：
根号内$1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$
原式$=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
(5) 结合平方的符号规则和$(\sqrt{a})^2=a$的性质计算：
原式$=(-1)^2×(\sqrt{21})^2=1×21=21$
(6) 先分别计算乘方和开方，再做减法：
$(\sqrt{11})^2=11$，$\sqrt{(-12)^2}=\sqrt{144}=12$
原式$=11-12=-1$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{3}$；(2) $-0.2$；(3) $1300$；(4) $\dfrac{4}{5}$；(5) $21$；(6) $-1$
【知识点】
算术平方根定义、二次根式运算、平方与开平方互逆关系
【点评】
本题属于算术平方根基础运算题型，侧重考察对算术平方根概念及相关运算规则的掌握程度，计算时需注意运算顺序，化简算术平方根时要避免符号、数值计算错误，熟练掌握常见数的平方值可提升运算效率。
【难度系数】
0.85
这组题目均围绕算术平方根的相关运算展开，解题核心是先掌握算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}(a≥0)$；再结合二次根式运算性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt{a^2}=|a|$，按先算开方、再算四则运算的顺序计算即可。
【解析】
(1) 利用二次根式乘法性质合并后开方：
原式$=\sqrt{\frac{49}{144}×\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}$
(2) 先分别计算两个算术平方根，再做减法：
$\sqrt{0.09}=0.3$，$\sqrt{0.25}=0.5$
原式$=0.3-0.5=-0.2$
(3) 先分别计算两个算术平方根，再做除法：
$\sqrt{169}=13$，$\sqrt{0.0001}=0.01$
原式$=13÷0.01=1300$
(4) 先计算根号内的减法，再开方：
根号内$1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$
原式$=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
(5) 结合平方的符号规则和$(\sqrt{a})^2=a$的性质计算：
原式$=(-1)^2×(\sqrt{21})^2=1×21=21$
(6) 先分别计算乘方和开方，再做减法：
$(\sqrt{11})^2=11$，$\sqrt{(-12)^2}=\sqrt{144}=12$
原式$=11-12=-1$
【答案】
(1) $\dfrac{7}{3}$；(2) $-0.2$；(3) $1300$；(4) $\dfrac{4}{5}$；(5) $21$；(6) $-1$
【知识点】
算术平方根定义、二次根式运算、平方与开平方互逆关系
【点评】
本题属于算术平方根基础运算题型，侧重考察对算术平方根概念及相关运算规则的掌握程度，计算时需注意运算顺序，化简算术平方根时要避免符号、数值计算错误，熟练掌握常见数的平方值可提升运算效率。
【难度系数】
0.85
12 若$\sqrt{x-2y+9}$与$(x-y-3)^2$的值互为相反数，求$2x-\frac{1}{3}y$的算术平方根。
答案
12. 由题意,得 $\sqrt{x-2y+9}+(x-y-3)^2=0. \because \sqrt{x-2y+9}≥0,(x-y-3)^2≥0, \therefore x-2y+9=0,x-y-3=0.$ 联立,解得$\begin{cases} x=15, \\ y=12. \end{cases} \therefore 2x-\dfrac{1}{3}y=26, \therefore 2x-\dfrac{1}{3}y$ 的算术平方根为$\sqrt{26}$
解析
【分析】
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可列出对应的等式；再结合二次根式、平方的非负性可知，两个非负数相加和为0时，这两个非负数各自都等于0，由此得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值后代入代数式$2x-\frac{1}{3}y$计算，最后求该计算结果的算术平方根即可。
【解析】
由题意，得 $\sqrt{x-2y+9}+(x-y-3)^2=0$
$\because \sqrt{x-2y+9}≥0$，$(x-y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0时每个非负数都为0
$\therefore \begin{cases} x-2y+9=0 \\ x-y-3=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去x，得$y-12=0$，解得$y=12$
将$y=12$代入$x-y-3=0$，得$x-12-3=0$，解得$x=15$
代入代数式计算：$2x-\dfrac{1}{3}y=2×15-\dfrac{1}{3}×12=30-4=26$
因此$2x-\dfrac{1}{3}y$的算术平方根为$\sqrt{26}$
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，结合该性质列方程组求解后代入计算即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【难度系数】
0.7
首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，可列出对应的等式；再结合二次根式、平方的非负性可知，两个非负数相加和为0时，这两个非负数各自都等于0，由此得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值后代入代数式$2x-\frac{1}{3}y$计算，最后求该计算结果的算术平方根即可。
【解析】
由题意，得 $\sqrt{x-2y+9}+(x-y-3)^2=0$
$\because \sqrt{x-2y+9}≥0$，$(x-y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0时每个非负数都为0
$\therefore \begin{cases} x-2y+9=0 \\ x-y-3=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去x，得$y-12=0$，解得$y=12$
将$y=12$代入$x-y-3=0$，得$x-12-3=0$，解得$x=15$
代入代数式计算：$2x-\dfrac{1}{3}y=2×15-\dfrac{1}{3}×12=30-4=26$
因此$2x-\dfrac{1}{3}y$的算术平方根为$\sqrt{26}$
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，结合该性质列方程组求解后代入计算即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【难度系数】
0.7
