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8 如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，将它分为大小形状完全相同的三块分给初一年级三个班，同学们测量后惊奇地发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为
$1:\sqrt{3}$
。答案
8.$1:\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等。首先设原大矩形的宽为$a$、长为$b$，结合图形可知小矩形的竖直边长等于大矩形的宽$a$，水平边长为大矩形长的$\frac{1}{3}$即$\frac{b}{3}$。再根据两个矩形相似的条件，列出对应边的比例式，求解即可得到原矩形宽与长的比值。
【解析】
设原大矩形菜地的宽为$a$，长为$b$。
由图形可得，每个小矩形的长为$a$，宽为$\frac{b}{3}$。
∵ 小矩形与原大矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{3}}$
化简得：$\frac{b}{a}=\frac{3a}{b}$
交叉相乘得：$b^2=3a^2$
∵ 矩形边长为正数，等式两边同时开方并整理得：$\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即原矩形菜地的宽与长之比为$1:\sqrt{3}$。
【答案】
$1:\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算，矩形的性质
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，解题核心是准确找到大小矩形边长的对应关系，结合相似性质列比例式求解，易错点是对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等。首先设原大矩形的宽为$a$、长为$b$，结合图形可知小矩形的竖直边长等于大矩形的宽$a$，水平边长为大矩形长的$\frac{1}{3}$即$\frac{b}{3}$。再根据两个矩形相似的条件，列出对应边的比例式，求解即可得到原矩形宽与长的比值。
【解析】
设原大矩形菜地的宽为$a$，长为$b$。
由图形可得，每个小矩形的长为$a$，宽为$\frac{b}{3}$。
∵ 小矩形与原大矩形相似，根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{b}{a}=\frac{a}{\frac{b}{3}}$
化简得：$\frac{b}{a}=\frac{3a}{b}$
交叉相乘得：$b^2=3a^2$
∵ 矩形边长为正数，等式两边同时开方并整理得：$\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
即原矩形菜地的宽与长之比为$1:\sqrt{3}$。
【答案】
$1:\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算，矩形的性质
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，解题核心是准确找到大小矩形边长的对应关系，结合相似性质列比例式求解，易错点是对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
9 如图,正方形ABCD的边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH……按照这样的规律作下去,第2024个正方形的边长为
$(\sqrt{2})^{2023}$
。答案
9.$(\sqrt{2})^{2023}$
解析
【分析】
解题时首先明确正方形的对角线长度是边长的√2倍，我们先依次计算前3个正方形的边长，观察边长的变化规律，推导得出第n个正方形边长的通用表达式，最后将n=2024代入表达式即可得到结果。
【解析】
解：设第n个正方形的边长为$a_n$。
1. 第1个正方形ABCD的边长：$a_1=1$；
2. 第2个正方形ACEF的边AC是第1个正方形的对角线，由勾股定理得：$a_2=AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
3. 第3个正方形FCGH的边CF是第2个正方形的对角线，因此：$a_3=\sqrt{2} × a_2=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$；
观察规律可得：第n个正方形的边长$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$；
当n=2024时，$a_{2024}=(\sqrt{2})^{2024-1}=(\sqrt{2})^{2023}$。
【答案】
$(\sqrt{2})^{2023}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题是图形规律类常见题型，解题核心是抓住正方形对角线与边长的数量关系，总结出边长的递推规律，易错点是容易混淆正方形序号和指数的对应关系，计算时需仔细核对。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形的对角线长度是边长的√2倍，我们先依次计算前3个正方形的边长，观察边长的变化规律，推导得出第n个正方形边长的通用表达式，最后将n=2024代入表达式即可得到结果。
【解析】
解：设第n个正方形的边长为$a_n$。
1. 第1个正方形ABCD的边长：$a_1=1$；
2. 第2个正方形ACEF的边AC是第1个正方形的对角线，由勾股定理得：$a_2=AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
3. 第3个正方形FCGH的边CF是第2个正方形的对角线，因此：$a_3=\sqrt{2} × a_2=\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2$；
观察规律可得：第n个正方形的边长$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$；
当n=2024时，$a_{2024}=(\sqrt{2})^{2024-1}=(\sqrt{2})^{2023}$。
【答案】
$(\sqrt{2})^{2023}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，规律探究
【点评】
本题是图形规律类常见题型，解题核心是抓住正方形对角线与边长的数量关系，总结出边长的递推规律，易错点是容易混淆正方形序号和指数的对应关系，计算时需仔细核对。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=7$，$AC=6$，$∠ A=45°$，点$D$、$E$分别在边$AB$、$BC$上，将$△ BDE$沿$DE$所在直线翻折，点$B$落在点$P$处，$PD$、$PE$分别交边$AC$于点$M$、$N$，如果$AD=2$，$PD ⊥ AB$，垂足为点$D$，那么$MN$的长是
$\frac{18}{7}$
。答案
10.$\frac{18}{7}$
[提示:由题意可得$DE // AC$，$DP = BD = 5$，$AD = DM = 2$，则$MP = 3$。再由$△ MNP ∽ △ ACB$，得到$\frac{MN}{AC}=\frac{MP}{AB}$，所以$\frac{MN}{6}=\frac{3}{7}$，$MN=\frac{18}{7}$。]
[提示:由题意可得$DE // AC$，$DP = BD = 5$，$AD = DM = 2$，则$MP = 3$。再由$△ MNP ∽ △ ACB$，得到$\frac{MN}{AC}=\frac{MP}{AB}$，所以$\frac{MN}{6}=\frac{3}{7}$，$MN=\frac{18}{7}$。]
解析
【分析】
解题时先从已知线段长度和翻折性质入手：首先由AB、AD的长度算出BD的长，结合翻折前后对应边相等得到PD的长度；再根据PD⊥AB和∠A=45°判断△ADM是等腰直角三角形，得到DM的长度，进而求出MP的长度；最后通过角度推导证明△MNP和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长。
【解析】
解：
∵AB=7，AD=2，
∴$BD = AB - AD = 7 - 2 = 5$，
∵△BDE沿DE所在直线翻折，点B落在点P处，
∴$PD = BD = 5$，$∠P = ∠B$，
∵$PD⊥AB$，
∴$∠ADM = 90°$，
又
∵$∠A = 45°$，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴$DM = AD = 2$，
∴$MP = PD - DM = 5 - 2 = 3$，
∵$∠PMN = ∠AMD = 90° - ∠A = 45° = ∠A$，且$∠P = ∠B$，
∴$△MNP ∽ △ACB$，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{MP}{AB}$，
将$AC=6$，$MP=3$，$AB=7$代入得：$\frac{MN}{6}=\frac{3}{7}$，
解得$MN=\frac{18}{7}$。
【答案】
$\frac{18}{7}$
【知识点】
翻折的性质；等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将翻折变换、等腰直角三角形和相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是抓住翻折前后对应边、对应角相等的性质，通过角度推导找到相似三角形，进而利用相似比求解未知线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知线段长度和翻折性质入手：首先由AB、AD的长度算出BD的长，结合翻折前后对应边相等得到PD的长度；再根据PD⊥AB和∠A=45°判断△ADM是等腰直角三角形，得到DM的长度，进而求出MP的长度；最后通过角度推导证明△MNP和△ACB相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长。
【解析】
解：
∵AB=7，AD=2，
∴$BD = AB - AD = 7 - 2 = 5$，
∵△BDE沿DE所在直线翻折，点B落在点P处，
∴$PD = BD = 5$，$∠P = ∠B$，
∵$PD⊥AB$，
∴$∠ADM = 90°$，
又
∵$∠A = 45°$，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴$DM = AD = 2$，
∴$MP = PD - DM = 5 - 2 = 3$，
∵$∠PMN = ∠AMD = 90° - ∠A = 45° = ∠A$，且$∠P = ∠B$，
∴$△MNP ∽ △ACB$，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{MP}{AB}$，
将$AC=6$，$MP=3$，$AB=7$代入得：$\frac{MN}{6}=\frac{3}{7}$，
解得$MN=\frac{18}{7}$。
【答案】
$\frac{18}{7}$
【知识点】
翻折的性质；等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将翻折变换、等腰直角三角形和相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是抓住翻折前后对应边、对应角相等的性质，通过角度推导找到相似三角形，进而利用相似比求解未知线段长度。
【难度系数】
0.6
11 已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长。
答案
11.根据已知可得四边形ABEF是正方形。设$AD=x$，则$FD=x-2$，$FE=2$。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似，所以$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，所以$\frac{2}{x-2}=\frac{x}{2}$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$(不合题意，舍去)，即$AD=1+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠前后对应边、对应角相等，结合矩形ABCD的内角为直角的特征，可先推导出四边形ABEF是正方形，得到AB=EF=AF=2。接下来设AD的长为x，可表示出FD的长度为x-2；再利用相似多边形对应边成比例的性质列出关于x的比例式，转化为一元二次方程求解，最后结合线段长度为正的要求舍去不合题意的根，即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，AD//BC，
由折叠的性质可得：$AB=AF$，$∠ B=∠ AFE=90°$，$BE=FE$，
∴四边形ABEF是矩形，又$AB=AF$，
∴四边形ABEF是正方形，
∴$EF=AB=2$，$AF=AB=2$。
设$AD=x$，则$FD=AD-AF=x-2$，$CD=AB=2$，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例：$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，
代入得$\frac{2}{x-2}=\frac{x}{2}$，
整理得$x^2-2x-4=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，$1-\sqrt{5}＜0$不符合题意，舍去，
∴$AD=1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查了图形变换、相似性质和方程的应用，解题核心是先通过折叠特征确定正方形ABEF的边长，再利用相似的边的比例关系建立方程求解，注意最终要舍去不符合几何意义的负根。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠前后对应边、对应角相等，结合矩形ABCD的内角为直角的特征，可先推导出四边形ABEF是正方形，得到AB=EF=AF=2。接下来设AD的长为x，可表示出FD的长度为x-2；再利用相似多边形对应边成比例的性质列出关于x的比例式，转化为一元二次方程求解，最后结合线段长度为正的要求舍去不合题意的根，即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，AD//BC，
由折叠的性质可得：$AB=AF$，$∠ B=∠ AFE=90°$，$BE=FE$，
∴四边形ABEF是矩形，又$AB=AF$，
∴四边形ABEF是正方形，
∴$EF=AB=2$，$AF=AB=2$。
设$AD=x$，则$FD=AD-AF=x-2$，$CD=AB=2$，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例：$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，
代入得$\frac{2}{x-2}=\frac{x}{2}$，
整理得$x^2-2x-4=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$，
∵线段长度为正数，$1-\sqrt{5}＜0$不符合题意，舍去，
∴$AD=1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查了图形变换、相似性质和方程的应用，解题核心是先通过折叠特征确定正方形ABEF的边长，再利用相似的边的比例关系建立方程求解，注意最终要舍去不符合几何意义的负根。
【难度系数】
0.6
