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1 将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似，若原矩形纸片的边$AB=1$，则$BC$的长为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案
1.C
解析
【分析】
本题是相似多边形性质在矩形折叠问题中的应用，解题思路如下：首先设BC的长度为未知数x，先明确原矩形的两组邻边长度；再分析对折后新矩形的两组邻边长度；最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求解，注意边长为正数，舍去不符合题意的负根。
【解析】
设BC的长为$x$。
已知原矩形ABCD中$AB=1$，因此原矩形的邻边长分别为$1$和$x$。
沿AD、BC中点连线EF对折后，所得矩形的邻边长分别为$1$和$\frac{x}{2}$。
因为对折后所得矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{\frac{x}{2}}$
整理得：$\frac{x^2}{2}=1$，即$x^2=2$。
因为边长为正数，因此舍去负根，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质、矩形的性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题核心考查相似矩形对应边成比例的应用，解题的易错点是容易混淆对折前后矩形的对应边，导致比例式列错，解题时可先明确两个矩形的长和宽再列比例式。
【难度系数】
0.7
本题是相似多边形性质在矩形折叠问题中的应用，解题思路如下：首先设BC的长度为未知数x，先明确原矩形的两组邻边长度；再分析对折后新矩形的两组邻边长度；最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求解，注意边长为正数，舍去不符合题意的负根。
【解析】
设BC的长为$x$。
已知原矩形ABCD中$AB=1$，因此原矩形的邻边长分别为$1$和$x$。
沿AD、BC中点连线EF对折后，所得矩形的邻边长分别为$1$和$\frac{x}{2}$。
因为对折后所得矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{x}{1}=\frac{1}{\frac{x}{2}}$
整理得：$\frac{x^2}{2}=1$，即$x^2=2$。
因为边长为正数，因此舍去负根，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质、矩形的性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题核心考查相似矩形对应边成比例的应用，解题的易错点是容易混淆对折前后矩形的对应边，导致比例式列错，解题时可先明确两个矩形的长和宽再列比例式。
【难度系数】
0.7
2 手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是(
D
)。答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确相似多边形的判定条件：①对应角全部相等；②对应边的比全部相等，两个条件必须同时满足。接下来我们逐个分析四个选项的内外图形是否同时满足这两个条件，找出不满足的选项即可。
【解析】
相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，我们逐一判断：
1. 选项A：内外图形均为直角三角形，因花边宽度相等，内外三角形的对应边互相平行，可得三个内角对应相等，根据“两角对应相等的三角形相似”，可知两个直角三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：内外图形均为等边三角形，每个内角都是60°，对应角相等；且内外边平行，对应边的比值为定值，满足相似条件，两个等边三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：内外图形均为正方形，每个内角都是90°，对应角相等；设外正方形边长为a，花边宽度为d，则内正方形边长为a-2d，所有对应边的比均为$\frac{a-2d}{a}$，成比例，两个正方形相似，不符合题意。
4. 选项D：内外图形均为矩形，四个内角都是90°，对应角相等；设外矩形长为a、宽为b（a≠b），花边宽度为d，则内矩形长为a-2d、宽为b-2d，对应边的比分别为$\frac{a-2d}{a}=1-\frac{2d}{a}$和$\frac{b-2d}{b}=1-\frac{2d}{b}$，因a≠b，两个比值不相等，对应边不成比例，故两个矩形不相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形判定、三角形相似判定、矩形的性质
【点评】
本题核心考查相似图形的判定，要注意多边形相似需要同时满足角相等和边成比例两个条件，不能仅通过角相等就判定相似，对于矩形这类对边相等的四边形，必须额外验证边的比例关系，是易错题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确相似多边形的判定条件：①对应角全部相等；②对应边的比全部相等，两个条件必须同时满足。接下来我们逐个分析四个选项的内外图形是否同时满足这两个条件，找出不满足的选项即可。
【解析】
相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，我们逐一判断：
1. 选项A：内外图形均为直角三角形，因花边宽度相等，内外三角形的对应边互相平行，可得三个内角对应相等，根据“两角对应相等的三角形相似”，可知两个直角三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：内外图形均为等边三角形，每个内角都是60°，对应角相等；且内外边平行，对应边的比值为定值，满足相似条件，两个等边三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：内外图形均为正方形，每个内角都是90°，对应角相等；设外正方形边长为a，花边宽度为d，则内正方形边长为a-2d，所有对应边的比均为$\frac{a-2d}{a}$，成比例，两个正方形相似，不符合题意。
4. 选项D：内外图形均为矩形，四个内角都是90°，对应角相等；设外矩形长为a、宽为b（a≠b），花边宽度为d，则内矩形长为a-2d、宽为b-2d，对应边的比分别为$\frac{a-2d}{a}=1-\frac{2d}{a}$和$\frac{b-2d}{b}=1-\frac{2d}{b}$，因a≠b，两个比值不相等，对应边不成比例，故两个矩形不相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形判定、三角形相似判定、矩形的性质
【点评】
本题核心考查相似图形的判定，要注意多边形相似需要同时满足角相等和边成比例两个条件，不能仅通过角相等就判定相似，对于矩形这类对边相等的四边形，必须额外验证边的比例关系，是易错题。
【难度系数】
0.6
3 下列各组图形必相似的是(
A.任意两个等腰三角形
B.有两边对应成比例,且有一个角对应相等的两个三角形
C.两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形
D.两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形
D
)。A.任意两个等腰三角形
B.有两边对应成比例,且有一个角对应相等的两个三角形
C.两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形
D.两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时需结合相似三角形的判定定理逐一验证每个选项，排除存在反例、不满足判定条件的选项，最终确定必相似的选项。首先回忆相似三角形的核心判定规则：①两角分别相等的两三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两三角形相似；③三边成比例的两三角形相似；④斜边和直角边成比例的两直角三角形相似，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 任意两个等腰三角形：等腰三角形的顶角和底角没有固定度数，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，对应角不相等，不相似，故A错误。
B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形：只有当这个相等的角是两组对应边的夹角时，才能判定相似；如果是其中一边的对角（即SSA型），无法判定相似，存在反例，故B错误。
C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形：直角三角形中已知的两边可能都是直角边，也可能较长边是斜边：若第一个三角形中5为斜边，则三边长为3、4、5；若第二个三角形中8、10都是直角边，则三边长为8、10、$2\sqrt{41}$，此时两组三角形三边不成比例，不相似，故C错误。
D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
因为BD、B'D'是中线，所以$AD=\frac{1}{2}AC$，$A'D'=\frac{1}{2}A'C'$，因此$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，即△ABD∽△A'B'D'（三边成比例的两三角形相似），则对应角∠A=∠A'。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，满足两边成比例且夹角相等，因此△ABC∽△A'B'C'，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、三角形中线的性质
【点评】
本题易在B、C选项出错，要注意相似三角形判定中“两边成比例且夹角相等”的角必须是夹角，直角三角形已知两边时要分长边为斜边和两边均为直角边两种情况讨论，避免因考虑不全面误选。
【难度系数】
0.6
本题考查相似三角形的判定，解题时需结合相似三角形的判定定理逐一验证每个选项，排除存在反例、不满足判定条件的选项，最终确定必相似的选项。首先回忆相似三角形的核心判定规则：①两角分别相等的两三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两三角形相似；③三边成比例的两三角形相似；④斜边和直角边成比例的两直角三角形相似，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 任意两个等腰三角形：等腰三角形的顶角和底角没有固定度数，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为90°的等腰三角形，对应角不相等，不相似，故A错误。
B. 有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形：只有当这个相等的角是两组对应边的夹角时，才能判定相似；如果是其中一边的对角（即SSA型），无法判定相似，存在反例，故B错误。
C. 两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形：直角三角形中已知的两边可能都是直角边，也可能较长边是斜边：若第一个三角形中5为斜边，则三边长为3、4、5；若第二个三角形中8、10都是直角边，则三边长为8、10、$2\sqrt{41}$，此时两组三角形三边不成比例，不相似，故C错误。
D. 两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且$\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}$。
因为BD、B'D'是中线，所以$AD=\frac{1}{2}AC$，$A'D'=\frac{1}{2}A'C'$，因此$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{BD}{B'D'}$，即△ABD∽△A'B'D'（三边成比例的两三角形相似），则对应角∠A=∠A'。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，满足两边成比例且夹角相等，因此△ABC∽△A'B'C'，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、三角形中线的性质
【点评】
本题易在B、C选项出错，要注意相似三角形判定中“两边成比例且夹角相等”的角必须是夹角，直角三角形已知两边时要分长边为斜边和两边均为直角边两种情况讨论，避免因考虑不全面误选。
【难度系数】
0.6
④如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是
$16:81$
。答案
4.$16:81$
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们可以先根据题目给出的周长比确定两个三角形的相似比，再将相似比做平方运算，就能得到对应的面积比。
【解析】
解：
∵两个三角形为相似三角形，且周长比为4:9
∴这两个相似三角形的相似比等于周长比，即相似比为4:9
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴它们的面积比为$4^2:9^2=16:81$
【答案】
16:81
【知识点】
相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质；平方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形性质的直接应用，解题时要注意区分周长比和面积比与相似比的对应关系，避免误将周长比直接当作面积比。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们可以先根据题目给出的周长比确定两个三角形的相似比，再将相似比做平方运算，就能得到对应的面积比。
【解析】
解：
∵两个三角形为相似三角形，且周长比为4:9
∴这两个相似三角形的相似比等于周长比，即相似比为4:9
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴它们的面积比为$4^2:9^2=16:81$
【答案】
16:81
【知识点】
相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质；平方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形性质的直接应用，解题时要注意区分周长比和面积比与相似比的对应关系，避免误将周长比直接当作面积比。
【难度系数】
0.9
5 如图，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，则BC边上的高的长是
$4$
cm。答案
5.$4$
解析
【分析】
首先观察图形，矩形DEFG的对边GF平行于DE，即GF//BC，可判定△AGF与△ABC相似。我们可以利用相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比来解题，设BC边上的高为h，先表示出△AGF对应边上的高，再代入相似比列方程求解即可。
【解析】
解：设BC边上的高的长度为$h\ \mathrm{cm}$。
∵四边形DEFG是矩形，
∴$GF=DE=3\ \mathrm{cm}$，$GF// BC$，且$EF⊥ BC$，
∴$△ AGF ∽ △ ABC$，$△ AGF$中GF边上的高为$(h-EF)=(h-2)\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{h-2}{h}=\frac{GF}{BC}$
将$GF=3\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{h-2}{h}=\frac{3}{6}$
化简得$2(h-2)=h$，解得$h=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题的关键是结合矩形的性质找到相似三角形，利用相似比建立方程求解，掌握该类题型的通用解法可以快速解决同类内接图形的计算问题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，矩形DEFG的对边GF平行于DE，即GF//BC，可判定△AGF与△ABC相似。我们可以利用相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于相似比来解题，设BC边上的高为h，先表示出△AGF对应边上的高，再代入相似比列方程求解即可。
【解析】
解：设BC边上的高的长度为$h\ \mathrm{cm}$。
∵四边形DEFG是矩形，
∴$GF=DE=3\ \mathrm{cm}$，$GF// BC$，且$EF⊥ BC$，
∴$△ AGF ∽ △ ABC$，$△ AGF$中GF边上的高为$(h-EF)=(h-2)\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{h-2}{h}=\frac{GF}{BC}$
将$GF=3\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{h-2}{h}=\frac{3}{6}$
化简得$2(h-2)=h$，解得$h=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题的关键是结合矩形的性质找到相似三角形，利用相似比建立方程求解，掌握该类题型的通用解法可以快速解决同类内接图形的计算问题。
【难度系数】
0.7
6 如图，已知AD为$△ ABC$的角平分线，$DE // AB$，如果$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{AE}{AB}=$
$\frac{3}{5}$
。答案
6.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导得到AE=DE；第二步，由DE平行AB判定△CDE与△CBA相似，得到对应边成比例的关系；第三步，根据已知$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$设参数表示各线段长度，代入比例式计算即可得到$\frac{AE}{AB}$的比值。
【解析】
设$AE=2k$，$EC=3k$（$k＞0$），则$AC=AE+EC=5k$。
1. 证明$AE=DE$：
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$。
∵$DE// AB$，
∴$∠ BAD=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ CAD=∠ ADE$，根据等角对等边可得$DE=AE=2k$。
2. 利用相似三角形列比例式：
∵$DE// AB$，
∴$△ CDE ∽ △ CBA$（平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
∴相似三角形对应边成比例：$\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
将$DE=2k$，$EC=3k$，$AC=5k$代入得：$\frac{2k}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，解得$AB=\frac{10k}{3}$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{AB}=\frac{2k}{\frac{10k}{3}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过角的等量关系推出AE=DE，再结合相似三角形的比例关系求解，熟练掌握角平分线、平行线、相似三角形的基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，结合角平分线的定义和平行线的内错角相等的性质，推导得到AE=DE；第二步，由DE平行AB判定△CDE与△CBA相似，得到对应边成比例的关系；第三步，根据已知$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$设参数表示各线段长度，代入比例式计算即可得到$\frac{AE}{AB}$的比值。
【解析】
设$AE=2k$，$EC=3k$（$k＞0$），则$AC=AE+EC=5k$。
1. 证明$AE=DE$：
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$。
∵$DE// AB$，
∴$∠ BAD=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ CAD=∠ ADE$，根据等角对等边可得$DE=AE=2k$。
2. 利用相似三角形列比例式：
∵$DE// AB$，
∴$△ CDE ∽ △ CBA$（平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
∴相似三角形对应边成比例：$\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
将$DE=2k$，$EC=3k$，$AC=5k$代入得：$\frac{2k}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$，解得$AB=\frac{10k}{3}$。
3. 计算比值：
$\frac{AE}{AB}=\frac{2k}{\frac{10k}{3}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过角的等量关系推出AE=DE，再结合相似三角形的比例关系求解，熟练掌握角平分线、平行线、相似三角形的基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
7 如图，在$□ ABCD$中，点F在边AD上，$AF=2FD$，直线BF与对角线AC相交于点E，交CD的延长线于点G，如果$BE=2$，那么EG的长是
$3$
。答案
7.$3$
解析
【分析】
本题是平行四边形中的线段长度计算问题，解题思路如下：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的AF和FD的比例关系，通过AD//BC找到第一组相似三角形△AEF和△CEB，求出对角线被交点E分成的两段AE与EC的比例；再利用AB//CG找到第二组相似三角形△ABE和△CGE，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知BE的长度，即可求出EG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD（即AB//CG）。
设$FD=k$，由$AF=2FD$得$AF=2k$，
∴$AD=AF+FD=3k$，
∴$BC=AD=3k$。
∵$AD//BC$，
∴$∠EAF=∠ECB$，$∠EFA=∠EBC$，
∴$△ AEF ∽ △ CEB$，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{BC}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
∵$AB//CG$，
∴$∠EAB=∠ECG$，$∠EBA=∠G$，
∴$△ ABE ∽ △ CGE$，
∴$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
把$BE=2$代入得：$\frac{2}{EG}=\frac{2}{3}$，
解得$EG=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常规计算题，核心是利用平行四边形对边平行的性质推导相似三角形，再通过比例关系建立已知和未知线段的联系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是平行四边形中的线段长度计算问题，解题思路如下：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的AF和FD的比例关系，通过AD//BC找到第一组相似三角形△AEF和△CEB，求出对角线被交点E分成的两段AE与EC的比例；再利用AB//CG找到第二组相似三角形△ABE和△CGE，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知BE的长度，即可求出EG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD（即AB//CG）。
设$FD=k$，由$AF=2FD$得$AF=2k$，
∴$AD=AF+FD=3k$，
∴$BC=AD=3k$。
∵$AD//BC$，
∴$∠EAF=∠ECB$，$∠EFA=∠EBC$，
∴$△ AEF ∽ △ CEB$，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{BC}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
∵$AB//CG$，
∴$∠EAB=∠ECG$，$∠EBA=∠G$，
∴$△ ABE ∽ △ CGE$，
∴$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
把$BE=2$代入得：$\frac{2}{EG}=\frac{2}{3}$，
解得$EG=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常规计算题，核心是利用平行四边形对边平行的性质推导相似三角形，再通过比例关系建立已知和未知线段的联系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
